Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 1 МИТРОПОЛЬСЬКИЙ Юрій Олексійович (1916-2008)

§ 3 Подвійні нерівності

Україна — космічна держава. Космічні швидкості — мінімальні швидкості космічного апарата, за яких він може:

— стати супутником Землі (перша космічна швидкість: V1 - 7,9 км/с);

— подолати гравітаційне тяжіння Землі (друга космічна швидкість V2 =11,2 км/с);

— покинути Сонячну систему, у якій знаходиться Земля (третя космічна швидкість V3 > 16,67 км/с).

Співвідношення між цими швидкостями можна записати так:

V1 < V2 < V3.

Якщо нерівності a < x і x < b правильні, то їх можна записати у вигляді подвійної нерівності: a < x < b. Подвійна нерівність має три частини: ліву, середню і праву та два знаки нерівності. Приклади подвійних нерівностей:

3 < x < 4 (x більше від 3 і менше від 4);

2a + 3 < x + 3 ≤ 5c (x + 3 більше за 2a + 3, але не більше за 5c).

Теорема 6. Якщо до кожної частини правильної подвійної нерівності додати одне й те саме число, то одержимо правильну подвійну нерівність.

Доведення. Якщо a < x < b, то правильні нерівності a < x і x < b. Тоді згідно з теоремою 2 для будь-якого дійсного числа c правильні нерівності a + c < x + c і x + c < b + c. Отже, a + c < x + c < b + c.

Число c може бути як додатним, так і від’ємним. Наприклад:

якщо 2,5 < x - 3 < 2,6 і c = 3, то 5,5 < x < 5,6;

якщо 0,7 < x + 1 < 1,2 і c = -1, то -0,3 < x < 0,2.

Подібним способом можна довести такі твердження:

• якщо a < x < b і k > 0, то ka < kx < kb;

• якщо a < x < b і k < 0, то kb < kx < ka;

• якщо a < x < b i c < y < d, то:

a + c < x + y < b + d;

a - d < x - y < b - c;

ac < xy < bd (при a > 0 і c > 0);

Наприклад, якщо 4 < x < 6 і 2 < y < 3, то

4 + 2 < x + y < 6 + 3, або 6 < x + y < 9

4 ∙ 2 < x ∙ y < 6 ∙ 3, або 8 < x ∙ y < 18

4 - 3 < x - y < 6 - 2, або 1 < x - y < 4;

Зверніть увагу на віднімання і ділення подвійних нерівностей! Від меншого члена першої нерівності віднімають більший член другої, а від більшого — менший. Менший член першої нерівності ділять на більший член другої, а більший — на менший.

Розглянуті властивості дають можливість спрощувати подвійні нерівності. Наприклад, замість подвійної нерівності 16 < 3x - 2 < 19 можна розглядати нерівність 18 < 3x < 21 або ще простішу: 6 < x < 7.

Особливо зручно використовувати подвійні нерівності для оцінювання значень величин чи виразів. Значення величин, таких як маса, відстань, час тощо, завжди наближені. Важко, зокрема, визначити висоту дерева з точністю до дециметра. Тому вказують, наприклад, що вона більша за 9,2 м, але менша за 9,4 м. Записують це у вигляді подвійної нерівності: 9,2 < h < 9,4.

Зверніть увагу на фрагмент наклейки, що міститься на пляшці з олією (мал. 9).

Мал. 9

Цей напис означає, що маса олії, яка міститься у пляшці, не може бути меншою за 790 г і більшою за 810 г. За допомогою подвійної нерівності масу олії (m) без пляшки можна записати так: 790 г ≤ m ≤ 810 г.

Користуючись властивостями подвійних нерівностей, можна оцінити значення виразів x + у, x - y, xy, .

Нехай, наприклад, 3,5 < x < 3,6 і 2,1 < у < 2,2.

Тоді 3,5 + 2,1 < x + у < 3,6 + 2,2, або 5,6 < x + у < 5,8 (мал. 10);

Мал. 10

3,5 - 2,2 < x - у < 3,6 - 2,1, або 1,3 < x - у < 1,5;

3,5 ∙ 2,1 < xy < 3,6 ∙ 2,2, або 7,35 < xy < 7,92;

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

За допомогою подвійних нерівностей можна звільнитися від модуля в нерівностях виду |xl < а і |xl ≤ а, де a > 0.

Наприклад, нерівність |xl < 3 задовольняють усі значення х, модулі яких менші за 3. Такими є додатні числа, менші за 3, від’ємні числа, більші за -3, і число 0. Цю множину чисел можна записати за допомогою подвійної нерівності так: -3 < x < 3.

Аналогічно можна записати нерівність |xl ≤ 3: -3 ≤ x ≤ 3.

Зверніть увагу! Будь-яку нерівність виду |M| < а, де а > 0 і M — деякий вираз, можна записати у вигляді подвійної нерівності: -а < M < а.

А, наприклад, нерівність |xl > 3 у вигляді подвійної нерівності записати не можна. Чому?

Перевірте себе

1. Наведіть приклади подвійних нерівностей.

2. Що означає «оцінити значення величини»?

3. Як за допомогою подвійних нерівностей оцінити наближене значення суми чи добутку двох значень величини?

4. Як за допомогою подвійних нерівностей оцінити наближене значення різниці (частки) двох значень величини?

Виконаємо разом

1. Відомо, що 10 < х < 12. Яких значень може набувати вираз:

а) 3х - 5; б) x2?

• Розв’язання. а) Домножимо всі частини нерівності на 3:

3 ∙ 10 < 3 ∙ х < 3 ∙ 12, або 30 < 3х < 36.

Віднімемо від усіх частин нерівності 5:

30 - 5 < 3х - 5 < 36 - 5, або 25 < 3х - 5 < 31.

б) Оскільки всі частини даної нерівності додатні, то їх можна піднести до квадрата: 100 < х2 < 144.

Відповідь. а) 25 < 3х - 5 < 31; б) 100 < х2 < 144.

2. Оцініть значення виразу 0,2а - b, якщо 5 < а < 15 і 2 < b < 7.

• Розв’язання. Якщо 5 < а < 15, то 1< 0,2а < 3.

Якщо 2 < b < 7, то -2 > -b > -7, або -7 < -b < -2.

Додамо почленно утворені нерівності: -6 < 0,2а - b < 1.

Відповідь. -6 < 0,2а - b < 1.

Виконайте усно

91. Прочитайте подвійну нерівність:

а) 4 < а < 7;

б) 0 < 0,5 < 1;

в) -3 < х < 3.

92. Чи правильні подвійні нерівності:

а) -7 < 0 < 7;

б) 0 < 5 < 10;

в) -1 < -2 < -3?

93. Чи задовольняють значення х = 3 і х = -3 умову:

а) 0 < х < 2х;

б) -х < х2 < 3х;

в) -х < х2 < -х3?

94. Які цілі значення а задовольняють подвійну нерівність:

а) -1 < а < 1;

б) -2 < а < 2;

в) 0,1 < а < 1?

95. Чи існують значення х, які більші за , але менші за ?

96. Оцініть периметр рівностороннього трикутника, якщо його сторона більша за 1,8 м і менша за 2,1 м. Чи може площа такого

трикутника дорівнювати

97. Запишіть у вигляді подвійної нерівності співвідношення:

а) х < 12 і х > 3;

б) х > -2 і х < 2;

в) х < 30 і х > -0,3.

98. Чи існують значення с, які: а) менші за -3 і більші за -

б) більші за 10 2 і менші за 102? Якщо так, то запишіть відповідну подвійну нерівність.

99. Відомо, що 4 < n < 5. Оцініть значення виразу:

а) n + 3;

б) n - 5;

в) 2n;

г) -3n;

ґ) n2.

100. Знаючи, що оцініть значення виразу:

101. Сторона квадрата дорівнює а см, де 4,2 < а < 4,3. Оцініть його периметр і площу.

102. Відкрита задача. Розгляньте наклейку на банці з томатним соусом (мал. 11). Спробуйте покращити подання числових характеристик на ній, використавши різні види нерівностей.

Мал. 11

103. Оцініть значення різниці x - у, якщо:

а) 12 < x < 13 і 5 < у < 6;

б) 0,32 < x < 0,33 і 0,25 < у < 0,27.

104. Оцініть значення добутку xy, якщо:

а) 3 < x ≤ 4 і 5 ≤ у ≤ 7;

б) -2 < x < -1 і -3 < у < -1.

105. Оцініть значення частки x : у, якщо:

а) 12 < x < 15 і 5 < у < 6;

б) 6 < x < 8 і 2 < у < 3.

106. Відомо, що -3 ≤ x ≤ 5. Яких значень може набувати вираз:

а) 2x + 3;

б) 0,1x - 2;

в) 2 - x;

г) 10 - 0,1x?

107. Вимірявши довжину а і ширину b прямокутника (у метрах), знайшли, що 1,3 < а < 1,4, 0,6 < b < 0,8. Оцініть периметр і площу цього прямокутника.

108. Довжина ребра куба — c мм, де 1,53 ∙ 102 < c < 1,54 ∙ 102. Оцініть: а) суму довжин усіх ребер куба; б) площу поверхні куба; в) об’єм куба. Результат округліть до десятих.

109. 1) На малюнку 12 зображено план квартири. Відомо, що вся квартира, а також вітальня мають форму квадрата. Оцініть площу вітальні, спальні та всієї квартири, якщо 4,9 м < x < 5,1 м, 2,9 м < у < 3,1 м. 2) Відкрита задача. Зробіть потрібні виміри та оцініть площу S і периметр Р: а) кімнати, у якій ви проживаєте; б) вікна у цій кімнаті.

Рівень Б

110. Відомо, що оцініть:

111. Нехай а і — кути трикутника, 62° < а < 63°; 95° < < 96°. Оцініть міру третього кута.

112. Відомо, що 3,14 < < 3,15. Оцініть довжину кола і площу круга, якщо його радіус більший за 2,5 дм і менший за 2,6 дм.

113. Відомо, що 10 < x < 12. Яких цілих значень може набувати вираз:

114. Відомо, що 3 < x < 4 і 1,2 < у < 1,3. Яких значень може набувати вираз:

115. У яких межах лежать значення виразу якщо:

116. Відомо, що

Яких значень може набувати вираз:

а) 2m + 3n;

б) 4m - n;

в) m + n2;

г) n2 - m?

117. Катети a і b прямокутного трикутника такі, що 8,4 < a < 8,5, 6,5 < b < 6,6. Оцініть площу цього трикутника і його периметр.

118. Практичне завдання. Запишіть у вигляді подвійної нерівності значення площі фігури, зображеної на малюнку 13.

119. Доведіть твердження:

Мал. 13

120. Доведіть твердження:

121*. Запишіть нерівність з модулем у вигляді подвійної нерівності:

122*. Запишіть нерівність з модулем у вигляді подвійної нерівності та спростіть її:

Вправи для повторення

123. О 10 год з міста A до міста B виїхав мотоцикліст, а об 11 год так само з A до B — автомобіль. О котрій годині автомобіль наздогнав мотоцикліста, якщо він приїхав до B о 13 год, а мотоцикліст — о 14 год?

124. Запишіть у стандартному вигляді масу:

а) Місяця 73 500 000 000 000 000 000 т;

б) Сонця 1 990 000 000 000 000 000 000 000 000 т.

125. Розв’яжіть систему рівнянь:

Скарбничка досягнень

ü Можу навести приклади подвійних нерівностей.

ü Розумію, як записувати і читати подвійні нерівності.

ü Умію:

— виконувати дії з нерівностями;

— спрощувати подвійні нерівності;

— оцінювати значення величин;

— оцінювати значення виразів.

Використовуємо набуті компетентності

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Зміст відношень «більше», «менше», «не більше», «не менше».

— Види нерівностей (строгі, нестрогі, числові, зі змінними).

— Властивості числових нерівностей (с. 17, 23).

— Як розв’язують лінійні рівняння (с. 260).

— Які рівняння називають рівносильними (с. 260).



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити