Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 1 МИТРОПОЛЬСЬКИЙ Юрій Олексійович (1916-2008)

§ 5 Об'єднання і переріз множин. Числові проміжки

Ви вже знаєте, що в математиці будь-які сукупності називають множинами. Розглядають множини, елементами яких є і певні математичні поняття: геометричні фігури (наприклад, множина чотирикутників), числа (наприклад, множина дійсних чисел), функції (наприклад, множина лінійних функцій), рівняння (наприклад, квадратні рівняння), розв’язки нерівностей (наприклад, порожня множина) тощо. Окрім них розглядають множини, елементами яких є довільні об’єкти: тварини, рослини, пори року, дні тижня, планети, обласні центри України, засоби зв’язку тощо. Трапляється, що деякі множини мають спільні елементи.

Розглянемо як приклад дві множини «смайликів»: множину А, що містить 3 елементи, і множину В, що містить 4 елементи (мал. 21, а).

Мал. 21

Зверніть увагу, кожна із цих множин містить смайлик, який посміхається, — і сумний смайлик —

Якщо множина містить усі спільні елементи множин А і В і тільки їх, то цю множину називають перерізом множин А і В. У даному випадку перерізом множин А і В буде множина, що складається з двох елементів (зображена на малюнку 21, б). Іншими словами:

Перерізом двох множин називають множину, яка містить елементи, що належать кожній із цих двох множин і тільки ці елементи.

Записують це так: A B.

Розгляньте малюнок 21, в. Множина, зображена на ньому, містить п’ять різних смайликів, кожен з яких є елементом або множини А, або множини В. Таку множину називають об’єднанням множин А і В.

Об’єднанням двох множин називають множину, яка містить кожний елемент кожної з множин і тільки ці елементи.

Записують це так: A B.

Розглянемо ще один приклад. Знайдемо об’єднання і переріз множин А і В, якщо: А = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Числа 2, 4 і 6 є елементами кожної з множин, тому А B ={ 2, 4, 6}. А B - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, бо ця множина містить кожен елемент множин А та В і тільки їх елементи.

Перерізи та об’єднання множин зручно ілюструвати діаграмами Ейлера (мал. 22 і мал. 23).

Наприклад, перерізом обсягів понять прямокутники і ромби є множина квадратів (мал. 22).

Мал. 22

Об’єднанням множини раціональних і ірраціональних чисел є множина дійсних чисел (мал. 23).

Мал. 23

Окремі види множин — числові проміжки, що є розв’язками нерівностей (див., наприклад, малюнки 14 і 15). Поняття числового проміжку часто використовують і в інших розділах математики. Тому бажано розрізняти різні види числових проміжків і навчитися знаходити їх перерізи та об’єднання.

Перерізом двох числових проміжків називають їх спільну частину.

Наприклад, перерізом проміжків ( -∞; 4) і (-3 ; ∞) є проміжок (-3; 4). Переріз двох множин позначають знаком . Тому пишуть:

(-оо; 4) (-3; ∞) = (-3; 4).

Наочно цю рівність ілюструє малюнок 24. Інші приклади.

Малюнкам 25-27 відповідають рівності:

Мал. 24

Переріз проміжків*

Мал. 25

Мал. 26

Мал. 27

Друга рівність стверджує, що числові проміжки [-3; 5) і (-4; -3] мають тільки одне спільне число -3.

Знаком 0 позначають порожню множину. Остання рівність стверджує, що числові проміжки (-3; 5) і (-5; -4) не мають спільних чисел.

Об’єднанням двох числових проміжків називають множину чисел, яка містить кожне число кожного проміжку і тільки такі числа.

Об’єднання двох множин позначають знаком . Тому пишуть: (2; 4) (3; 5) = (2; 5). Наочно цю рівність ілюструє малюнок 28.

Мал. 28

* Щоб скористатися QR-кодом, необхідно встановити спеціальне програмне забезпечення на смартфоні/планшеті. Наприклад, для пристроїв з операційною системою Android потрібно запустити застосунок Google Play Market та завантажити програму Powerful QR Code Scaner будь-яку аналогічну. Завантажити програми для зчитування QR-кодів для інших операційних систем допоможуть відповідні застосунки: Windows Mobile — Windows Store, iOS — Upp Store.

Малюнкам 29-31 відповідають рівності:

Мал. 29

Мал. 30

Мал. 31

Мал. 32

Об’єднання проміжків (-3; 5) і (-5; -4) складається з двох роз’єднаних проміжків (мал. 32); його позначають так:

(-5; -4) (-3; 5).

Іноді доводиться розглядати переріз або об’єднання трьох чи більшої кількості числових проміжків.

Перерізом трьох числових проміжків є множина чисел, яка містить числа, спільні для усіх трьох даних проміжків і тільки їх. Наприклад,

(-4; 5 ) (-∞;6) [-3;7) = [-3;5).

Об’єднанням трьох числових проміжків є множина чисел, яка містить кожне число кожного проміжку і тільки їх. Наприклад,

(-4; 5) д (-∞;6) [-3;7) = (-∞;7).

Цим рівностям відповідає малюнок 33, а і б.

Мал. 33

Оскільки існує багато видів числових проміжків, то їх бажано відповідно називати. Якщо а і b — довільні дійсні числа, то:

(-∞a), (b; ∞) — нескінченні числові проміжки;

(а; b) — відкритий проміжок, або інтервал;

[a; b] — закритий проміжок, відрізок;

[a; b) — проміжок, відкритий справа;

(a; b] — проміжок, відкритий зліва.

На малюнку 34 показано числові проміжки, їх зображення на числовій прямій і відповідні нерівності.

Мал. 34

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Іноді виникає потреба знайти об’єднання розв’язків двох або більше нерівностей. У таких випадках говорять про сукупність нерівностей. Її записують за допомогою квадратної дужки:

Розв’язком сукупності нерівностей називається значення змінної, яке задовольняє хоча б одну з даних нерівностей. Розв’язати сукупність нерівностей — означає знайти всі її розв’язки або показати, що їх не існує. Множиною розв’язків даної сукупності нерівностей є два проміжки (-∞; 4) д (8,5; ∞).

Сукупності використовують для розв’язування деяких видів рівнянь і нерівностей, зокрема нерівностей з модулем. Будь-яку нерівність виду |М| > а, де M — деякий вираз, можна записати у вигляді сукупності:

Перевірте себе

1. Що таке переріз двох множин? Яким символом його позначають?

2. Що таке переріз двох числових проміжків?

3. Що таке об’єднання двох множин? Яким символом його позначають?

4. Що таке об’єднання двох числових проміжків?

5. Наведіть приклад інтервалу, відрізка.

6. Наведіть приклади нескінченних числових проміжків.

Виконаємо разом

1. Знайдіть переріз і об’єднання числових проміжків (-6; 8) і (5; ∞).

Розв’язання. Зобразимо дані проміжки геометрично (мал. 35). Їх спільні числа складають проміжок (5; 8). Отже, (-6; 8 ) (5; ) = (;8). Об’єднання даних числових проміжків:

(-6; 8 )д (5; ∞) = (-6; ∞).

Мал. 35

Розв’яжіть нерівність |5х -3| ≥ 2.

• Розв’язання. а) Нерівність |5х -3| ≥ 2 рівносильна сукупності нерівностей

На малюнку 36 зображено множину чисел, що відповідає цій сукупності і задовольняє задану нерівність.

Мал. 36

Відповідь. (-∞; 0,2] [1; ∞).

Виконайте усно

176. Знайдіть об’єднання та переріз множин А і В, якщо:

177. Знайдіть об’єднання числових проміжків:

а) (0; 1) і (0; 2); в) (1; 2] і [2; 5);

б) (0; 1) і (0,5; 1); г) (-∞;0) і [0; 3).

178. Знайдіть переріз числових проміжків, указаних у попередньому завданні.

179. Які натуральні числа містяться в числовому проміжку (1; 8)? А в проміжку [1; 8]?

180. Які цілі числа містяться в проміжку:

а) [-3; 4];

б) (-3; 4);

в) (-3; 4];

г) [-3; 4)?

181. Чому дорівнює переріз проміжків [a; b] і (а; b)? А їх об’єднання?

182. Зобразіть на координатній прямій числовий проміжок:

а) (2; ∞); б) (-∞;0); в) [-3; ∞); г) (-∞; -4].

183. Запишіть символами числові проміжки, що відповідають проміжкам, зображеним на малюнку 37.

Мал. 37

184. Зобразіть у вигляді проміжків і на координатній прямій множини чисел, що задовольняють нерівність:

а) x < 3;

б) x ≥ -2;

в) x ≤ 0;

г) x > 7.

185. Яка лінійна нерівність має множину розв’язків:

а) (3; ∞);

б) (-2; ∞);

в) (-∞;7];

г) [-3; ∞)?

186. Відкрита задача. Складіть лінійну нерівність, яка має множину розв’язків, зображену на малюнку 37.

187. Зобразіть символами і графічно множину дійсних чисел, які задовольняють подвійну нерівність:

а) -3 < x < 2;

б) 0 < x < 4;

в) -5 < x < 0.

188. Знайдіть об’єднання і переріз числових проміжків:

189. Перемалюйте таблицю в зошит і занесіть у неї об’єднання та перерізи зазначених числових проміжків.

Проміжки

Об’єднання

Переріз

1

(0; 3) і (0; 5)

2

(-2; 0) і (-3; 0)

3

(∞;1) і (0; 2)

4

(-2; ∞) і (0; ∞)

5

(-∞; 1) і (0; ∞)

190. Порівняйте числа а і c, якщо:

Розв’яжіть нерівність і запишіть відповідь у вигляді проміжку (191—192).

191.

192.

Зобразіть на координатній прямій множину розв’язків нерівності (193-195).

193.

194.

195.

РІВЕНЬ

196. За якої умови:

197. Порівняйте числа x і а, у і с, якщо:

198. Запишіть у вигляді подвійної нерівності співвідношення між числами а, x і у, якщо:

199. Які дробові числа зі знаменником 2 містяться у проміжку:

а) (1; 6);

б) (2; 3);

в) [-5; 0];

г) [-2; 3]?

200. При яких значеннях x значення виразу 1,3 - 0,3x належить проміжку:

а) (-0,2; 2,5);

б) [1; 4);

в) (-2,6; 0,2];

г) [-2; 0,1]?

201. При яких значеннях x значення виразу 3х + 2 належить проміжку:

а) [-1; 5];

б) (1; 17);

в) [0; 3);

г) (-7; -1]?

202. Вишивальниця працює вдома і за одну годину роботи заробляє 10 грошових одиниць. Їй потрібно придбати певний товар, вартість якого у магазині становить 15 грошових одиниць за 1 пакунок без черги, а у гіпермаркеті цей самий товар вона може придбати за 11 грошових одиниць, але для цього вона має вистояти чергу протягом однієї години. З’ясуйте: а) за яких умов вигідною є покупка дорожчого товару; б) скільки товару слід придбати, щоб вигідно було стояти в черзі 1 годину.

Розв’яжіть нерівність і запишіть розв’язок у вигляді проміжку (203—204).

203.

204.

"Поле застосування математики не має меж, відмінних від меж самого знання".

С. Н. Бернштейн

205. Прийнявши площу меншого квадрата за 1, з’ясуйте, до якого числового проміжку належить площа зафарбованої фігури, зображеної на малюнку 38: а) [1; 2), б) [2; 3), в) [3; 4), г) [4; 5)?

Мал. 38

Знайдіть об’єднання і переріз множин, що є розв’язками нерівностей (206-207).

206.

207.

208. На малюнку 39, а зображено фігуру, складену з n кубиків, поставлених на квадрат 4 х 4.

1) До якого з проміжків — (57; 67), (50; 69) чи [45; 55] входить число n?

2) До якого з проміжків — (13; 23], (25; 35], (10; 20] входить число m кубиків, якими слід доповнити задану фігуру, щоб отримати куб 4х4х5?

3) Відкрита задача. Складіть і розв’яжіть аналогічні задачі, зобразивши фігуру, складену з n кубиків, поставлених на квадрат 5x5 (мал. 39,б).

Мал. 39

Розв’яжіть нерівність (209-210).

209*.

210.

Вправи для повторення

211. Знайдіть значення добутку:

212. Знайдіть корені рівняння:

213. Задача ал-Кархі. Знайдіть площу прямокутника, основа якого вдвічі більша за висоту, а площа чисельно дорівнює периметру.

214. Об’єктом оподаткування транспортним податком є легкові автомобілі, з року випуску яких минуло не більше п’яти років (включно) та середньоринкова вартість яких становить 1,03 млн грн. Транспортний податок за 2016 рік за легкові автомобілі сплачують власники за ставкою 25 000 грн на рік за кожен автомобіль. Установіть, який відсоток вартості нового автомобіля заплатить його власник у вигляді транспортного податку за 5 років, якщо автомобіль коштує:

а) 1 055 835 грн; в) 2 051 281 грн;

б) 1 187 844 грн; г) 2 450 448 грн.

Скарбничка досягнень

ü Можу пояснити, що таке переріз і об’єднання множин.

ü Умію зображати числові проміжки, задані нерівностями (с. 45)

ü Умію зображати на координатній прямій об’єднання та переріз числових проміжків.

ü Умію записувати символами і нерівностями задані графічно числові проміжки.

ü Хочу навчитися записувати розв’язки сукупностей нерівностей у вигляді об’єднання відповідних проміжків.

Використовуємо набуті компетентності

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Зміст відношень «більше», «менше», «не більше», «не менше».

— Види нерівностей (строгі, нестрогі, числові, зі змінними).

— Властивості числових нерівностей.

— Як розв’язують лінійні нерівності.

— Як записують розв’язки нерівностей.

— Що таке переріз та об’єднання множин.

— Як знайти переріз та об’єднання числових проміжків.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити