Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 1 МИТРОПОЛЬСЬКИЙ Юрій Олексійович (1916-2008)

§ 6 Системи нерівностей з однією змінною

Іноді виникає потреба визначити спільні розв’язки кількох нерівностей. Знайдемо, наприклад, спільні розв’язки двох нерівностей

2х - 3 < 5 і 2 - 3х < 11.

Тобто знайдемо такі значення х, які задовольняють як першу, так і другу нерівність.

У таких випадках говорять про систему нерівностей.

Систему нерівностей, як і систему рівнянь, записують за допомогою фігурної дужки:

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, яке задовольняє кожну з нерівностей даної системи.

Розв’язати систему нерівностей — означає знайти всі її розв’язки або показати, що їх немає.

Розв’яжемо наведену вище систему, поступово замінюючи кожну її нерівність простішою і рівносильною їй:

Множиною розв’язків системи нерівностей буде переріз множин розв’язків нерівностей, що входять до неї. Знайдемо переріз за допомогою координатної прямої.

Першу нерівність задовольняють усі числа, менші від 4, а другу — всі числа, більші від -3 (мал. 40).

Мал. 40

Обидві нерівності системи задовольняють такі значення х, що -3 < х < 4. Ця множина значень х — проміжок (-3; 4). Числа -3 і 4 цьому проміжку не належать.

Розв’яжемо ще дві системи нерівностей:

Розв’язання.

Обидві нерівності задовольняють значення х, більші від 5 (мал. 41).

Мал. 41

Немає числа, яке було б водночас меншим від 1 і більшим від 4 (мал. 42).

Мал. 42

Відповідь. а) (5; оо); б) розв’язків немає.

До розв’язування систем зводиться розв’язування і таких, наприклад, нерівностей:

Розв’язання. а) Добуток двох чисел від’ємний, якщо одне з цих чисел від’ємне, а інше — додатне. Тому розв’язком даної нерівності буде об’єднання розв’язків двох систем нерівностей:

Перша з цих систем розв’язків не має, множина розв’язків другої системи — числовий проміжок (-5; 2) — розв’язок даної нерівності.

б) Значення дробу від’ємне, якщо один з його членів від’ємний, а другий — додатний. Тому розв’язування нерівності б) таке саме, як і розв’язування нерівності а), і відповідь така сама.

Відповідь. а) (-5; 2); б) (-5; 2).

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Розв’яжемо нерівності:

Розв’язання.

а) Нерівність |2х - 3| ≤ 5 і подвійна нерівність -5 ≤ 2х - 3 ≤ 5 рівносильні системі нерівностей:

її множина розв’язків [-1; 4].

б) Нерівність |х -1 > 2х - 5 рівносильна сукупності нерівностей:

Дану нерівність задовольняють усі числа з проміжків (-∞;4) і (-∞;2). їх об’єднання (-∞;4).

Відповідь, а) [-1; 4]; б) (-∞; 4).

Перевірте себе

1. Наведіть приклад системи нерівностей.

2. Що таке розв’язок системи нерівностей з однією змінною?

3. Що означає «розв’язати систему нерівностей»?

4. Як знайти розв’язок системи, якщо відомі розв’язки кожної нерівності, що входять до неї?

Виконаємо разом

1. Розв’яжіть систему нерівностей:

• Розв’язання.

Перша нерівність неправильна, тому система не має розв’язків. Відповідь. Система розв’язків не має.

2. При яких значеннях х має зміст вираз

• Розв’язання. Вираз має зміст за умови, що:

Обидві нерівності задовольняють такі значення х, що 1 < x < 5 (мал. 43).

Мал. 43

Виконайте усно

215. Чи має розв’язки система нерівностей:

216. Чи задовольняє систему нерівностей число:

а) 2;

б) 3;

в) 0;

г) 6?

217. Яка з нерівностей: а) |x| < 3; б) |x| -1 < 0,5; в) |x| > 5; г) 7 - |x| < 0 рівносильна системі відповідних нерівностей? А яка — сукупності?

Рівень A

218. Чи є число 2 розв’язком системи нерівностей:

219. Які з чисел - 1, 0, 1, 2, 3 задовольняють систему нерівностей:

220. Розв’яжіть систему нерівностей і вкажіть два цілі числа, які її задовольняють:

Розв’яжіть систему нерівностей (221—224).

221.

222.

223.

224.

225. Укажіть декілька таких значень а, щоб кожна з систем нерівностей а), б), в): 1) мала розв’язок; 2) не мала розв’язків:

Розв’яжіть систему нерівностей (226—228).

226.

227.

228.

229. Знайдіть цілі розв’язки системи нерівностей:

230. Розв’яжіть подвійну нерівність:

Розв’яжіть систему нерівностей (231—234).

231.

232.

233.

234. Розв’яжіть кожну із систем нерівностей.

Зобразіть на координатній площині множину точок, ординати яких задовольняють першу систему, а абсциси — другу. Яка фігура утворилася? Знайдіть периметр і площу утвореної фігури.

235. При яких значеннях змінної x має зміст вираз:

236. При яких значеннях x значення виразу 4х - 1,5 належить проміжку:

а) (1; 2);

б) [-2; 0];

в) (-∞;0);

г) [3; 7)?

237. При яких c значення виразу належить проміжку:

Розв’яжіть нерівність (238—241).

238.

239.

240.

241.

242. При яких значеннях n

а) різниця дробів більша за їх добуток;

б) сума дробів менша за їх добуток?

243. Уранці в понеділок у касу банку з Фонду страхування вкладів привезли 720 000 грн, які потрібно видавати до суботи включно. Яку суму може видавати каса банку щодня, якщо за один день видача готівки не має перевищувати 150 000 грн?

244. Розв’яжіть систему трьох нерівностей:

245. Розв’яжіть систему подвійних нерівностей:

246. Розв’яжіть нерівність:

247. Чи правильно, якщо число а додатне, то нерівність:

а) х2 < а2 рівносильна нерівності |х| < а;

б) х2 > а2 рівносильна нерівності |х| > а?

248. Розв’яжіть нерівність двома способами:

Розв’яжіть нерівність (249—251).

249*.

250*.

251*.

Вправи для повторення

252. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

а) х2 - 10х + 21;

б) а2 + 2а - 15;

в) 2х2 + 5х - 3;

г) c2 - 11c - 26;

ґ) 9а2 + 3а - 2;

д) 4c2 + 25c + 25.

253. Доведіть, що значення виразу 1710 + 3 ∙ 710 - 3 ∙ 79 + 179 ділиться націло на 36.

254. Запишіть у стандартному вигляді число:

а) 47 000 000;

б) 308 000 000;

в) 0,000000039;

г) 0,00000407;

ґ) 803 ∙ 109;

д) 0,067 ∙ 107;

е) 3,7 ∙ 1005;

є) 0,42 ∙ 10-7;

ж) 20005.

255. Побудуйте графік рівняння:

а) 2х + 3у = 6;

б) ху = 12;

в) х2 + у2 = 4;

г) у2 - х2 = 0.

Скарбничка досягнень

ü Можу навести приклад системи нерівностей з однією змінною.

ü Розумію, що таке розв’язок системи нерівностей з однією змінною.

ü Умію:

— розв’язувати системи лінійних нерівностей з однією змінною;

— записувати розв’язки системи нерівностей.

Використовуємо набуті компетентності

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

Якщо різниця а - b — число додатне, то число а більше від b.

Середнє арифметичне

Якщо різниця a - b — число від’ємне, то число a менше від b.

Середнє геометричне

Значення виразів

(а + b)2 ≥ 0

для будь-яких а і b;

(а + b)2 + c > 0

для c > 0 і будь-яких а і b



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити