Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 1 МИТРОПОЛЬСЬКИЙ Юрій Олексійович (1916-2008)

§ 7 Доведення нерівностей*

Іноді виникає потреба довести, що дана нерівність зі змінними правильна при всіх указаних значеннях змінних. Це можна робити на основі означення понять «більше» і «менше»:

а > b, якщо різниця а - b — число додатне.

Приклад 1. Доведіть, що при кожному дійсному значенні а

а2 + 2 > 2а.

Доведення. а2 + 2 - 2а = а2 - 2а + 1 + 1 = (а - 1)2 + 1. При кожному дійсному значенні а значення виразу (а - 1)2 невід’ємне, (а - 1)2 + 1 — додатне. Отже, завжди а2 + 2 > 2а.

Приклад 2. Доведіть, що при додатних а і b

Доведення.

Утворений вираз при будь-яких додатних а і b невід’ємний.

Отже, якщо а > 0 і b > 0, то

Рівність тут має місце тільки тоді, коли а = b.

* Для тих, хто хоче знати більше

З а у в а ж е н н я. Вираз називають середнім арифметичним чисел а і b, а вираз — їх середнім геометричним. Тому доведену нерівність читають так: середнє арифметичне двох додатних чисел не менше від їх середнього геометричного.

Приклад 3. Доведіть, що при додатних a, b і c

(а + b) (b + c) (c + a) ≥ 8abc.

Доведення. Оскільки середнє арифметичне двох додатних чисел не менше від їх середнього геометричного, то

Перемноживши почленно ці нерівності, маємо:

або

(а + b) (b + c) (c + а) ≥ 8abc.

Довести твердження зі змінними — означає показати, що воно істинне при всіх допустимих значеннях змінних. Спростувати твердження — означає довести, що воно хибне.

Спростувати нерівність зі змінними — означає показати, що дана нерівність хибна хоч би при одному значенні змінної.

Приклад. Спростуйте нерівність (n + 1)2 > n2.

С п р о с т у в а н н я. Якщо n = -1, то нерівність матиме вигляд 02 > 12. Остання нерівність неправильна. Тому неправильна і дана нерівність.

Приклад, що спростовує яке-небудь твердження, називають контрприкладом.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Крім середнього арифметичного і середнього геометричного, науковці часто розглядають середнє квадратичне двох чи кількох чисел. Середнім квадратичним кількох чисел називають число, що дорівнює квадратному кореневі із середнього арифметичного їх квадратів.

Середнім квадратичним чисел a і b або x, y і z є відповідно:

Середнє квадратичне двох чисел завжди більше за їх середнє арифметичне.

Спробуйте довести, що для будь-яких додатних чисел а і b завжди:

Проілюструйте правильність такої подвійної нерівності, використовуючи малюнок 44.

Мал. 44

Перевірте себе

1. Що означає «довести твердження»? А спростувати?

2. Що означає «довести нерівність»?

3. Сформулюйте означення середнього арифметичного та середнього геометричного двох чисел.

4. Порівняйте середнє арифметичне і середнє геометричне двох додатних чисел.

Виконаємо разом

Доведіть, якщо

Сформулюйте це твердження.

• Доведення. Якщо а < b, то 2а < а + b, звідси

Якщо а < b, то а + b < 2b, звідси

Об’єднавши обидва випадки, маємо: якщо а < b, то

Одержану подвійну нерівність можна сформулювати так: середнє арифметичне двох нерівних дійсних чисел більше від меншого із даних чисел і менше від більшого з них.

Виконайте усно

256. Знайдіть середнє арифметичне чисел:

а) 1,3 і 2,7;

б) 38 і 0;

в) 409 і -409;

г) 10, 20 і 30.

257. Знайдіть середнє геометричне чисел:

а) 50 і 8;

б) 1000 і 40;

в) 0,2 і 0,8;

г) 511 і 5-7.

Доведіть нерівність (258—259).

258.

а) (а - 2)2 + 3 > 0;

б) (1 - 2а)2 + 1 ≥ 0;

в) (а + 2)2 > 4а.

259.

а) а2 + 6а + 10 > 0;

б) 9 - 12а + 4а2 > 0;

в) а4 + 1 > 2а2.

Рівень А

Доведіть нерівність (260—263).

260.

261.

262.

263.

264. Доведіть, що для кожного від’ємного значення х:

а) (х - 1)(х - 2) > 0;

б) х2 + 9 > 10х;

в) (х - 3)(3 - х) < 0;

г) (2 - х)(х - 3) < 0.

265. Доведіть, що для кожного додатного с:

Доведіть нерівність (266—267).

266.

267.

268. Доведіть, що сума квадратів двох будь-яких дійсних чисел не менша від їх подвоєного добутку.

269. Що більше: а) сума квадратів двох додатних чисел чи квадрат їх суми; б) сума квадратів двох від’ємних чисел чи квадрат їх суми?

270. Доведіть, що півсума квадратів двох дійсних чисел не менша від квадрата їх півсуми.

271. З усіх прямокутників, що мають рівні площі, найменший периметр має квадрат. Доведіть.

272. З усіх прямокутних трикутників з рівними гіпотенузами найбільшу площу має рівнобедрений трикутник (мал. 45). Доведіть.

273. З усіх прямокутників, вписаних у дане коло, найбільшу площу має квадрат. Доведіть.

Доведіть для будь-яких дійсних значень змінних нерівність (274—278).

Мал. 45

274.

275.

276.

277.

Доведіть істинність числової нерівності (278—280).

278.

279.

280.

Вправи для повторення

281.

282. Один із коренів рівняння x3 + 2x2 - 9x + a = 0 дорівнює -2. Знайдіть решту коренів цього рівняння.

283. Руда містить 60 % заліза. З неї виплавляють чавун, який містить 98 % заліза. Із скількох тонн руди виплавляють 1000 т чавуну?

284. Задано функцію

1) Обчисліть f(9), f(99), f(999).

2) Знайдіть область визначення функції f(х).

285. Установіть відповідність між формулами (1 - 4), що задають деякі функції, та відповідними їм графіками (А - Д).

Скарбничка досягнень

ü Знаю, що

ü Знаю, що спростувати нерівність зі змінною — означає показати, що дана нерівність хибна хоча би при одному значенні змінної.

ü Умію використовувати означення понять «більше» і «менше» для доведення нерівностей зі змінними.

Завдання для самостійної роботи*

Варіант І

1°. Розв’яжіть нерівність 3х - 5 < 13.

2. Розв’яжіть систему нерівностей:

3. Розв’яжіть подвійну нерівність -1 ≤ 2х - 3 < 5. ВАРІАНТІ

Варіант ІІ

1°. Розв’яжіть нерівність 4х - 7 < 13.

2. Розв’яжіть систему нерівностей:

3. Розв’яжіть подвійну нерівність -3 < 2с + 1 ≤ 7.

Варіант ІІІ

1°. Розв’яжіть нерівність 5х - 4 > 26.

2. Розв’яжіть систему нерівностей:

3. Розв’яжіть подвійну нерівність -2 ≤ 3n + 4 < 10. ВАРІАНТ I

Варіант VІ

1°. Розв’яжіть нерівність 7х + 3 > 38.

2. Розв’яжіть систему нерівностей:

3. Розв’яжіть подвійну нерівність -5 < 2m - 1 < 7.

*Тут і далі:

* — початковий і середній рівні;

* — середній рівень;

** — високий рівень.

ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ

Визначати, яке з двох чисел більше, а яке — менше, люди вміли ще до нашої ери. В «Основах» Евкліда (ІІІ ст. до н. е.) доведено нерівність, яку тепер прийнято записувати так:

Тільки під а і b тоді розуміли не довільні додатні числа, а довжини відрізків; доведення пропонувалось суто геометричне і без знаків нерівності.

Давньогрецький учений Архімед (III ст. до н. e.) довів подвійну нерівність, яку тепер записують так:

Знаки «<» і «>» вперше запровадив англійський математик Т. Гарріот у 1631 р. Хоча знаки нерівності запропоновано пізніше від знака рівності, використовуватися вони почали раніше, оскільки друкували їх, користуючись буквою V, а знака рівності «=» на той час у друкарні ще не було.

Знаки нестрогих нерівностей запровадив у 1670 р. англійський математик Дж. Валліс. Тільки риску він писав над знаком нерівності. Такі знаки використовувалися рідко. У звичайному для нас вигляді знаки «≤» і «≥» запропонував у 1734 р. французький математик П. Бугер.

У сучасній математиці та прикладних науках часто використовують нерівності між середніми, зокрема між середнім арифметичним і середнім квадратичним кількох дійсних чисел. Наприклад, якщо а1, а2, а3,..., an — довільні дійсні числа, n e N, n ≥ 2, то правильна нерівність:

Відомі нерівності, які мають власні назви.

Нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним n додатних чисел називають нерівністю Коші:

Нерівність Буняковського:

Огюстен Луї Коші — французький математик, член Паризької академії наук, Лондонського королівського товариства та багатьох інших академій наук. Працював у різних галузях математики (арифметика і теорія чисел, алгебра, математичний аналіз, диференціальні рівняння, геометрія, тригонометрія, теоретична і небесна механіка, математична фізика, астрономія). Роботи Коші відкрили нову епоху в розвитку математичних наук, заклали основи сучасної математики. Величезною була продуктивність праці Коші: були періоди, коли він щотижня подавав до Паризької АН новий мемуар. Швидкість, з якою Коші переходив від одного предмета до іншого, дала йому змогу прокласти в математиці багато нових шляхів. Загалом він написав і опублікував понад 800 робіт. Повне зібрання його творів, видане Паризькою АН, містить 27 томів.

Огюстен Луї Коші (1789-1857)

З українських математиків XIX ст. проблеми, пов’язані з нерівностями, найбільше досліджував Віктор Якович Буняковський. Народився він у м. Бар (тепер - Вінницької області), навчався в Німеччині, Франції. Захистив дисертацію і одержав ступінь доктора математики в Парижі (1825). Доведену ним нерівність іноді приписують німецькому математику Г. Шварцу, але В. Я. Буняковський довів її на 16 років раніше. В. Я. Буняковський досліджував статистичні характеристики народонаселення, правдоподібності свідчень і показів у судочинстві, похибок у спостереженнях тощо.

З 1858 р. був головним експертом уряду з питань статистики і страхування.

Існують й інші нерівності, що мають власні імена: нерівність Гельдера, нерівність Мінковського, нерівність Юнга та інші. Ці нерівності використовують у різних галузях вищої математики. З ними ви ознайомитеся з часом, якщо станете фахівцями в галузі математики.

Нерівності використовують і в геометрії. Наприклад, ABC існує тоді і тільки тоді, коли виконуються три нерівності:

AB < BC + CA, BC < CA + AB і CA < AB + BC.

В. Я. Буняковський (1804 - 1889)

Головне в розділі

Число а більше за число b, якщо різниця a - b є додатним числом; число а менше за число b, якщо різниця а - b — число від’ємне. Будь-який зі знаків <, >, ≤ і ≥ називають знаком нерівності. Знаки < і > називають знаками строгої нерівності. Знаки ≤ і ≥ називають знаками нестрогої нерівності.

Запис а < b означає, що а < b або а - b.

Запис а > b означає, що а > b або а - b.

Два вирази, сполучені знаком нерівності (<, >, ≤ чи ≥), утворюють нерівність. Нерівність називають числовою, якщо обидві її частини — числові вирази.

Властивості числових нерівностей

Якщо:

а < b і b < c, то а < c;

а < b і c — довільне число, то а + c < b + c;

а < b і c > 0, то ac < bc;

a < b і c < 0, то ac > bc;

a < b і c < d, то a + c < b + d;

a < b, c < d і a, b, c, d — числа додатні, то ac < bd.

Нерівності виду a < x < b, a ≤ x < b, a < x ≤ b, a ≤ x ≤ b називаються подвійними нерівностями. Їх зручно використовувати для оцінювання значень величин і наближених обчислень. Адже якщо а < x < b і c < y < d, то

a + c < x + y < b + d,

a - d < x - y < b - c,

ac < xy < bd,

a : d < x : y < b : c.

Дві останні подвійні нерівності правильні за умови, якщо числа а і c — додатні.

2x + 17 < 1, 12 - 3x ≥ 2 — приклади нерівностей з однією змінною x.

Нерівності зі змінними подібні до рівнянь. Розв’язком нерівності зі змінною називається таке число, яке задовольняє дану нерівність, тобто перетворює її в правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність — означає знайти всі її розв’язки або показати, що їх немає.

Множини розв’язків найчастіше утворюють проміжки. Наприклад, множини розв’язків нерівностей 2x + 7 < 15 і 8 + 3x > 2 — це відповідно проміжки (-∞; 4) та [2; ∞).

Декілька нерівностей з тією самою змінною утворюють систему нерівностей, якщо треба знайти їх спільні розв’язки. Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або показати, що їх не існує.

З’ясовуємо досягнення

1. Виберіть правильну нерівність:

2. Сумою нерівностей 5 > 3 і 2 > -1 є нерівність:

а) 4 > 5;

б) 4 < 5;

в) 7 > 2;

г) 7 ≥ 2.

3. Укажіть строгу нерівність:

4. Нерівність х2 + 2х + 1 ≤ 0 задовольняє число:

а) 2;

б) 1;

в) 0;

г) -1.

5. Скільки цілих чисел задовольняє подвійну нерівність -1 ≤ х ≤ 1:

а) одне;

б) два;

в) три;

г) чотири?

6. Виберіть проміжок, якому належить число

7. Виберіть нерівність, яка не має розв’язків:

8. Система нерівностей має множину розв’язків:

а) (-∞;1];

б) [1,5; ∞);

в) (-∞; 1,5];

г) [2; 3].

9. Яке найбільше число є розв’язком нерівності х2 - 2х ≥ х2 + 2:

а) 2;

б) 1;

в) -1;

г) -2?

10. Знайдіть область визначення функції

а) (-∞;0];

б) (-∞;0);

в) [0; ∞);

г) (0; ∞).

Типові завдання до контрольної роботи № 1

1. Порівняйте дроби:

2. Відомо, що х < у. Порівняйте:

3. Дано 7 < b < 12, 2 < c < 5. Оцініть значення виразу:

4. Розв’яжіть нерівність:

5. Знайдіть об’єднання і переріз множин A і C, якщо:

6. Розв’яжіть систему нерівностей:

7. Знайдіть область визначення функції:

8. Розв’яжіть нерівність:

9. Розв’яжіть рівняння:

|х +1 + |х - 2| = 3.

10. Доведіть нерівність, якщо a > 0, b > 0, c > 0:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити