Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 2 КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

§ 9. КВАДРАТНА НЕРІВНІСТЬ

1. ПОНЯТТЯ КВАДРАТНОЇ НЕРІВНОСТІ

Ви вже знаєте, як розв’язувати квадратні рівняння. У цьому параграфі ви дізнаєтесь, які нерівності називають квадратними та як їх розв’язувати.

Квадратними нерівностями називаються нерівності виду:

ах2 + bх + с > 0,

ах2 + bх + с 0,

ах2 + bх + с < 0,

ах2 + bх + с 0,

_ де х — змінна, а, b і с — деякі числа, а 0.

Наприклад, квадратними є нерівності: х2 + 2 < 0, х2 + 5х > 0, х2 + 7х - 1 > 0, -х2 + 6х - 5 < 0, х2 + 2х - 3 > 0.

Як знайти всі розв’язки квадратної нерівності? Для цього скористаємося графіком відповідної квадратичної функції, тобто розв’яжемо квадратну нерівність графічно.

2. ГРАФІЧНИЙ СПОСІБ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КВАДРАТНОЇ НЕРІВНОСТІ

Розглянемо нерівність х2 - 4 < 0.

Ліва частина нерівності задає квадратичну функцію у = х2 - 4. Розв’язати цю нерівність — означає знайти, для яких значень змінної х значення даної функції є від’ємними.

Функція у = х2 - 4 має два нулі: х1 = -2 і х2 = 2. Точки (-2; 0) і (2; 0) — це точки перетину графіка даної функції з віссю ОХ. Побудуємо схематично параболу у = х2 - 4, врахувавши напрям її віток (мал. 132). З малюнка видно:

1) у точках х = -2 і х = 2 значення функції дорівнюють нулю;

2) для х (-;-2) (2; +) точки параболи розміщені над віссю ОХ і значення функції в цих точках — додатні;

3) для х (-2; 2) точки параболи розміщені під віссю ОХ і значення функції в цих точках — від’ємні.

Тоді множиною розв’язків нерівності х2 - 4 < 0 є проміжок (-2; 2). Отже, х (-2; 2).

Скориставшись цим графіком, можна встановити множини розв’язків ще й таких нерівностей:

х2 - 4 > 0: х (-;-2) (2; +);

х2 - 4 0: х [-2; 2];

х2 - 4 0: х (-;-2] [2; +).

Переконайтеся в цьому самостійно.

Мал. 132

Зверніть увагу:

розв’язати квадратну нерівність ах2 + bх + с < 0 (ах2 + bх + с > 0) графічним способом — означає знайти всі значення змінної х, для яких відповідні значення функції у = ах2 + bх + с є від’ємними (додатними). Для цього потрібно:

1) знайти нулі функції у = ах2 + bх + с і, якщо вони існують, позначити на осі ОХ відповідні точки;

2) врахувавши напрям віток, схематично побудувати параболу;

3) визначити, для яких значень змінної х функція у = ах2 + bх + с набуває від’ємних (додатних) значень та записати множину цих значень як числовий проміжок або як їх об’єднання.

Як ви знаєте, на множині дійсних чисел квадратична функція може мати два нулі, один нуль або взагалі не мати нулів залежно від значення дискримінанта. Розглянемо ці випадки.

3. КВАДРАТНА НЕРІВНІСТЬ, У ЯКОЇ ДИСКРИМІНАНТ КВАДРАТНОГО ТРИЧЛЕНА Є ДОДАТНИМ

Якщо квадратний тричлен ах2 + bх + с має додатний дискримінант, то відповідна квадратична функція у = ах2 + bх + с має два нулі. Парабола у = ах2 + bх + с перетинає вісь ОХ у двох точках (мал. 133).

Мал. 133

Задача 1. Розв’яжіть нерівність х2 + 2х - 3 < 0.

Розв’язання. Розглянемо відповідну квадратичну функцію у = х2 + 2х - 3.

Множина розв’язків нерівності х2 + 2х - 3 < 0 — це множина значень змінної х, для яких значення функції у = х2 + 2х - 3 є від’ємними.

1. Знайдемо нулі функції: х2 + 2х - 3 = 0,

D = 22 - 4-1-(-3) = 16.

Оскільки D > 0, то функція має два нулі:

х1 = -3 і х2 = 1.

Отже, графік функції перетинає вісь ОХ у двох точках: (-3; 0) і (1; 0). Позначимо ці точки на осі ОХ.

2. Побудуємо схематично параболу (мал. 134), врахувавши, що її вітки напрямлені вгору.

3. З малюнка 134 видно, що функція у = х2 + 2х - 3 набуває від’ємних значень (у < 0), якщо х (-3; 1).

Отже, усі розв’язки нерівності х2 + 2х - 3 < 0 утворюють проміжок (-3; 1).

Мал. 134

Задача 2. Розв’яжіть нерівність -2х2 - х + 3 < 0.

Розв’язання. Розглянемо відповідну квадратичну функцію у = -2х2 - х + 3. Множина розв’язків нерівності -2х2 - х + 3 ≤ 0 — це множина значень змінної х, для яких значення функції у = -2х2 - х + 3 є не додатними.

1. Знайдемо нулі функції:

-2х2 - х + 3 = 0,

D = 25.

Оскільки D > 0, то функція має два нулі:

х1 = -1,5 і х2 = 1.

Отже, графік функції перетинає вісь ОХ у двох точках: (-1,5; 0) і (1; 0). Позначимо ці точки на осі ОХ.

Мал. 135

2. Побудуємо схематично параболу (мал. 135), врахувавши, що її вітки напрямлені вниз.

3. З малюнка 135 видно, що функція у = -2х2 - х + 3 набуває не додатних значень (у 0), якщо х (-;-1,5] [1; +).

Отже, множина розв’язків даної нерівності — це об’єднання проміжків: ( -;-1,5] [1; +).

Зауважимо, що нерівність -2х2 - х + 3 0 можна було б спочатку домножити на -1 і розв’язувати вже нерівність 2х2 + х - 3 0.

Зверніть увагу:

Якщо квадратична функція у = ах2 + bх + с (а > 0) має два нулі х1, х2, то:

• усі розв’язки нерівності ах2 + bх + с > 0 утворюють об’єднання проміжків: (-; х1) 2; +);

• усі розв’язки нерівності ах2 + bх + с < 0 утворюють проміжок (х1; х2).

4. КВАДРАТНА НЕРІВНІСТЬ, У ЯКОЇ ДИСКРИМІНАНТ КВАДРАТНОГО ТРИЧЛЕНА ДОРІВНЮЄ НУЛЮ

Якщо квадратний тричлен ах2 + bх + с має дискримінант, що дорівнює нулю, то відповідна квадратична функція у = ах2 + + bх + с має один нуль функції. Тоді парабола у = ах2 + bх + с дотикається до осі ОХ (мал. 136).

Мал. 136

Задача 3. Розв’яжіть нерівність х2 + 2х + 1 > 0.

Розв’язання. Розглянемо відповідну квадратичну функцію

у = х2 + 2х + 1.

Множина розв’язків нерівності х2 + 2х + 1 > 0 — це множина значень змінної х, для яких значення функції у = х2 + 2х + 1 є додатними.

1. Знайдемо нулі функції:

х2 + 2х + 1 = 0.

D = 0.

Функція має один нуль: х1 = х2 = -1. Отже, графік функції дотикається до осі ОХ у точці (-1; 0). Позначимо цю точку на осі ОХ.

2. Побудуємо схематично параболу у = х2 + 2х + 1 (мал. 137), врахувавши, що її вітки напрямлені вгору.

3. З малюнка 137 видно, що функція у = х2 + 2х + 1 набуває додатних значень (у > 0), якщо х (-∞; -1) (-1; +∞). Отже, усі розв’язки нерівності утворюють об’єднання проміжків: (-∞; -1) (-1; +∞).

Мал. 137

Зверніть увагу:

Якщо квадратична функція у = ах2 + bх + с (а > 0) має один нуль (х1 = х2), то:

• усі розв’язки нерівності ах2 + bх + с > 0 утворюють об’єднання проміжків (-; х1) 1; +);

• нерівність ах2 + bх + с < 0 не має розв’язків.

5. КВАДРАТНА НЕРІВНІСТЬ, У ЯКОЇ ДИСКРИМІНАНТ КВАДРАТНОГО ТРИЧЛЕНА ВІД’ЄМНИЙ

Якщо квадратний тричлен ах2 + bх + с має від’ємний дискримінант, то відповідна квадратична функція у = ах2 + bх + с не має нулів. Тоді парабола у = ах2 + bх + с не перетинає вісь ОХ (мал. 138).

Мал. 138

Задача 4. Розв’яжіть нерівність х2 + х + 3 > 0.

Розв’язання. Розглянемо відповідну квадратичну функцію у = х2 + х + 3.

Множина розв’язків нерівності х2 + х + 3 > 0 — це множина значень змінної х, для яких значення функції у = х2 + х + 3 є додатними.

1. Знайдемо нулі функції: х2 + х + 3 = 0, D = -11.

Оскільки D < 0, то функція не має нулів, а отже, парабола не перетинає вісь ОХ.

2. Побудуємо схематично параболу (мал. 139), врахувавши, що її вітки напрямлені вгору.

3. З малюнка 139 видно, що функція у = х2 + х + 3 набуває додатних значень (у > 0), якщо х (-; +).

Отже, усі розв’язки нерівності утворюють проміжок (-; +).

Мал. 139

Зверніть увагу:

Якщо квадратична функція у = ах2 + bх + с (а > 0) не має нулів, то:

усі розв’язки нерівності ах2 + bх + с > 0 утворюють проміжок (-; +);

нерівність ах2 + bх + с < 0 не має розв’язків.

Випадок, коли а < 0, можна звести до розглянутого випадку, коли а > 0, домноживши нерівність на -1.

Задача 5. Розв’яжіть систему нерівностей

Розв’язання. Розв’яжемо кожну з нерівностей, що входить до даної системи.

1. Розв’яжемо нерівність x2 - 5х < 0. Знайдемо нулі функції у = х2 - 5х: х2 - 5х = 0, х(х - 5) = 0, х1 = 0 і х2 = 5. Побудуємо схематично параболу (мал. 140).

З малюнка 140 видно, що функція набуває від’ємних значень, якщо х є (0; 5).

2. Розв’яжемо нерівність

-4х2+ 3х + 1 < 0.

Домножимо її на -1: 4х2- 3х - 1 > 0. Знайдемо нулі функції у = 4х2 - 3х - 1:

D = 25, х1 = -4 і х2 = 1. Побудуємо схематично параболу (мал. 141). З малюнка 141 видно, що функція набуває невід’ємних значень, якщо

Мал. 140

Мал. 141

3. Знайдемо спільні точки одержаних проміжків (мал. 142):

Мал. 142

Отже, множиною розв’язків системи нерівностей є проміжок [1; 5).

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

1. У XIX ст. Україна дала світові ще одного видатного математика — Георгія Федосійовича Вороного (1868-1908), який народився в селі Журавка на Чернігівщині.

Про неабиякі математичні здібності й серйозне захоплення математикою Вороного свідчить той факт, що перше своє дослідження він зробив у 16 років, будучи ще гімназистом. У 1884 р. видатний математик і педагог, тоді ще молодий професор Київського університету, Володимир Петрович Єрмаков почав видавати в Києві «Журнал елементарної математики», у якому для дослідження була запропонована така тема: «Розклад многочленів на множники, побудований на властивостях коренів квадратного рівняння». Як з’ясувалося, на вказану тему редакція одержала лише одну роботу, а саме від Г. Вороного, і в 1885 р. в журналі була надрукована його перша стаття, у якій окрім розв’язання поставленої задачі наводилася значна кількість прикладів.

Наукова спадщина Г. Вороного складається із шести великих мемуарів, трьох статей з теорії чисел, семи повідомлень на з’їздах і конгресах та неопублікованих архівних матеріалів. Усі ці праці зібрані в тритомному виданні та прокоментовані відомими математиками. Ці роботи — справжня гордість української математики. Надбання Г. Вороного використовують у різноманітних дослідженнях від молекулярної біології до космосу, у комп’ютерній графіці, у проблемах розпізнавання образів, штучного інтелекту, екології, у радіаційній фізиці, космології, хімічній технології, фізичній хімії та інших науках, а також в моделюванні рельєфу, в аналізі руху і плануванні, у виявленні зіткнень, навігації та оминання перешкод, в аналізі мережі тощо. У наші дні дослідження з діаграм Вороного проводять практично в усіх країнах Європи, у США, Канаді, у країнах Південної Америки, у Японії, Китаї, Гонконзі, Австралії, Новій Зеландії. У Сеулі (Корея) існує Дослідницький центр із діаграм Вороного.

Вороний Г. Ф.

2. У завданнях ДПА, ЗНО часто пропонують розв’язати завдання з параметром. Розглянемо приклад розв’язання квадратної нерівності з параметром.

Задача 6. Розв’яжіть нерівність х2-ах + а - 1≤ 0 для всіх значень параметра а.

Розв’язання Знайдемо нулі функції у = х2 - ах + а -1.

х2 - ах + а -1 = 0. D = (-а )2 - 4 · (а -1) = а2 - 4а + 4 = (а - 2)2.

Можливі два випадки: 1) D = 0 ; 2) D > 0 .

1. Нехай D = 0, тоді а = 2 і у = х2 - 2х +1. Графік функції у = х2 - 2х + 1 дотикається до осі ОХ, оскільки х1,2 = 1. Побудуємо схематично параболу (мал. 143), врахувавши, що її вітки напрямлені вгору.

Мал. 143

Функція у = х2 -2х + 1 набуває не додатних значень, якщо х = 1. Отже, нерівність має розв’язок: х = 1.

2. Нехай D > 0 , тоді а (-го; 2) (2; +)

Графік функції у = х2 - ах + а -1 перетинає вісь ОХ у двох точках. При цьому можливі два випадки: х1 > х2 або х1 < х2.

Мал. 144

Мал. 145

Нехай х1> х2, тоді а (2; +∞). Побудуємо схематично параболу (мал. 144), врахувавши, що її вітки напрямлені вгору. Функція у = х2 - ах + а -1 набуває не додатних значень, якщо х [1; а -1]. Отже, усі розв’язки нерівності утворюють проміжок [1; а - 1].

Нехай х1 < х2, тоді а (-; 2). Побудуємо схематично параболу (мал. 145), врахувавши, що її вітки напрямлені вгору. Функція у = х2 - ах + а -1 набуває не додатних значень, якщо х [а - 1; 1]. Отже, усі розв’язки нерівності утворюють проміжок [а - 1; 1].

Отже, якщо а = 2, то х = 1; якщо а (-; 2), то х [а - 1; 1]; якщо а Є (2; +∞), то х [1; а - 1].

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Яку нерівність називають квадратною?

2. Що називають розв’язком квадратної нерівності?

3. Що означає — розв’язати квадратну нерівність?

4. Які етапи розв’язування квадратної нерівності?

РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

352'. Чи правильно, що дана нерівність є квадратною:

353'. Чи правильно, що розв’язком квадратної нерівності є:

1) вираз;

2) число?

354'. Чи правильно, що розв’язок квадратної нерівності:

1) не задовольняє дану нерівність;

2) задовольняє дану нерівність?

355'. Чи правильно, що розв’язати квадратну нерівність — означає знайти:

1) хоча б один її розв’язок;

2) усі її розв’язки?

356°. Чи є число 3 розв’язком нерівності:

1) х2 - 4х + 4 ≥ 0;

2) х2 + 4х + 3 ≤ 0;

3) 2 + 3х - 2 > 0;

4) х2 - 6х + 5 ≥ 0;

5) 2 - 2х - 1 < 0;

6) х2 + 4х - 21 < 0?

357°. Чи є число -1 розв’язком нерівності:

1) х2 - х + 7 ≥ 0;

2) х2 + 5х ≤ 0;

3) х2 + 6 > 0;

4) 2 - х + 1 ≥ 0;

5) 2 - 5х - 5 < 0;

6) -2х2 + х - 8 < 0?

358°. На малюнку 146 зображено параболу у = х2 + 5х - 6. Запишіть множину розв’язків нерівності х2 + 5х - 6 < 0.

359°. На малюнку 147 зображено параболу у = х2 - 4х + 3. Запишіть множину розв’язків нерівності х2 - 4х + 3 < 0.

Мал. 146

Мал. 147

360°. На малюнку 148 зображено параболу у = -х2 - 6х. Запишіть множину розв’язків нерівності -х2 - 6х ≥ 0.

361°. На малюнку 149 зображено параболу у = -х2 + 4. Запишіть множину розв’язків нерівності -х2 + 4 < 0.

Мал. 148

Мал. 149

362°. Розв’яжіть квадратну нерівність:

363°. Розв’яжіть квадратну нерівність:

1) х2 - 25 ≤ 0;

2) х2 ≥ 81;

3) 2 - 4х > 0;

4) 2 - 2х ≥ 0;

5) х2 - 49 < 0;

6) 2 - 4х > 0.

364°. Розв’яжіть квадратну нерівність:

365. Розв’яжіть квадратну нерівність:

366. Розв’яжіть квадратну нерівність:

367°. Розв’яжіть квадратну нерівність:

368. Складіть квадратну нерівність за множиною її розв’язків:

1) (-2; 2);

2) [-8; 8];

3) (-1; 0);

4) [0; 5].

369. Складіть квадратну нерівність за множиною її розв’язків:

1) (0; 10);

2) [-6; 6];

3) (-3; 5);

4) [1; 8].

370. Розв’яжіть нерівність:

371. Розв’яжіть нерівність:

372. Розв’яжіть нерівність:

1) 2х(3 - 4х) ≥ - 2;

2) у(у - 10) ≤ - 21;

3) х(х - 7) + 12 < 0;

4) у(у + 8) < 9;

5) 2х(х + 5) > -8;

6) х(х + 4) ≤ -3.

373. Розв’яжіть нерівність:

1) х(х - 6) < 16;

2) у (5у + 3) > 2;

3) 2(х2 + 1) + 5х ≥ 0;

4) у(у - 10) ≥ -24.

374. Розв’яжіть нерівність:

375. Розв’яжіть нерівність:

376. Скільки цілих чисел є розв’язками нерівності:

377. Скільки цілих чисел є розв’язками нерівності:

378. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

1) х2 - 15 ≤ 0;

2) х2 + 9х - 10 ≤ 0.

379. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

1) х2 - 8 ≤ 0;

2) х2 + 12х - 13 ≤ 0.

380. Знайдіть область визначення функції:

381. Знайдіть область визначення функції:

382. Розв’яжіть систему нерівностей:

383. Розв’яжіть систему нерівностей:

384. Доведіть, що за будь-яких дійсних значень змінної х справджується нерівність:

1) х2 + 8 > 0;

2) х2 - 6х + 15 > 0;

3) 2 + 5х + 6 > 0;

4) 2 + х - 8 < 0;

5) х2 + 10х +25 ≥ 0;

6) 9х2 - 12х + 4 ≥ 0.

385. Доведіть, що за будь-яких дійсних значень змінної х справджується нерівність:

1) х2 - 3х + 11 > 0;

2) 2 + 2х - 10 < 0;

3) 2 - 4х + 1 ≥ 0.

386. Доведіть, що за будь-яких дійсних значень змінної х нерівність х2 - 2х + 6 < 0 не має розв’язків.

387. Доведіть, що за будь-яких дійсних значень змінної х нерівність -5х2 + 4х - 3 > 0 не має розв’язків.

388. За яких значень змінної х значення виразу х-7 більші за значення виразу -х2 -5х-9 ?

389. За яких значень змінної х значення виразу х2 +4 більші за значення виразу 6х2 - 6х + 5 ?

390. За яких значень змінної х значення виразу х(2х +1) більші за значення виразу 3(х2 + х -1) ?

391. За яких значень змінної х значення виразу х(х + 6) більші за значення виразу 2х - 3 ?

392*. Розв’яжіть систему нерівностей:

393*. Для всіх значень параметра а розв’яжіть нерівність:

1) х2 - ах +1 ≤ 0;

2) ах2- (а - 1)х -1 ≤ 0.

394*. За якого значення параметра а рівняння х2 - (а - 2)х + 0,25 = 0 має розв’язки?

395*. За якого значення параметра а рівняння х2 - ах + 2а -1,75 = 0 має розв’язки?

396*. За якого значення параметра а нерівність х2 - (а + 6)х + (а + 5) ≤ 0 має три цілі розв’язки?

397*. За якого значення параметра а нерівність х2 - ах - а - 3 ≤ 0 має чотири цілі розв’язки?

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

398. Площа ділянки, що має форму прямокутника, менша, ніж 200 м2, але більша, ніж 24 м2. Якою може бути довжина цієї ділянки, якщо

її ширина на 10 м менша від довжини?

399. Площа кімнати, що має форму прямокутника, менша, ніж 45 м2 , але більша, ніж 4 м2. Якою може бути ширина цієї кімнати, якщо

її довжина на 4 м більша за ширину?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

400. Розв’яжіть систему рівнянь:

401. Спростіть вираз:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити