Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 2 КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

§ 10. СИСТЕМА ДВОХ РІВНЯНЬ ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ

1. ПОНЯТТЯ СИСТЕМИ ДВОХ РІВНЯНЬ ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ

Ви вже знаєте, як розв’язувати задачі за допомогою системи лінійних рівнянь із двома змінними. Проте в повсякденному житті є процеси, які описуються квадратними або іншими рівняннями. Розглянемо ситуацію.

Ситуація. На своїй садовій ділянці Микола Петрович вирішив зробити дві доріжки прямокутної форми з квадратних плиток. Для виготовлення першої доріжки він використав 12 таких плиток. Друга доріжка була більшою за розмірами: ширина більша на 1 плитку, а довжина — на 4 плитки. Тому на її виготовлення Микола Петрович використав 30 плиток. Скільки плиток за шириною й довжиною утворюють меншу доріжку?

image1

Щоб відповісти на поставлене запитання, уведемо дві невідомі величини. Нехай кількість плиток за шириною першої доріжки дорівнює х, а кількість плиток за її довжиною дорівнює у. За умовою, для виготовлення першої доріжки Микола Петрович використав 12 таких плиток, отже, перше рівняння є таким: х · у = 12. Кількість плиток за шириною другої доріжки дорівнює х + 1, а кількість плиток за її довжиною дорівнює у + 4. За умовою, для виготовлення другої доріжки використали 30 плиток, отже, друге рівняння є таким: (х + 1) ∙ (у + 4) = 30. Маємо систему рівнянь:

image2

Одержана система рівнянь із двома змінними описує зв’язок між кількостями плиток для доріжки, що можна укласти за її шириною та довжиною. Розв’язками цієї системи є дві пари чисел: (2; 6) і (1,5; 8). Умову задачі задовольняє лише пара (2; 6), оскільки кількість плиток є натуральним числом. Отже, меншу доріжку утворюють 2 плитки за її шириною й 6 плиток за її довжиною.

Зверніть увагу: якщо для опису зв’язку між двома змінними необхідні саме два рівняння, то складають систему двох рівнянь із двома змінними.

Розв’язком системи двох рівнянь із двома змінними називають таку пару чисел (х; у), яка одночасно є розв’язком кожного рівняння системи.

Розв’язати систему рівнянь — означає знайти всі її розв’язки або встановити, що розв’язків немає.

Ви вже знаєте, як розв’язувати системи двох лінійних рівнянь із двома змінними. Для цього ви використовували або графічний спосіб, або спосіб підстановки, або спосіб додавання. Система, яку одержали в розглянутій вище задачі, містить рівняння другого степеня.

Чи існують аналогічні способи для розв’язування систем, що містять рівняння другого степеня? Так.

Систему рівнянь другого степеня з двома змінними можна розв’язати графічним способом, способом підстановки, способом додавання та іншими способами. Розглянемо деякі з них.

2. ГРАФІЧНИЙ СПОСІБ

Графіком рівняння з двома змінними, як ви пам’ятаєте, називають множину точок координатної площини, координати яких перетворюють рівняння на правильну рівність. Наприклад, графіком рівняння 2х - у = 3 є пряма, графіком рівняння х2 - у = 0 — парабола, а графіком рівняння ху = 4 — гіпербола.

Задача 1. Розв’яжіть систему рівнянь:

Розв’язання У кожному рівнянні виразимо у через х:

Побудуємо графік кожного з рівнянь системи в одній системі координат.

Графіком рівняння у = х + 2 є пряма. Знайдемо координати двох її точок (таблиця 16).

Таблиця 16

х

0

2

у

2

4

Графіком рівняння у = х2 є парабола. Знайдемо координати кількох її точок (таблиця 17).

Таблиця 17

х

-2

-1

0

1

2

у

4

1

0

1

2

Пряма й парабола (мал. 150) перетинаються у двох точках А(-1; 1) і В(2; 4).

Отже, розв’язком даної системи рівнянь є дві пари чисел: (-1; 1) і (2; 4).

Мал. 150

Зверніть увагу:

щоб розв’язати систему двох рівнянь із двома змінними графічним способом, потрібно:

1) в одній системі координат побудувати графік кожного з рівнянь системи;

2) визначити координати точок перетину цих графіків, якщо це можливо;

3) записати кожну пару чисел, яка є розв’язком системи.

Скільки розв’язків може мати система двох рівнянь із двома змінними? Відповідь на це запитання залежить від степенів рівнянь, що входять до системи. Наприклад, система, що містить рівняння першого й другого степенів, тобто є системою рівнянь другого степеня, може мати два розв’язки (мал. 151), один розв’язок (мал. 152) або не мати розв’язків (мал. 153).

Мал. 151

Мал. 152

Мал. 153

3. СПОСІБ ПІДСТАНОВКИ

Для розв’язування систем, що містять рівняння другого степеня, можна використовувати і спосіб підстановки.

Задача 2. Розв’яжіть систему рівнянь:

Розв’язання. У першому рівнянні виразимо у через х:у = 3х - 2.

Одержаний вираз 3х - 2 підставимо замість у в друге рівняння системи:

Відтак друге рівняння системи містить лише одну змінну х. Розв’яжемо його:

2 + 9х2 - 12х + 4 - 28 = 0,

12х2 - 12х - 24 = 0, | : 12,

х2 - х - 2 = 0.

Одержали квадратне рівняння. Знайдемо його дискримінант: D = b2 - 4аc = (-1)2 - 4 -1-(-2) = 1 + 8 = 9 , D > 0. Застосуємо формулу коренів квадратного рівняння:

Звідси х1 = 2 і х2 = -1.

У рівність у = 3х - 2 підставимо замість х знайдені корені 2 і -1 й обчислимо відповідні значення у.

Якщо х1 = 2, то у1 = 3 ∙ 2 - 2 = 4;

якщо х2 = -1, то у2 = 3∙(-1)-2 = -5.

Отже, система рівнянь має два розв’язки: (2; 4) і (-1; -5).

Зверніть увагу:

щоб розв’язати систему двох рівнянь із двома змінними способом підстановки, потрібно:

1)в одному з рівнянь системи виразити одну змінну через іншу;

2)підставити знайдений вираз в інше рівняння системи;

3)розв’язати одержане рівняння з однією змінною;

4)знайти відповідне значення другої змінної для кожного одержаного розв’язку рівняння;

5)записати кожну пару чисел, яка є розв’язком системи.

4. СПОСІБ ЗАМІНИ ЗМІННИХ

Для розв’язування систем, що містять рівняння другого степеня, можна використовувати й особливий спосіб — спосіб заміни змінних.

Задача 3. Розв’яжіть систему рівнянь:

Розв’язання Якщо уважно придивитися до рівнянь системи, то можна побачити, що вирази х - у і ху повторюються в кожному з рівнянь. Тому доцільно замінити ці вирази на нові змінні.

Заміна: х - у = а і ху = b.

Увівши ці заміни в початкову систему рівнянь, одержимо допоміжну систему рівнянь зі змінними а і b:

Розв’язавши цю систему рівнянь, одержимо: а = 4 і b = 5.

Повернемося до змінних х і у. Одержимо систему рівнянь:

Розв’яжемо одержану систему рівнянь. У першому рівнянні виразимо х через у: х = у + 4.

Одержаний вираз у + 4 підставимо замість х у друге рівняння системи:

Друге рівняння цієї системи містить лише одну змінну у. Розв’яжемо його за теоремою Вієта:

у2 + 4у - 5 = 0,

y1 = 1, y2 = -5.

Тоді:

якщо у1 = 1, то х1 = 1 + 4 = 5,

якщо у2 = -5, то х2 = -5 + 4 = -1.

Отже, система рівнянь має два розв’язки: (5; 1) і (-1; -5).

Зверніть увагу: щоб розв’язати систему двох рівнянь із двома змінними способом заміни змінних, потрібно:

1)в одному або в обох рівняннях системи виявити вирази, які можна замінити іншими змінними та зробити відповідну заміну;

2)розв’язати допоміжну систему рівнянь з новими змінними;

3)підставити одержані розв’язки в початкову систему;

4)розв’язати одержану систему рівнянь;

5)записати кожну пару чисел, яка є розв’язком початкової системи.

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

Метод Гауса — класичний метод розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, названий на честь німецького математика Карла Фрідріха Гауса (1377-1855).

Цей метод передбачає поступове виключення змінних. Тобто за допомогою елементарних перетворень система рівнянь зводиться до еквівалентної системи трикутного виду, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером), знаходять усі змінні системи.

Хоча нині даний метод повсюдно називають методом Гауса, він був відомим ще до К.-Ф. Гауса. Уперше опис даного методу трапляється в китайському трактаті «Математика в дев’яти книгах», який вважають енциклопедією знань давньокитайських математиків.

Карл Гаус

У ньому зібрано 246 задач, до яких наведено відповіді та способи розв’язування. Книга 7 містить розв’язання систем двох лінійних рівнянь за допомогою «правила хибного положення», а книга 8 — розв’язання систем довільного числа лінійних рівнянь.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Що таке система двох рівнянь із двома змінними?

2. Що називають розв’язком системи рівнянь із двома змінними?

3. Що означає — «розв’язати систему рівнянь із двома змінними»?

4. Як розв’язати систему рівнянь із двома змінними за допомогою графічного способу?

5. Скільки розв’язків може мати система двох рівнянь із двома змінними?

6. Як розв’язати систему рівнянь із двома змінними способом підстановки?

7. Як розв’язати систему рівнянь із двома змінними способом заміни змінних?

РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

402'. Чи правильно Тарас сформулював означення: «Розв’язком системи двох рівнянь із двома змінними називають таку пару чисел (х; у), яка є розв’язком кожного рівняння системи»?

403'. Чи правильно сказала Катруся: «Розв’язати систему рівнянь — означає знайти всі її розв’язки»?

404'. Скільки розв’язків може мати система двох рівнянь із двома змінними, якщо вона містить:

1) рівняння першого та другого степенів;

2) обидва рівняння — другого степеня?

405°. Чи є розв’язком системи пара чисел:

1) (5; 1);

2) (4; 2)?

406°. Чи є розв’язком системи пара чисел:

1) (4; 2);

2) (3; 1)?

407°. Розв’яжіть графічно систему рівнянь із двома змінними:

408°. Розв’яжіть графічно систему рівнянь із двома змінними:

1

2)

409°. Розв’яжіть систему рівнянь із двома змінними:

410°. Розв’яжіть систему рівнянь із двома змінними:

411°. Розв’яжіть систему рівнянь із двома змінними:

412°. Розв’яжіть систему рівнянь із двома змінними:

413. Розв’яжіть графічно систему рівнянь із двома змінними:

414. Розв'яжіть графічно систему рівнянь із двома змінними:

1)

2)

415. Розв’яжіть систему рівнянь:

416. Розв’яжіть систему рівнянь:

417. Розв’яжіть систему рівнянь:

418. Розв’яжіть систему рівнянь:

419*. Розв’яжіть систему рівнянь:

420*. Серед розв’язків (х; у) системи рівнянь визначте ту пару, для якої сума х + у буде найбільшою. У відповідь запишіть значення суми.

421*. Розв’яжіть систему рівнянь:

422*. Знайдіть усі значення параметра а, за яких система рівнянь має розв’язки:

1)

2)

423*. Знайдіть усі значення параметра а, за яких система:

1) має єдиний розв’язок;

2) має два розв’язки.

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

424. Довжина паркану навколо прямокутної ділянки родини Петренків дорівнює 140 м. Площа ділянки дорівнює 1200 м2.

1. Знайдіть ширину ділянки.

2. Знайдіть довжину ділянки.

Садова ділянка містить такі зони: житлову, садово-городню й господарську зони та зону відпочинку.

3. Знайдіть площу житлової зони, якщо вона становить площі всієї ділянки.

4. Знайдіть площу господарської зони, якщо вона становить 50 % площі житлової зони.

5. Знайдіть площу зони відпочинку, якщо вона у 2 рази більша за площу садово-городньої зони.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

425. Заробітна платня токаря становила 3000 гри. Спочатку її було збільшено на 20 %, а через рік — ще на 10 %. На скільки відсотків збільшилася заробітна платня токаря порівняно з початковою?

426. Обчисліть значення виразу:

427. Спростіть вираз:



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити