Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 2 КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

§ 11. ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ

1. СИСТЕМА ДВОХ РІВНЯНЬ ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ ЯК МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРИКЛАДНОЇ ЗАДАЧІ

Прикладною задачею вважають задачу, яка виникає поза математикою й розв’язується математичними засобами. До таких задач ми відносимо реальні ситуації, які відбуваються або можуть відбуватися в навколишньому середовищі. Наприклад, розглянемо ситуацію.

Ситуація. У яблуневому саду на прямокутній ділянці землі посадили нові дерева, причому виявилося, що кількість рядів на 2 більша, ніж кількість дерев у ряді. Скільки рядів у новому саду й по скільки дерев посаджено в кожному ряді, якщо всього посадили 255 дерев?

Щоб відповісти на поставлене запитання, потрібно сформулювати умову й вимогу задачі мовою математики, тобто скласти математичну модель задачі. Пригадаємо основні положення з курсу алгебри 8-го класу.

Математична модель — це опис деякого реального процесу засобами математики.

Складання математичної моделі задачі називають математичним моделюванням. Розв’язування задачі методом математичного моделювання містить три етапи:

1) побудова математичної моделі;

2) робота з математичною моделлю;

3) складання відповіді до задачі в термінах її сюжету.

На першому етапі побудуємо математичну модель ситуації, яку ми розглядаємо, у вигляді системи відповідних рівнянь. Для цього необхідно ввести змінні х і у.

Нехай у саду посадили х рядів по у яблунь у кожному ряді. За умовою, кількість рядів на 2 більша, ніж кількість дерев у ряді. Складаємо перше рівняння: х - у = 2.

Також за умовою відомо, що всього посадили 255 яблунь. Складаємо друге рівняння: ху = 255. Одержали систему рівнянь:

На другому етапі розв’язуємо систему рівнянь.

У першому рівнянні виразимо змінну х через змінну у: х = у + 2.

Одержаний вираз у + 2 підставимо замість х у друге рівняння системи:

Відтак друге рівняння системи містить лише одну змінну у. Розв’яжемо його:

Звідси у1 = 15 і у2 = -17.

Значення у2 = -17 не задовольняє умову задачі, бо кількість яблунь у ряді не може бути від’ємним числом.

Тому в рівність х = у + 2 замість у підставимо лише значення 15. Одержимо: якщо у = 15, то х = у + 2 = 15 + 2 = 17.

На третьому етапі складаємо відповідь до задачі. Одержали, що х = 17 і у = 15. Отже, у саду посадили 17 рядів по 15 яблунь у кожному ряді.

2. ЗАДАЧІ НА РУХ

Ви вже знаєте, що для розв’язування задач на рух застосовують формулу, що виражає закон руху: s = vt , де s — відстань, v — швидкість, t — час. Тому для складання рівнянь математичної моделі можна використовувати одну з формул для знаходження: відстані — s = vt, швидкості — v = або часу — t =.

Розглянемо приклад.

Задача 1. Відстань від Черкас до Києва, що становить 180 км, автомобілем можна проїхати на 1 год швидше, ніж автобусом. Знайдіть швидкості автомобіля й автобуса, якщо відомо, що швидкість автомобіля на 30 км/год більша за швидкість автобуса.

Розв’язання.

Побудова математичної моделі. Для побудови математичної моделі ситуації, яку розглядаємо, потрібно ввести зміні х і у. Нехай х км/год — швидкість автомобіля й у км/ год — швидкість автобуса.

За умовою, швидкість автомобіля на 30 км/год більша за швидкість автобуса. Складаємо перше рівняння: х - у = 30. Для складання другого рівняння заповнимо таблицю 18.

Таблиця 18

Вид транспорту

v, км/год

s, км

t, год

Автомобіль

х

180

, на 1 год ß

----------

Автобус

у

180

За умовою, автомобіль долає шлях на 1 год швидше, ніж автобус. Складаємо друге рівняння: - = 1.

Одержали систему рівнянь:

На другому етапі розв’язуємо систему рівнянь.

ОДЗ: у 0, у -30.

y1 = 60,

y2 = -90.

Перевіркою встановлюємо, що обидва числа задовольняють ОДЗ, а отже, є коренями рівняння. Але число -90 не задовольняє умову задачі.

Якщо у = 60, то х = у + 30 = 60 + 30 = 90.

На третьому етапі складаємо відповідь до задачі.

Одержали, що х = 90 і у = 60. Отже, швидкість автомобіля становить 90 км/год, а швидкість автобуса — 60 км/год.

Чи є відмінності в складані математичних моделей у задачах на рух річкою? Ні. Підхід той самий. Рівняння складають за тими ж формулами, але, зазвичай, за х позначають власну швидкість об’єкта руху, а за у — швидкість течії.

3. ЗАДАЧІ НА СПІЛЬНУ РОБОТУ

У задачах на роботу описується певний вид діяльності: труби наповнюють басейн, селяни збирають урожай, будівельники будують щось тощо. У таких задачах обсяг виконаної роботи знаходять як добуток продуктивності праці й часу: А = рt , де А — обсяг роботи, р — продуктивність праці, t — час роботи. Тому для складання математичної моделі цієї задачі можна застосувати одну з формул на знаходження: обсягу роботи —A =pt, продуктивності праці — р = або часу роботи — t = .

Зверніть увагу:

якщо в умові задачі не вказано обсяг роботи, то його приймають за число 1.

Задача 2. Через дві труби басейн можна наповнити за2год. Через першу трубу цей басейн може наповнитися на3 год швидше, ніж через другу. За скільки годин можна наповнити цей басейн через кожну трубу окремо?

Розв’язання.

Побудова математичної моделі. Нехай час наповнення басейну через першу трубу — х год, тоді час його заповнення через другу трубу — у год.

За умовою, через першу трубу басейн може наповнитися на 3 год швидше, ніж через другу. Складаємо перше рівняння: у - х = 3.

Для складання другого рівняння заповнимо таблицю 19. Обсяг роботи, що полягає в наповненні басейну, приймаємо за 1.

Таблиця 19

Складаємо друге рівняння: + = 1.

Одержали систему рівнянь:

На другому етапі розв’язуємо систему рівнянь і знаходимо дві пари чисел: х = 3, у = 6 та х = -2, у = 1. Друга пара не задовольняє умову задачі. Тому вибираємо пару х = 3, у = 6.

На третьому етапі складаємо відповідь до задачі. Через першу трубу басейн можна наповнити за 3 год, а через другу — за 6 год.

4. ЗАДАЧІ НА ВАРТІСТЬ

Якщо а — ціна деякого товару, n — його кількість, а С — вартість, то для розв’язування задач на вартість під час складання математичної моделі використовують одну з формул для знаходження: вартості — С = а ∙n, ціни — а = або кількості —n = .

Задача 3. Мама купила груші та яблука. Ціна 1 кг груш на 8 грн більша, ніж 1 кг яблук. За груші мама заплатила 40 грн, а за яблука — 48 грн. Визначте ціну яблук і груш, якщо яблук мама купила на 2 кг більше, ніж груш.

Розв’язання.

Побудова математичної моделі. Нехай ціна груш — х грн, а ціна яблук — у грн.

За умовою, 1 кг груш коштує на 8 грн дорожче, ніж 1 кг яблук. Складаємо перше рівняння: х - у = 8.

Для складання другого рівняння заповнимо таблицю 20.

Таблиця 20

За умовою, мама купила яблук на 2 кг більше, ніж груш. Складаємо друге рівняння:- = 2.

Одержали систему рівнянь:

На другому етапі розв’язуємо систему рівнянь і знаходимо два розв’язки: (20; 12) та (-8; -16). Другий розв’язок не задовольняє умову задачі. Тому вибираємо розв’язок (20; 12).

На третьому етапі складаємо відповідь до задачі. Один кілограм груш коштує 20 грн, а один кілограм яблук — 12 грн.

Чи можна для розв’язування розглянутих задач як математичну модель використовувати не системи рівнянь, а рівняння? Так. Наприклад, для розв’язування задачі 3 можна ввести такі позначення: ціна яблук — х грн, а ціна груш — (х + 8) грн. Від так одержимо рівняння:- +8 =2.

5. ГЕОМЕТРИЧНІ ЗАДАЧІ

Для розв’язування геометричних задач під час складання математичної моделі використовують означення та властивості геометричних фігур.

Задача 4. Прямокутну ділянку землі площею 4000 м2 обнесено парканом, загальна довжина якого становить 260 м. Знайдіть довжину й ширину цієї ділянки.

Розв’язання.

Побудова математичної моделі. Нехай х — довжина земельної ділянки, а у — її ширина.

За умовою, ділянка має форму прямокутника, площа якого 4000 м2. Складаємо перше рівняння: х ∙ у = 4000.

Ділянку обнесено парканом, загальна довжина якого 260 м, отже, периметр прямокутника дорівнює 260 м. Складаємо друге рівняння: 2(х + у ) = 260.

Одержали систему рівнянь:

На другому етапі розв’язуємо систему рівнянь:

Якщо у1 = 80, то х1 = 130 - 80 = 50;

якщо у2 = 50, то х2 = 130 - 50 = 80.

Отже, система рівнянь має два розв’язки: (50; 80) і (80; 50).

На третьому етапі складаємо відповідь до задачі.

У задачі необхідно було знайти довжину й ширину ділянки, що має форму прямокутника. За х прийнято довжину цієї ділянки, а за у — її ширину. Тому, за умовою задачі, обираємо пару (80; 50).

Отже, довжина земельної ділянки дорівнює 80 м, а її ширина — 50 м.

Зверніть увагу:

• якщо в задачі необхідно знайти пару чисел а і b, то таких пар може бути дві: а і b та b і а;

• якщо за умовою задачі важливо, у якому порядку подавати знайдені числа, то із двох можливих пар чисел залишають одну пару, що задовольняє цю умову;

• якщо за умовою задачі не важливо, у якому порядку подавати знайдені числа, то можна залишити будь-яку з пар: або а і b, або b і а.

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

«Універсальна арифметика» (або «Загальна арифметика») — монографія Ісака Ньютона, уперше опублікована в 1707 р. латинською мовою.

Ісак Ньютон

Універсальної арифметикою Ньютон називав алгебру, і даною працею він зробив істотний внесок у розвиток цього розділу математики.

На початку книги Ньютон пояснює взаємозв’язок арифметики й алгебри: мета алгебри — відкривати та досліджувати загальні закони арифметики, а також пропонувати практичні методи розв’язування рівнянь.

Особливу увагу Ньютон приділив розв’язуванню алгебраїчних рівнянь, ця тема займає майже половину книги. У ній наведено різноманітні чисельні методи, адже Ньютон завжди приділяв велику увагу наближеному розв’язуванню рівнянь. У ході викладу наведено розв’язання 77 типових задач (в основному геометричного характеру), з докладними роз’ясненнями та методичними рекомендаціями.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Що таке математична модель?

2. Що таке математичне моделювання?

3. Назвіть етапи математичного моделювання.

4. Поясніть, як розв’язують задачі на рух.

5. Поясніть, як розв’язують задачі на роботу.

6. Поясніть, як розв’язують задачі на вартість.

7. Поясніть, як розв’язують геометричні задачі.

РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

428'. При розв’язуванні задач на рух за якою формулою знаходять:

1) пройдену відстань;

2) швидкість руху;

3) час на подолання відстані?

429'. При розв’язуванні задач на вартість за якою формулою знаходять:

1) обсяг виконаної роботи;

2) продуктивність праці;

3) час роботи?

430'. При розв’язуванні задач на вартість за якою формулою знаходять:

1) вартість покупки;

2) ціну товару;

3) кількість придбаного товару?

431°. Складіть формулу для визначення:

1) часу руху автобуса, який проїхав 100 км зі швидкістю v км/год;

2) швидкості велосипедиста, який проїхав s км за 2 год;

3) відстані, яку проїхав поїзд зі швидкістю 80 км/год за t год.

432°. Швидкість течії річки 3 км/год. Складіть рівність для визначення часу руху катера, який проплив:

1) 36 км зі швидкістю v км/год за течією річки;

2) s км зі швидкістю 15 км/год проти течії річки.

433°. Складіть рівність для визначення:

1) обсягу виконаної роботи з продуктивністю р за 2 год;

2) продуктивності праці при виготовлені 30 костюмів за ї днів;

3) часу роботи для виготовленні п деталей за 3 год.

434°. Складіть рівність для визначення:

1) вартості покупки п кг яблук за ціною 10 грн за 1 кг;

2) ціну зошита, якщо придбали 12 зошитів, витративши т грн;

3) кількості придбаних тістечок за ціною а грн за штуку, якщо заплатили 50 грн.

435°. Одне із чисел на 5 більше за друге. Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 150.

436°. Одне із чисел на 3 менше від другого. Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 108.

437°. Сума двох чисел дорівнює 27, а сума їх квадратів — 369. Знайдіть ці числа.

438°. Сума двох чисел дорівнює 25, а сума їх квадратів — 317. Знайдіть ці числа.

439°. Сума двох чисел дорівнює 22. Якщо від квадрата першого числа відняти подвоєне друге число, то одержимо 124. Знайдіть ці числа.

440°. Різниця двох чисел дорівнює 2. Якщо до потроєного першого числа додати квадрат другого числа, то одержимо 124. Знайдіть ці числа.

441°. Із Києва до Житомира одночасно виїхали два автомобілі. Швидкість одного з автомобілів була на 10 км/год більшою за швидкість другого, тому він прибув до Житомира на 40 хв раніше. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо відстань між містами становить 140 км.

442°. Із Черкас до Вінниці одночасно виїхали автобус й автомобіль. Швидкість автомобіля була на ЗО км/год більшою за швидкість автобуса, тому він прибув до Вінниці на 1 год 30 хв раніше. Знайдіть швидкість автобуса й автомобіля, якщо відстань між містами становить 270 км.

443°. Із Харкова до Запоріжжя відправився рейсовий автобус. Автобус їхав зі швидкістю, на 10 км/год більшою, ніж було заплановано за розкладом. Тому до Запоріжжя він прибув на 1 год раніше, ніж планував. З якою швидкістюмав їхати автобус за розкладом, якщо відстань між містами становить 300 км?

444°. Із Полтави до Одеси відправився рейсовий автобус. Через негоду автобус їхав зі швидкістю на 10 км/год меншою, ніж було заплановано за розкладом. Тому до Одеси він прибув із запізненням на 2 год. З якою швидкістю мав їхати автобус за розкладом, якщо відстань між містами становить 600 км?

445°. Замовлення на 140 деталей перший робітник виконує на 4 дні швидше, ніж другий. Скільки деталей за день виготовляє другий робітник, якщо перший робітник за день виготовляє на 4 деталі більше?

446°. Замовлення на 80 деталей перший робітник виконує на З год довше, ніж другий. Скільки деталей за 1 год виготовляє перший робітник, якщо другий робітник за 1 год виготовляє на 6 деталей більше?

447°. Мама заплатила за груші 60 грн, а за яблука — 48 грн. Відомо, що ціна 1 кг груш на 8 грн більша, ніж ціна 1 кг яблук. Визначте, скільки кілограмів яблук і груш купила мама та за якою ціною, якщо яблук мама купила на 1 кг більше, ніж груш.

448°. За зошити в лінійку Тетянка заплатила 45 грн, а за зошити в клітинку — 80 грн. Ціна одного зошита в лінійку на 1 грн менша, ніж ціна одного зошита в клітинку. Визначте, скільки зошитів кожного виду купила Тетянка та за якою ціною, якщо зошитів у клітинку Тетянка купила на 5 більше, ніж зошитів у лінійку.

449°. Петрик і Миколка майструють моделі корабликів. Петрик може виготовити за день на 2 моделі більше, ніж Миколка. Відомо, що для виготовлення 16 моделей Петрик витрачає на 4 дні менше, ніж Миколка. Скільки корабликів за день виготовляє кожен хлопчик?

450°. Тетянка з Наталкою виготовляють новорічні прикраси для шкільної ялинки. Тетянка за 1 год може виготовити на 1 прикрасу менше, ніж Наталка. Відомо, що для виготовлення 12 прикрас Тетянка витрачає на 1 год більше, ніж Наталка. Скільки прикрас за годину виготовляє кожна дівчинка?

451°. Сквер прямокутної форми, площа якого становить 6300 м2, огорожено парканом завдовжки 320 м, включаючи ворота на вході до скверу. Знайдіть довжину й ширину скверу.

452°. Спортмайданчик біля школи, площа якого становить4000 м2, має прямокутну форму. Знайдіть довжину й ширину спортмайданчика, якщо довжина огорожі, включаючи вхід до майданчика, дорівнює 260 м.

453. Якщо до першого числа додати другого, то одержимо 7, а якщо до квадрата першого числа додати квадрата другого, то одержимо 24. Знайдіть ці числа.

454. Якщо до першого числа додати другого, то одержимо 3, а якщо до квадрата першого числа додати квадрата другого, то одержимо 17. Знайдіть ці числа.

455. У кінотеатрі два зали для глядачів: великий і малий. У великому залі — 500 місць, а в малому — 300 місць. Кількість місць у кожному ряді обох залів однакова, проте в малому залі на 10 рядів менше, ніж у великому. Скільки рядів у великому залі, а скільки — у малому? Скільки місць у кожному ряді?

456. На двох ділянках рівними рядами посадили яблуні й груші: на першій — 300 яблунь, а на другій — 270 груш. Кількість дерев у кожному ряді однакова, проте на першій ділянці було висаджено на 2 ряди дерев більше, ніж на другій. Скільки рядів яблунь посадили на першій ділянці, а скільки — на другій? Скільки дерев у кожному ряді?

457. Мотоцикліст зі сталою швидкістю виїхав з Рівного до Луцька, відстань між якими дорівнює 70 км. Наступного дня він відправився назад. Половину шляху він проїхав зі швидкістю, з якою рухався напередодні. Потім зробив зупинку на 10 хв. Для того щоб прибути вчасно, на шляху, що лишився, він збільшив швидкість на 5 км/год. Знайдіть швидкість мотоцикліста на шляху з Рівного до Луцька. Упродовж якого часу він був у дорозі?

458. Автомобіль зі сталою швидкістю виїхав з Тернополя до Вінниці, відстань між якими дорівнює 240 км. Наступного дня він відправився назад. Половину шляху він проїхав зі швидкістю, з якою рухався напередодні. Потім зробив зупинку на 10 хв. Для того щоб прибути вчасно, на шляху, що залишився, він збільшив швидкість на 10 км/год. Знайдіть швидкість автомобіля на шляху з Тернополя до Вінниці. Упродовж якого часу він був у дорозі?

459. Туристи за 1 год на автомобілі подолали відстань, на 40 км більшу, ніж за 4 год, рухаючись пішки. Відомо, що швидкість руху на автомобілі була у 12 разів більшою, ніж швидкість руху туристів. Знайдіть швидкості руху туристів пішки та швидкість їхнього руху на автомобілі. Яку відстань подолали туристи, рухаючись пішки?

460. За 4 год на автобусі туристи подолали ту саму відстань, що й за 3 год на поїзді. Знайдіть швидкості автобуса й поїзда, якщо за 1 год на поїзді туристи проїжджали на 20 км більше, ніж на автобусі. Яку відстань подолали туристи, рухаючись автобусом?

461. Катер проплив 20 км за течією річки за 1 год. Назад він повернувся до пункту відправлення, витративши на зворотний шлях 1 год 40 хв. Знайдіть швидкість катера й швидкість течії річки.

462. Моторний човен проплив проти течії річки 24 км за 2 год. Назад він повернувся до пункту відправлення, витративши на зворотний шлях 1,5 год. Знайдіть швидкість човна та швидкість течії річки.

463. Майстер має зробити 120 деталей. Якщо він буде виготовляти щодня на 2 деталі більше, ніж повинен, то закінчить роботу на 2 дні раніше. Скільки деталей за день має виготовляти майстер?

464. Кравчиня має пошити 30 суконь. Якщо щодня вона буде шити на 1 сукню більше, ніж заплановано, то закінчить роботу на 5 днів раніше. Скільки суконь за день має шити кравчиня за планом?

465. Периметр прямокутника дорівнює 46 см, а його площа — 120 см2. Знайдіть діагональ прямокутника.

466. Периметр прямокутника дорівнює 28 см, а його площа — 48 см2. Знайдіть діагональ прямокутника.

467*. Богдан і Тарас поділили між собою 39 горіхів. Кількість горіхів, що дісталися одному з них, менша від подвоєного добутку кількості горіхів, що дісталися Тарасові. Квадрат третьої частини горіхів, що дісталися Тарасові, менший від збільшеної на 1 кількості горіхів, що дісталися Богданові. Скільки горіхів одержав кожний хлопчик?

468*. Двоє робітників одночасно розпочали роботу. Після 45 хв їх спільної роботи першого робітника перевели на іншу роботу, і другий робітник завершив роботу за 2 год 15 хв.

За який час міг би виконати цю роботу кожний робітник, працюючи окремо, якщо відомо, що другому робітникові на її виконання потрібно на 1 год більше, ніж першому?

469*. Відстань між містами А і В пасажирський поїзд долає на 4 год швидше, ніж товарний. Якби пасажирський поїзд витратив той час, який витратив товарний поїзд на подолання шляху від А до В, то він проїхав би на 280 км більше, ніж товарний. Якби швидкість кожного поїзда збільшили на 10 км/год, то пасажирський поїзд пройшов би відстань від А до В на 2 год 24 хв швидше, ніж товарний. Знайдіть відстань між містами.

470*. Два велосипедисти одночасно виїхали назустріч один одному з пунктів А і В, відстань між якими дорівнює 28 км. Через 1 год вони зустрілися й продовжили свій шлях без зупинки і з тими самими швидкостями. Перший прибув у пункт В на 35 хв раніше, ніж другий у пункт А. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста.

471*. Дві точки рівномірно в одному напрямку рухаються по колу. Перша точка проходить коло на 2 с швидше за другу й наздоганяє її через кожні 12 с. За який час кожна точка проходить це коло?

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

472. Головним споживачем води в країні є сільське господарство. Воно споживає 70 % усієї води, яку використовують люди. Щоб виростити 1 т пшениці, потрібно 1500 т води, а 1 т рису — 7000 т води.

1. Площа земельної ділянки фермера Василя Петровича дорівнює 0,4 км2, а її периметр становить 2 км 600 м. Знайдіть довжину й ширину ділянки.

2. Скільки тонн пшениці зібрав Василь Петрович цього року, якщо її врожайність становила 45 ц/га?

3. Обчисліть масу води, необхідну для вирощування такого врожаю.

4. Яка маса води знадобиться Василю Петровичу наступного року, якщо він надумає вирощувати рис на цій ділянці при очікуваній урожайності 30 ц/га?

473. Державний прапор України — стяг із двох рівновеликих горизонтальних смуг синього й жовтого кольорів. Співвідношення ширини прапора до його довжини 2 : 3.

1. Знайдіть сторони прапора, площа якого дорівнює 1,5 м2, а периметр — 5 м.

2. Знайдіть розміри прапора, одна сторона якого дорівнює 60 см.

3. Обчисліть, скільки тканини кожного кольору потрібно для виготовлення такого прапора, якщо на шви потрібно додати 2 % тканини.

474. На занятті в художній школі Тетяна виконала малюнок «Весняна мелодія», який відібрали для участі в конкурсі. За вимогами конкурсу Тетяна має наклеїти свій малюнок на білий папір так, щоб навколо малюнка була біла окантовка однакової ширини.

1. Знайдіть розміри малюнка, якщо його ширина на 5 см менша від довжини, а площа становить 300 см2.

2. Знайдіть ширину окантовки, якщо площа малюнка з окантовкою дорівнює 1400 см2.

3. Чи зможе Тетяна для виготовлення окантовки до малюнка використати аркуш формату А2, розміри якого 420 х 594 мм?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

475. Розв’яжіть нерівність:

1) (х2 + 8х-9)(х2 -4) 0;

2) (х2 -6х-16)(х2 + 2х +1) < 0.

476.Знайдіть корені рівняння:

1) х2 + 4|х|-12 = 0;

2) х2 - -6 = 0.

477. Спростіть вираз:

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Сформулюйте означення функції.

2. Що називають аргументом функції?

3. Що таке область визначення функції?

4. Що таке область значень функції?

5. Назвіть способи задання функцій.

6. Наведіть приклади відомих вам функцій. Побудуйте їхні графіки.

7. Що таке нуль функції?

8. Що таке проміжки знакосталості?

9. Яка функція є зростаючою на деякому проміжку; спадною на деякому проміжку?

10. Як можна одержати графік функції у = аf(x) (а =/ 0), використовуючи графік функції у = f(x)?

11. Що є графіком функції у = -х2? у = ах2 (а =/ 0)?

12. Які властивості функції у = -х2? у = ах2 (а =/ 0)?

13. Як можна одержати графік функції у = f(x + а), використовуючи графік функції у = f(х)?

14. Як можна одержати графік функції у = f(x) + b, використовуючи графік функції у = f(х)?

15. Як можна одержати графік функції у = f(х + а) + b, використовуючи графік функції у = f(x)?

16. Яка функція називається квадратичною?

17. Що є графіком квадратичної функції?

18. Яка область визначення функції у = ах2 + bх + с?

19. Як визначити координати вершини параболи?

20. За якої умови вітки параболи напрямлені вгору; вниз?

21. Як визначити область значень квадратичної функції?

22. Скільки нулів може мати квадратична функція?

23. За яких значень аргументу функція у = ах2 + bх + с є зростаючою; спадною?

24. Яку нерівність називають квадратною? Як її розв’язати?

25. Що таке система двох рівнянь із двома змінними?

26. Що називають розв’язком системи рівнянь із двома змінними?

27. Скільки розв’язків може мати система двох рівнянь із двома змінними?

28. Які є способи розв’язування системи рівнянь із двома змінними?

29. Що таке математична модель?

30. Що таке математичне моделювання? Які його етапи?

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

Уважно прочитайте задачі та знайдіть серед запропонованих відповідей правильну. Для виконання тестового завдання потрібно 10-15 хв.

№ 1

Мал. 154

Мал. 155

За малюнком 154 розв’яжіть задачі 1-3.

1° Знайдіть область значень функції.

А. у (-∞; +∞).

Б. у (-4; 2).

В. у (-∞; 3].

Г. у (-∞; -1).

2° Знайдіть проміжок зростання функції.

А. х (-∞;-4] [2; +∞).

Б. х (-∞; -1].

В. х [-4; 2].

Г. х (-1; +∞).

3° Якою з наведених у відповідях формул задається функція?

А. у = |х + 1| + 3.

Б. у = |х - 1| + 3.

В. у = -|х + 1| + 2.

Г. у = -|х + 1| + 3.

4 Знайдіть нулі функцій у = .

А. -2 і 1.

Б. 2 і -1.

В. -2, 1, 0.

Г. 0.

5* На малюнку 155 зображено графік функції у = f(х). Скільки точок перетину має графік функції у = -f(х - 2) + 1 із прямою у = -3?

А. 0.

Б. 1.

В. 2.

Г. 3.

№ 2

1° Яке з наведених у відповідях чисел є розв’язком нерівності 5х2 - 3х - 2 > 0?

А. 1.

Б. 0.

В. 0,5.

Г. -1.

2° Знайдіть абсцису вершини параболи у = 2х2 - 8х + 3.

А. 2.

Б. -2.

В. 4.

Г. -4.

3° Яка з наведених у відповідях квадратичних функцій не перетинає вісь абсцис?

А. у = -х2 - 12х + 1.

Б. у = х2 - 12х.

В. у = х2 - 18.

Г. у = х2 - х + 1.

4 Розв’яжіть квадратну нерівність х2 - 36 ≤ 0.

А. х (-;- 6] [6; +).

Б. х (-;-6) (6; +).

В. х [-6; 6].

Г. х Є (-6; 6).

5*Знайдіть область визначення функції

А. х (-3; 1).

Б. х [-3; -2) U (-2; 1].

В. х [-3; 1].

Г. х (-;-2) U [1; +).

№3

1°Яка з пар чисел є розв’язком системи

А. (1; 3).

Б. (-1; 3).

В. (3; 1).

Г. (-3; 1).

2° Скільки розв’язків має система рівнянь:

А. 1.

Б. 2.

В. 3.

Г. 4.

3° Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

А. (-1; 1) і (1; 1).

Б. (1; 1).

В. (-1; 1).

Г. Розв’язків немає.

4 Одне із чисел на 5 більше за друге. Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 84.

А. 6 і 11.

Б. 7 і 12.

В. 8 і 13.

Г. 9 і 14.

5* Площа прямокутника дорівнює 60 см2, а його діагональ — 13 см. Обчисліть сторони прямокутника.

А. 3 см і 20 см.

Б. 4 см і 15 см.

В. 5 см і 12 см.

Г. 2 см і 30 см.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити