Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 3 ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

У розділі дізнаєтеся:

які є послідовності чисел;

що таке арифметична та геометрична прогресії;

про властивості арифметичної та геометричної прогресій;

як обчислити суму n перших членів арифметичної та геометричної прогресій;

як записати періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу;

як застосовувати вивчений матеріал на практиці

§ 12. ЩО ТАКЕ ЧИСЛОВА ПОСЛІДОВНІСТЬ

1. ПОНЯТТЯ ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ

Ви вже знаєте, що в повсякденному житті використовують нумерацію предметів, щоб указати порядок їхнього розміщення. Розглянемо ситуацію.

Ситуація. У місті розпочато будівництво нового мікрорайону. За планом необхідно збудувати по п’ять будинків уздовж нової вулиці Різдвяної. Скільки металевих цифр необхідно замовити забудовнику, щоб пронумерувати будинки на вулиці Різдвяній?

Щоб відповісти на поставлене запитання, спочатку потрібно з’ясувати, скільки будинків будуть утворювати нову вулицю. Якщо будемо записувати їхні номери один за одним, то одержимо таку послідовність чисел для нумерації будинків:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.

Тепер можна відповісти на запитання задачі: для нумерування десяти будинків знадобиться 11 цифр.

Якщо в подальшому буде продовжено будівництво на вулиці Різдвяній, то, відповідно, послідовність чисел для нумерування будинків також буде подовжуватись:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; … .

Якщо брати до уваги будинки лише на одній стороні вулиці, то одержимо дві нові послідовності чисел — із парними й непарними числами (на одній стороні вулиці будинки мають парну нумерацію, а на іншій — непарну).

Розглянемо послідовність чисел, що відповідає парній нумерації будинків:

2; 4; 6; 8; 10; … .

Бачимо, що кожному будинку на цій стороні вулиці поставлено у відповідність його номер. Схематично цю відповідність можна зобразити так:

Ця відповідність задає послідовність чисел, у якій кожному номеру її члена п ставиться у відповідність число, що дорівнює 2n:

2; 4; 6; 8; 10; …; 2n; … .

Таку послідовність позначають (2n). У ній на десятому місці буде стояти число 20, на п’ятнадцятому — 30, а на сотому — 200.

Якщо кожному натуральному числу n за деяким правилом поставити у відповідність число аn, то одержимо послідовність чисел а1; а2; а3; …; аn; …, або числову послідовність (аn). Така послідовність є нескінченною, оскільки натуральних чисел — безліч.

Записують: (аn):а2; а3; …; аn; … .

Числа, що утворюють дану послідовність, називають членами послідовності; число а1 — першим членом; а2 — другим членом; а3 — третім членом тощо. Число аn називають n-м членом послідовності (аn).

Чи можна послідовності позначати іншими буквами, крім а?

Так. Послідовності позначають малими буквами латинського алфавіту: (bn), (сn) тощо.

Наведемо приклади послідовностей:

n) : 1; 2; 3; 4; …;

(bn) : 100; 50; 25; 12,5; … .

Послідовність (an) є зростаючою, оскільки кожний її член, крім першого, більший за попередній. Послідовність (bn) є спадною, оскільки кожний її член, крім першого, менший від попереднього.

2. СПОСОБИ ЗАДАННЯ ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ

Задати числову послідовність — означає вказати правило, за яким можна обчислити її n-й член аn для будь-якого натурального n. Це правило можна подати різними способами: формулою, словесним описом тощо.

Найчастіше послідовність задають за допомогою формули n-го члена або рекурентної формули.

Послідовність задано формулою n-го члена, якщо задано формулу аn = f(n), де n N, f — деяка функція. Наприклад, послідовність чисел, кратних числу 3, задають формулою аn = 3n, n N. Така послідовність має вигляд: 3; 6; 9; … .

Задача 1. Числову послідовність задано формулою аn = 2n + 1. Знайдіть перші три члени цієї послідовності.

Розв’язання. Застосуємо формулу аn = 2n+ 1, тоді:

якщо n = 1, то а1 = 2 ∙ 1 + 1 = 3;

якщо n = 2, то а2 = 2 ∙ 2 + 1 = 5;

якщо n = 3, то а3 = 2 ∙ 3 + 1 = 7.

Послідовність задано рекурентною формулою, якщо задано один або кілька перших її членів та формулу, що виражає наступний її член через один або кілька попередніх членів. Наприклад, послідовність Фібоначчі задано рекурентною формулою: а1 = а2 = 1, аn+2= аn+1+ аn. Така послідовність має вигляд: 1; 1; 2; 3; 5; 8; … .

Задача 2. Послідовність (аn) задано рекурентною формулою: а1 = 3, аn+1= аn + 4. Знайдіть а5.

Розв’язання. За умовою, а1 = 3. Застосуємо формулу

аn+1 = аn + 4:

а2 = а1 + 4 = 3 + 4 = 7;

а3 = а2 + 4 = 7 + 4 = 11;

а4 = а3 + 4 = 11 + 4 = 15;

а5 = а4 + 4 = 15 + 4 = 19.

Чи можна, знаючи член числової послідовності, визначити його номер у цій послідовності? Так. Розглянемо задачу 3.

Задача 3. Числову послідовність задано формулою аn = 10n - 5. Знайдіть номер члена послідовності, який дорівнює 35.

Розв’язання.

За умовою складаємо рівняння: 10n - 5 = 35. Звідси n = 4. Отже, 35 — це 4-й член даної послідовності.

Зверніть увагу:щоб переконатися в тому, що деяке число є членом даної послідовності, достатньо знайти його номер.

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

Леонардо Фібоначчі

Послідовність Фібоначчі 1; 1; 2; 3; 5; 8; про яку згадували в параграфі, названо на честь математика XIII ст. Леонардо Фібоначчі з Пізи (бл. 1170 — бл. 1250).

У «Книзі абака» («Liber abacci») у 1202 р. Фібоначчі описав цю послідовність, хоча вона була відома ще в Стародавній Індії, задовго до цього.

Послідовність Фібоначчі була розв’язком задачі про кроликів.

Задача. Дехто посадив пару кроликів у загін, оточений з усіх боків стіною. Скільки пар кроликів за рік може народити ця пара, якщо кожна пара кроликів кожного місяця, починаючи з другого місяця після свого народження, народжує одну пару?

Можна переконатися, що кількість пар кроликів, які народяться за кожний із дванадцяти наступних місяців, буде такою: 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21,34, 55, 89, 144, … .

Ця послідовність виникає в найрізноманітніших математичних ситуаціях — комбінаторних, числових, геометричних.

Відношення двох сусідніх чисел у послідовності Фібоначчі прямує до числа, відомого ще з античності, яке називають «золотим перерізом».

На малюнку 156 наведено початок розбиття довільного прямокутника на квадрати, у яких довжини сторін утворюють послідовність чисел Фібоначчі.

Якщо провести плавну лінію через кути цих квадратів, то одержимо спіраль Архімеда, збільшення кроку якої завжди є рівномірним (мал. 157).

Мал. 156

Мал. 157

У природі числа Фібоначчі можна побачити в різних спіральних формах: лусочки на сосновій шишці (мал. 158), насіння в соняшнику (мал. 159); космічні туманності (мал. 160) тощо.

Мал. 158

Мал. 159

Мал. 160

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Наведіть приклади числових послідовностей.

2. У якому випадку говорять, що одержано числову послідовність?

3. Як позначають числову послідовність?

4. Як називають числа числової послідовності (аn)? Як називають а1; а2; а3; аn ?

5. Як задають числову послідовність?

6. Як задати послідовність за допомогою формули n-го члена?

7. Як задати послідовність за допомогою рекурентної формули?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

478'. Чи правий Петро, стверджуючи: «Для одержання числової послідовності (bn) потрібно кожному натуральному числу n поставити у відповідність число bn»?

479'. Чи правильно, що даний набір чисел є числовою послідовністю:

1) 1, 2, 3, 4, 5, …;

2) 1, 3, 5, 7, 9, …;

3) 2, 4, 6, 8, 10, …?

Яке число буде наступним?

480°. Дано послідовність чисел (аn): 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … . Назвіть:

1) перший член;

2) другий член;

3) п’ятий член;

4) восьмий член.

481°. Дано послідовність (bn): b1, b2, b3, b4 , …, bn, … . Який член послідовності:

1) слідує за членом: b5; b10; b99; bn; bn+5; bn-1;

2) передує члену: b7; b50; b100; bn; bn+7; bn- з?

482°. Запишіть члени послідовності (cn), які розміщені між членами:

1) с4 і c7;

2) с56 і с62;

3) с98 і c104;

4) cn i cn+3;

5) cn-2 і cn;

6)cn-3 i cn+2

483°. Запишіть члени послідовності (dn), які розміщені між

членами:

1) d12 і d15;

2) d44і d50;

3) dn - 2 і dn + 2;

4) dn- 1 і dn+ 1.

484°. Запишіть перші п’ять членів послідовності, заданої формулою n-го члена:

1) хn = 2n;

2) хn = Зn - 1;

3) хn= ;

4) хn = n2 + 1.

485°. Запишіть перші чотири члени послідовності, заданої формулою n-го члена:

1) уn = n + 1;

2) yn=.

486°. Послідовність (cn) задано рекурентною формулою: с1 = -2, сn+1 = сn + 6,5. Знайдіть с4.

487°. Послідовність (dn) задано рекурентною формулою: d1= 3,5,dn+1 = dn- 10,5. Знайдіть d5.

488°. Запишіть кілька перших членів послідовності (an), членами якої є натуральні числа, кратні числу 3. Для цієї послідовності вкажіть:

1) a1;

2) а7;

3) а100;

4) аn.

489°. Запишіть кілька перших членів послідовності (bn), членами якої є натуральні числа, кратні числу 5. Для цієї послідовності вкажіть:

1) b10;

2) bn.

490°. Послідовність задано формулою xn= 7n- 2. Чи є членом цієї послідовності число:

1) 33;

2) 75;

3) 107;

4) 131?

491°. Послідовність задано формулою уn = 10 + 4n. Чи є членом цієї послідовності число:

1) 50;

2) 100?

492. Дано послідовність: 5; 10; 15; 20; … . Задайте цю послідовність:

1) формулою n-го члена;

2) рекурентною формулою.

493. Дано послідовність: 10; 20; ЗО; … . Задайте цю послідовність:

1) формулою n-го члена;

2) рекурентною формулою.

494. Якою формулою можна задати послідовність: 1; 4; 9; 16; 25; …?

495. Послідовність задано формулою аn= (-1)n. Знайдіть:

1) а1

2) а5;

3) а100;

4) аn+2.

496. Послідовність задано формулою

Знайдіть:

1) b10;

2) bn + 1.

497. Послідовність задано формулою сn = (n+ 5)(n - 2) . Знайдіть n, якщо:

1) сn = 260;

2) сn= 638.

498. Послідовність задано формулою dn= (n-3)(n + 2) . Знайдіть n, якщо: dn= 594.

499. Обчисліть другий, третій і четвертий члени послідовності (хn), якщо:

1) перший її член дорівнює 5, а кожний наступний — на 4 більший за попередній;

2) перший її член дорівнює 12, а кожний наступний — у 2 рази менший від попереднього.

500. Обчисліть другий, третій і четвертий члени послідовності (уn), якщо перший її член дорівнює 10, а кожний наступний — на 5 менший від попереднього.

501. Перевірте, чи є числа 6 і 1 членами послідовності (аn),якщо аn =.

502. Перевірте, чи є числа 5 і 2 членами послідовності (bn),якщо bn = .

503*. Послідовність (сn) задано рекурентною формулою: сn+2 = 2сn +cn+1, с1=1, с2 =-5. Знайдіть с5.

504*. Знайдіть 4-й, 5-й і 6-й члени послідовності (аn) , якщо:

505*. Послідовність задано формулою Ьn = -3n + 5. Запишіть (n + 1)-й, (n - 2)-й і (n + 4)-й члени цієї послідовності.

506. Для перевірки логічного аспекту мислення використовують завдання на числові послідовності.

Знайдіть закономірність і продовжіть ряд чисел, написавши два наступні члени цієї послідовності:

1) 2, 4, 6, 8, 10, …;

2) 5, 10, 20, 40, …;

3) 21, 19, 17, 15, …;

4) 16, 25, 36, 49, …;

5) 2, 5, 11, 23, 47, 95, … .

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

507. Число а більше за число n на 4. Знайдіть ці числа, якщо їхнє середнє арифметичне дорівнює:

1) 25;

2) 35,5.

508. У трьох дев’ятих класах навчається 70 учнів. У 9-А класі на 3 учні більше, ніж у 9-Б класі, і на одного учня менше, ніж у 9-В класі. Скільки учнів навчається в кожному класі?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити