Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 2 КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

§ 13. АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ

1. ПОНЯТТЯ АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

У реальних життєвих ситуаціях інколи можна побачити закономірності, які дозволяють складати різні числові послідовності. Розглянемо ситуацію.

Ситуація 1. Під час весняних канікул Тарас вирішив розв’язувати цікаві задачі з математики з понеділка по п’ятницю. За планом, який склав Тарас, у понеділок він мав розв’язати 5 задач, а кожного наступного дня — на 2 задачі більше, ніж за попередній. Визначте, скільки задач розв’язував Тарас кожного дня, якщо він виконав усе, що запланував.

Задача розв’язується достатньо легко: якщо в понеділок Тарас розв’язав 5 задач, то:

5 + 2 = 7 (з.) — розв’язав у вівторок;

7+ 2 = 9 (з.) — розв’язав у середу;

9 + 2 = 11 (з.) — розв’язав у четвер;

11 + 2 = 13 (з.) — розв’язав у п’ятницю.

Одержимо послідовність чисел, яка показує кількість розв’язаних задач щодня з понеділка по п’ятницю: 5,7, 9, 11, 13.

Кожний член цієї послідовності, починаючи з другого, одержується шляхом додавання до попереднього члена числа 2. Така послідовність є прикладом арифметичної прогресії, яка має скінченну кількість членів.

Послідовність можна було б продовжувати, якби Тарас, а потім його нащадки, нащадки нащадків і т.д., продовжували розв’язувати задачі за тих самих умов: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ... .

Така послідовність є прикладом нескінченної арифметичної прогресії.

Означення арифметичної прогресії Арифметичною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, доданому з одним і тим самим числом.

Тобто послідовність (аn) — арифметична прогресія,якщо для будь-якого натурального числа п виконується умова: аn + 1= аn + d, де d — деяке число.

З означення арифметичної прогресії випливає, що різниця між будь-яким її членом, починаючи з другого, і попереднім членом дорівнює й, тобто виконується рівність: аn+1+ - аn = d. Число й називають різницею арифметичної прогресії.

Як задати арифметичну прогресію? Щоб задати арифметичну прогресію, достатньо задати її перший член і різницю. А далі потрібно скористатися означенням.

Наведемо приклади.

Якщо а1 = 1, d = 10, то одержимо арифметичну прогресію: 1, 11, 21, 31, 41, ... .

Якщо а1 = 7, d = -2, то одержимо арифметичну прогресію: 7,5, 3, 1, -1, ... .

Якщо а1 = 5, d= 0, то одержимо арифметичну прогресію: 5,5, 5, 5, 5, ... .

За допомогою рівності аn + 1 = аn + d можна визначити будь-який член арифметичної прогресії через попередній її член. Проте такий спосіб не є зручним, якщо, наприклад, потрібно знайти а100 абo а1000.

2. ФОРМУЛА n-ГО ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

Для знаходження будь-якого члена арифметичної прогресії існує спеціальна формула. Виведемо її.

За означенням арифметичної прогресії:

а2 = а1 + d;

а3 = а2 + d = (а1 + d) + й = а1 + 2d;

а4 = а3 + d = (а1 + 2d) + й = а1 + 3d;

а5 = а4 + d = (а1 + 3d) + й = а1 + 4d; ... .

Простежується закономірність: щоб знайти n-й член прогресії, потрібно до першого її члена додати n - 1 раз число й, тобто аn = а1 + (dn - 1)d.

Формула n-го члена арифметичної прогресії. Нехай (аn) — арифметична прогресія з різницею d.

Тоді формула n-го члена має вигляд:

аn = а1 + (n — 1)d.

Формулу n-го члена арифметичної прогресії використовують під час розв’язування задач.

Задача 1. Послідовність (аn) — арифметична прогресія, а1 = 2,5, d = 1,5. Знайдіть а100.

Розв’язання. Застосуємо формулу n-го члена аn = а1 + (n - 1)d:

а100 = а1 + 99d = 2,5 + 99 -1,5 = 2,5 +148,5 = 151.

Задача 2. З’ясуйте, чи є число 30 членом арифметичної прогресії (bn): -20, -15, -10, -5, ... .

Розв’язання. Для даної арифметичної прогресії:

b1 = -20 і d = b2 - b1 = -15 - (-20) = 5.

Якщо число 30 є членом прогресії, то існує таке натуральне число n, яке відповідає номеру заданого члена прогресії. Застосуємо формулу n-го члена:

аn = а1 + (n - 1)d.

30 = -20 + (n-1)5.

Розв’яжемо рівняння: -20 + 5n - 5 = 30, 5n = 55, n = 11.

Отже, число 30 є 11-тим членом арифметичної прогресії (bn), або b11 = 30.

Задача 3. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії (сn), якщо с7 = 36 і с9 = 42. Чому дорівнює с8?

Розв’язання. За формулою n-го члена арифметичної прогресії:

с7 = с1 + 6d і с9 = с1 + 8d.

Оскільки, за умовою, обидві вимоги мають виконуватись одночасно, то одержуємо систему рівнянь:

Підставивши замість с7 і с9 їхні значення, одержимо систему рівнянь:

Розв’язавши систему рівнянь, знайдемо, що с1 = 18 і d = 3. Тоді с8 = с1 + 7d = 18 + 7 ∙ 3 = 39.

Чи можна задати арифметичну прогресію формулою аn = kn + b, де k і b — деякі числа? Так. Для цього у формулі n-го члена необхідно розкрити дужки, звести подібні доданки:

аn = а1 + (n - 1)d = а1 + nd - d = dn + (а1 - d).

Якщо ввести позначення d = k і (а1 - d) = b, то одержимо аn = kn + b.

3. ВЛАСТИВІСТЬ АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

Свою назву арифметична прогресія одержала через властивість, яка виконується для всіх її членів, крім першого.

Властивість арифметичної прогресії Будь-який член арифметичної прогресії, крім першого, є середнім арифметичним попереднього й наступного її членів, тобто:

Властивість можна довести. Для цього необхідно виразити члени а ,і а через аn і d:

аn-1 = аn - d і аn+1 = аn + d, а потім знайти середнє арифметичне чисел аn-1 і аn+1:

Цю властивість використовують для розв’язування задач. Наприклад, у задачі 3 відповідь на друге запитання можна одержати в інший спосіб — знайти с8 як середнє арифметичне його сусідів c7 = 36 і с9 = 42, тобто с8 = = 39.

4. ФОРМУЛА СУМИ n ПЕРШИХ ЧЛЕНІВ АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

Розглянемо таку ситуацію.

Ситуація 2. Якось на уроці арифметики учитель дав учням, серед яких був маленький Карл Гаус, досить складне завдання з арифметики: відшукати суму всіх натуральних чисел від 1 до 100. Учитель вважав, що учні досить довго шукатимуть відповідь. Але через кілька хвилин Карл розв’язав задачу. Коли вчитель проглянув розв’язання, то побачив, що малий Гаус запропонував спосіб, який можна було застосовувати для знаходження суми членів арифметичної прогресії.

Запишемо суму двома способами:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100,

S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1.

Додамо почленно ці дві рівності:

2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101.

Одержали 100 доданків.

Отже, 25 = 101 · 100.

Звідси 5 = 101 · 50 = 5050.

За допомогою аналогічних міркувань можна знайти суму n перших членів будь-якої арифметичної прогресії.

Позначимо суму n перших членів арифметичної прогресії (аn) через Sn і запишемо її двічі: спочатку в порядку зростання номерів, а потім — у порядку їх спадання:

Sn = а1 + а2 + ... + аn - 1, + аn,

Sn = аn + аn-1, + ... + а2 + а1.

Сума кожної пари членів прогресії, що розміщуються один під одним, дорівнює (а1 + аn). Число таких пар дорівнює n. Додавши почленно дві рівності, одержимо: 2Sn = (а1, + аn ) · n.

Розділивши обидві частини рівності на 2, одержимо формулу суми n перших членів арифметичної прогресії.

Формула суми n перших членів арифметичної прогресії через а1 й аn

Суму n перших членів арифметичної прогресії можна знайти за формулою:

Повернемося до ситуації 1 на початку параграфа про Тараса, який розв’язував цікаві задачі під час канікул. Доповнимо її новою вимогою: знайдіть, скільки задач розв’язав Тарас за час канікул.

Розв’язати задачу можна двома способами.

Спосіб 1. З’ясуємо, скільки задач розв’язував Тарас кожного дня, а потім знайдемо їх суму:

5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45 (з.).

Отже, за час канікул Тарас розв’язав 45 задач.

Спосіб 2. Застосуємо формулу суми п перших членів арифметичної прогресії, якщо а1 = 5, n = 5, а5 = 13:

S5 = · 5 = 45(з.).

Якщо задані перший член арифметичної прогресії та її різниця, то зручніше використовувати формулу суми n перших членів, записану в іншому вигляді. Для цього застосуємо формулу n-го члена аn = а1 + (n - 1)d:

Формула суми n перших членів арифметичної прогресії через а1 і d

Суму n перших членів арифметичної прогресії можна _ знайти за формулою:

Задача 4. Знайдіть суму дванадцяти членів арифметичної прогресії (аn): -5; -4,5; -3; ... .

Розв’язання. У даній прогресії а1 = -5, d = а2 - а1 = -4,5 - (-5) = 0,5.

Задачу можна розв’язати двома способами.

Спосіб 1. Скористаємось формулою суми п перших членів арифметичної прогресії через а1 і аn:

Sn = · n.

Для цього визначимо а12 = а1 + 11 d = -5 + 11 · 0,5 = 0,5. Тепер обчислимо суму 12-ти перших членів:

Спосіб 2. Скористаємось формулою суми n перших членів арифметичної прогресії через а1 і 4:

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

Термін «прогресія» має латинське походження (від progression — рух вперед) і був уведений римським автором Боецієм (VI ст.). Цим терміном у математиці спочатку йменували будь-яку послідовність чисел, побудовану за таким законом, який дозволяє необмежено продовжувати цю послідовність в одному напрямі.

Назва «арифметична» — від грецького слова aritmos — число.

Задачі на арифметичну прогресію існували вже в Давньому Єгипті. Наприклад, в одному зі стародавніх папірусів математичного змісту — папірусі Рінда (XIX ст. до н. е.) — наводиться така задача: «Тобі потрібно розділити 10 мір хліба між 10 особами так, щоб різниця між кожною людиною та наступною за нею становила міри».

В античних математичних текстах трапляються теореми, які стосуються арифметичної прогресії. Гипсікл Александрійський (II ст. до н. е.) сформулював таке твердження: «В арифметичній прогресії з парним числом членів сума членів другої половини перевищує суму членів першої половини на число, кратне квадрату половини числа членів».

Нікомах із Герази (I ст. н. е.) склав трактат «Вступ до арифметики», який довгий час від пізньої античності й до середньовіччя був поширеним підручником з математики. Він пропонував таку задачу: «Якщо розбити ряд усіх непарних чисел на групи, у яких кількість членів буде зростати як ряд натуральних чисел, то сума членів кожної групи буде дорівнювати кубу кількості членів у ній».

Спробуйте самостійно розв’язати наведені задачі.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Сформулюйте означення арифметичної прогресії. Наведіть приклади арифметичних прогресій.

2. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії.

3. Сформулюйте властивість арифметичної прогресії.

4. Запишіть формулу суми n перших членів арифметичної прогресії через а1 і аn.

5. Запишіть формулу суми n перших членів арифметичної прогресії через а1 і 4.

РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

509'. Чи правильно Дарина сформулювала означення: «Арифметичною прогресією називається послідовність, кожний член якої дорівнює попередньому члену, доданому з одним і тим самим числом»?

510'. Чи правильно, що для задання арифметичної прогресії достатньо знати:

1) два послідовні члени прогресії;

2) два перші члени прогресії?

511'. Чи правильно, що арифметична прогресія може мати:

1) скінченну кількість членів;

2) нескінченну кількість членів?

Наведіть приклади.

512'. Виберіть формулу для знаходження n-го члена арифметичної прогресії:

1) an= a1+ nd;

2) an = a1 - nd;

3) an= a1+ (n - 1)d;

4) an = a1 - (n - 1)d.

513'. Виберіть формулу для знаходження суми n перших членів арифметичної прогресії через a1 й an:

514'. Виберіть формулу для знаходження суми n перших членів арифметичної прогресії через а і d:

515°. Чи є арифметичною прогресією послідовність:

1) 3; 6; 9; ...;

2) 4; 8; 16; ...;

3) -12; 0; 12; ...;

4) 50; 45; 40; ...?

Для арифметичної прогресії назвіть її перший член і різницю.

516°. Запишіть перші п’ять членів арифметичної прогресії (ап), якщо:

1) а1 = 5 і d = 8;

2) а1 = 10 і d = -7;

3) а1 = 0,2 і d = 5;

4) а1 = 4,5 і d = -2;

5) а1 = -1,5 і d = -0,4;

6) а1 = 5/7 і d = .

517°. Запишіть перші п’ять членів арифметичної прогресії (аn), якщо:

1) а1 = 12 і d = 8;

2) а1 = -5 і d = 15;

3) а1 = 7,5 і d = -2,5;

4) а1 = 5/6 і d = .

518°. Послідовність (bn) — арифметична прогресія, перший член якої дорівнює b1, а різниця — d. Виразіть через b1 і d:

1) b12;

2) b25;

3) b103;

4) b301;

5) bk;

6)bk+2.

519°. Послідовність (сn) — арифметична прогресія, перший член якої дорівнює с , а різниця — d. Виразіть через с1 і d:

1) c17;

2) c51;

3) c225;

4) ck - 3.

520°. Послідовність (аn) — арифметична прогресія. Знайдіть:

1) а11, якщо а1 = 15 і d = 6;

2) а36, якщо а1 = -8 і d = 12;

3) а51, якщо а1 = 3,4 і d = 1,6;

4) а101, якщо а1 = -2,1 і d = -1,5;

5) а25, якщо а1 = -10 і d = ;

6) а257 якщо а, = -5,4 і d = .

521 °. Послідовність (bn) — арифметична прогресія. Знайдіть:

1) b16, якщо b1 = 9 і d = 22;

2) b106, якщо b1 = -24 і d = 8;

3) b75, якщо b1 = 12 і d = -0,5 ;

4) b125, якщо b1 = -20 і d = - .

522°. Знайдіть 48-й і n-й члени арифметичної прогресії:

1) (аn): 18; 27; ...;

2) (bn): 5,4; 7; ...;

3) (сn): -; ; ...;

4) (mn): -15,2; -10,1; ... .

523°. Знайдіть 31-й і n-й члени арифметичної прогресії:

1) (аn): -6; 12;

2) (bn): 5; 2,5; ... .

524°. Знайдіть перший член арифметичної прогресії (bn), якщо:

1) b16 = 5 і d = -3;

2) b29 = 490 і d = 18;

3) b13 = 1 і d = -;

4) b43 = -10 і d = -0,2.

525°. Знайдіть перший член арифметичної прогресії (аn), якщо:

1) а11 = 110n і d = -10;

2) а49 = 49 і d = -0,5.

526°. Знайдіть різницю арифметичної прогресії (аn), якщо:

1) а1 = 7 і а16 = 67;

2) а1 = -4 і а9 = 0;

3) а1 = 0,5 і а7 = 6,5;

4) а4 = -10 і а31 = -20.

527°. Знайдіть різницю арифметичної прогресії (bn), якщо:

1) b1 = З і b25 = 45;

2) b1 = -14 і b17 = -9,2.

528°. Послідовність (аn) — арифметична прогресія. Знайдіть а1 і d, якщо:

1) а5 = 15 і а7 = 27;

2) а11 = -15 і а13 = -7;

3) а2 = -7 і а7 = 18;

4) а4 = 14 і а9 = 1.

529°. Послідовність (bn) — арифметична прогресія. Знайдіть і b1, якщо:

1) b3 = 32 і b5 = 44;

2) b4 = -16 і b7 = 8.

530°. Знайдіть суму п’ятдесяти перших членів арифметичної прогресії (аn), якщо:

1) а1 = 20 і а50 = 200;

2) а1 = -45,2 і а50 = -8,8.

531°. Знайдіть суму сорока перших членів арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 45 і а40 = -15.

532°. Знайдіть суму вісімнадцяти перших членів арифметичної прогресії (bn), якщо:

1) (bn): 38; 35; 32; ...;

2) (bn): -16; -10; -4; ... .

533°. Знайдіть суму п’ятнадцяти перших членів арифметичної прогресії (аn), якщо (аn): 10; 13; 16; ... .

534. З’ясуйте, чи є членом арифметичної прогресії (аn): -20, -9, 2, ... число:

1) 101;

2) 144.

535. З’ясуйте, чи є членом арифметичної прогресії (bn): 44, 38, 32, ... число:

1) -22;

2) -42.

536. Скільки додатних членів має арифметична прогресія:

1) (bn): 4,4; 4,2; 4; ... ;

2) (аn): 20; 19; 19; ...?

537. Скільки від’ємних членів має арифметична прогресія:

1) (аn): -38; -36; -34; ... ;

2) (bn): -9; -8 1/2; -8 ; ...?

538. Між числами 12 і 36 уставте три такі числа, щоб вони разом з даними числами утворювали арифметичну прогресію.

539. Між числами -45 і 9 уставте сім таких чисел, щоб вони разом з даними числами утворювали арифметичну прогресію.

540. Між числами 2 і 42 вставте чотири такі числа, щоб вони разом з даними числами утворювали арифметичну прогресію.

541. Знайдіть перший член b і різницю й арифметичної прогресії (bn), якщо:

542. Знайдіть перший член а та різницю d арифметичної прогресії (аn), якщо

543. Знайдіть суму n перших членів арифметичної прогресії (аn), якщо:

1) а1 = 1; аn = 20; n = 50;

2) а1 = -1; аn = -40; n = 20;

3) а1 = 0,5; аn = 25,5; n = 11;

4) а1 = -38; аn = -10; n = 15.

544. Знайдіть суму п перших членів арифметичної прогресії (bn), якщо:

1) b1 = 0; bn = 5; n = 11;

2) b1 = -2; bn = -60; n = 10.

545. Знайдіть суму n перших членів арифметичної прогресії (bn):

1) (bn): 9; 13; 17; ...; n = 11;

3) (bn): -9; -8,5; -8; ...; n = 25;

2) (bn): -3; 4; 11; ...; n = 13;

4) (bn) : ;1;1 ;...;n = 36.

546. Знайдіть суму n перших членів арифметичної прогресії (аn):

1) (аn): 5; 9; 13; ...; n = 16;

2) (аn): ; 596; 1 ; ...; n = 31.

547. Арифметичну прогресію задано формулою n-го члена. Знайдіть:

1) S20, якщо аn = 4n + 5;

2) S12, якщо аn = -2,7n + 0,7.

548. Арифметичну прогресію задано формулою n-го члена. Знайдіть S25, якщо bn = 12n - 2.

549. Знайдіть суму:

1) усіх натуральних чисел, що не перевищують 200;

2) усіх парних чисел, що не перевищують 500;

3) усіх натуральних чисел від 15 до 150.

550. Знайдіть суму:

1) усіх натуральних чисел, що не перевищують 180;

2) усіх натуральних чисел від 20 до 120.

551. Послідовність (аn) — арифметична прогресія. Знайдіть а1 і d, якщо:

1) а7 = 21 і S7= 315;

2) а11 = 131 і S11= 1221.

552. Послідовність (bn) — арифметична прогресія. Знайдіть b1 і d, якщо b8 = -7 і S8= 28.

553. Послідовність (ап) — арифметична прогресія. Знайдіть а7 і d, якщо:

1) S4= 32 і S6= 60;

2) S5= 45 і S12= -18.

554. Послідовність (bn) — арифметична прогресія. Знайдіть b1 і d, якщо S5 = 65 і S10 = 380.

555*. Сума чотирьох перших членів арифметичної прогресії дорівнює 56, а сума чотирьох наступних — 120. Знайдіть перший член і різницю цієї прогресії.

556*. Три числа утворюють арифметичну прогресію. Сума цих чисел дорівнює 21, а сума їх квадратів дорівнює 197. Знайдіть два наступні члени цієї прогресії.

557*. Знайдіть суму:

1) усіх натуральних чисел, кратних числу 3, що не перевищують число 360;

2) усіх непарних чисел від 35 до 350.

558*. В арифметичній прогресії с2 + с7 = 7 і с6 + с8 = 22. Знайдіть с3 + с7.

559*. Розв’яжіть рівняння:

1) 2 + 6 + 10 + ... + х = 288;

2) 5 + 12 + 19 + у = 2225;

3) (х + 1) + (х + 4) + (х + 7) + ... + (х + 28) = 155;

4) (у + 248) + (у + 243) + (у + 238) + ... + (у + 3) = 6225.

560*. Доведіть, що суми пар членів арифметичної прогресії рівні, якщо рівні суми їхніх номерів.

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

561. Петрик грався в кубики. Спочатку він складав з кубиків «драбинку», як показано на малюнку 161.

Мал. 161

1. Скільки кубиків використав Петрик, якщо для побудови останнього стовпчика йому знадобилося 6 кубиків?

2. Скільки сходинок на такій «драбинці»?

3. Скільки сходинок буде на «драбинці», якщо Петрик використає 36 кубиків?

Після цього Петрик почав складати кубики «сходинками» так, як показано на малюнку 162.

Мал. 162

4. Скільки кубиків йому знадобиться, щоб побудувати «драбинку» на 12 сходинок?

5. Зі скількох сходинок складається «драбинка», у якій 120 кубиків?

Катруся, молодша сестричка Петрика, будувала «драбинку», як показано на малюнку 163.

Мал. 163

6. Скільки кубиків їй знадобиться, щоб побудувати «драбинку» на 5 сходинок?

7. Зі скількох сходинок складається «драбинка», у якій 49 кубиків?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

562. Скоротіть дріб:

563. Сума двох чисел дорівнює 15, а їх різниця — 5. Знайдіть ці числа.

564. Спростіть вираз:



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити