Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 2 КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

§ 14. ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ

1. ПОНЯТТЯ ГЕОМЕТРИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

Ви уже знаєте, що таке арифметична прогресія, умієте задавати її за допомогою першого члена й різниці, використовуєте формули для знаходження її елементів. Проте існує ще одна прогресія. Розглянемо ситуацію.

Ситуація. Бактерії (ваcterіа від давньогрецького вaкtnplov — паличка) є однією з основних груп живих організмів. Вони присутні у ґрунті, воді, повітрі та як симбіонти в інших організмах. У сприятливих умовах бактерії розмножуються так, що протягом визначеного часу кожна з них ділиться на дві (мал. 164).

Мал. 164

Для виконання проекту з біології Дарина досліджує певний вид бактерій, кількість яких протягом однієї хвилини подвоюється. У чашку Петрі помістили 100 бактерій. Скільки бактерій стане в чашці через 5 хв?

Урахуємо, що протягом однієї хвилини кількість бактерій подвоюється. Тоді, якщо в чашку помістили 100 бактерій, то:

100 · 2 = 200 (бактерій) — через 1 хв;

200 · 2 = 400 (бактерій) — через 2 хв;

400 · 2 = 800 (бактерій) — через 3 хв;

800 · 2 = 1600 (бактерій) — через 4 хв;

1600 · 2 = 3200 (бактерій) — через 5 хв.

Одержимо послідовність чисел, яка показує кількість бактерій у чашці Петрі від початку досліду до кінця п’ятої хвилини:

100, 200, 400, 800, 1600, 3200.

Кожний член цієї послідовності, починаючи з другого, одержується шляхом множення попереднього члена на 2. Така послідовність є прикладом геометричної прогресії, яка має скінченну кількість членів.

Послідовність можна було б продовжити, якби Дарина продовжила дослідження:

100, 200, 400, 800, 1600, 3200, 6400, 12800, ... .

Така послідовність є прикладом нескінченної геометричної прогресії.

Означення геометричної прогресії — Геометричною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число.

Тобто послідовність (bn) — геометрична прогресія, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова: bn + 1 = bn · q, де q — деяке число.

З означення геометричної прогресії випливає, що відношення будь-якого її члена, починаючи з другого, до попереднього

члена дорівнює q, тобто виконується рівність: = q . Число q називають знаменником геометричної прогресії.

Як задати геометричну прогресію? Щоб задати геометричну прогресію, достатньо задати її перший член і знаменник, а потім скористатись означенням.

Наведемо приклади.

Якщо b1 = 1, q = 5, то одержимо геометричну прогресію: 1, 5, 25, 125, ....

Якщо b1 = 2, q = -3, то одержимо геометричну прогресію: 2, -6, 18, -54, ....

Якщо b1 = -10, q = -1, то одержимо геометричну прогресію: -10, 10, -10, 10, ....

За допомогою рівності bn + 1 = bn · q можна визначити будь-який член геометричної прогресії через попередній її член, проте, як і для арифметичної прогресії, можна застосовувати формулу n-го члена.

2. ФОРМУЛА n-ГО ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

Для знаходження будь-якого члена геометричної прогресії існує спеціальна формула. Виведемо її.

За означенням геометричної прогресії:

b2 = b · q ;

b3 =b2 · q = b1 · q · q = b1 · q2;

b4 = b8 · q = b1 · q2 · д = b1 · q3;

b5 = b4 · q = b1 · q3 · д = b1 · q4... .

Простежується закономірність: щоб знайти n-й член прогресії, потрібно перший її член помножити на число q в (n -1)-му степені, тобто bn = b1 · qn+1.

Формула n-го члена геометричної прогресії

Нехай (bn) — геометрична прогресія зі знаменником q. Тоді формула n-го члена має вигляд: b = b1 · qn-1.

Формулу n-го члена геометричної прогресії використовують під час розв’язування задач.

Задача 1. Послідовність (аn) — геометрична прогресія, a1 = 27, q = .

Знайдіть a6.

Розв’язання. Застосуємо формулу n-го члена bn = b1 · qn-1

Задача 2. Знайдіть третій член геометричної прогресії (bn), якщо b2 = b1 і b4 = .

Розв’язання. За формулою n-го члена геометричної прогресії маємо: b2 = b1 · q і b4 = b1 · q3.

Оскільки, за умовою, обидві вимоги мають виконуватись одночасно, то маємо систему рівнянь:

Підставивши замість b2 і b4 їхні значення, одержимо систему рівнянь:

Розв’язавши систему рівнянь, одержимо: q2 = . Отже, q = ±.

Відповідно b1, =±2. Тобто існують дві прогресії, що задовольняють умову задачі. Тоді:

Отже, задача має два розв’язки: b3 = або b3 = - .

Чи можна формулу n-го члена геометричної прогресії bn = b1 · qn- 1 подати в інший спосіб? Так. Наприклад, виконавши певні перетворення цієї формули, одержимо:

Якщо добуток чисел b1 ·1/q позначити k, то формула n-го члена набуде вигляду: bn = k · qn.

3. ВЛАСТИВІСТЬ ГЕОМЕТРИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

Свою назву геометрична прогресія одержала через властивість, яка виконується для всіх її членів, крім першого.

Властивість геометричної прогресії

Якщо всі члени геометричної прогресії додатні, то будь-який її член, крім першого, є середнім геометричним попереднього та наступного членів, тобто:

де n = 2, 3, ... .

Цю властивість використовують для розв’язування задач. Наприклад, у задачі 2 можна було б знайти b3 як середнє геометричне його сусідів b2 = 1 і b4 = , тобто:

4. ФОРМУЛА СУМИ n ПЕРШИХ ЧЛЕНІВ ГЕОМЕТРИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

Для геометричної прогресії, як і для арифметичної, є формули для знаходження суми n перших членів.

Формула суми n перших членів геометричної прогресії через b1 і bn

Суму n перших членів геометричної прогресії можна знайти за формулою:

де q 1.

Виведемо цю формулу.

Розглянемо геометричну прогресію (bn). Суму n перших членів цієї прогресії можна записати так:

Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn-1 + bn .

Помножимо обидві частини рівності на q 0:

Snq = b1q + b2q + b3q + … + bn - 1 + bnq.

За формулою n-го члена геометричної прогресії замінимо всі доданки рівності, крім останнього:

b1 · q = b2 , b2 ·q = b3 b3 · q = b4,..., bn-1 · q = bn.

Одержимо:

Знайдемо різницю Snq - Sn:

Звідси Snq - Sn = bnq - b1, Sn(q - 1) = bnq - b1, Sn = за умови, що q 1.-------------------------------------------------

Якщо задані перший член геометричної прогресії та її знаменник, то зручніше використовувати формулу суми n перших членів, записану в іншому вигляді. Для цього застосуємо формулу n-го члена bn = b1 · qn-1:

Формула суми n перших членів геометричної прогресії через b1 і q

Суму n перших членів геометричної прогресії можна знайти за формулою:

де q 1.

Задача 3. Послідовність (bn) — геометрична прогресія, b1 = 27, q = . Знайдіть. S5.

Розв’язання. Задачу можна розв’язати двома способами. Спосіб 1. Застосуємо формулу суми nп перших членів геометричної прогресії через b1 і bn, а саме:

Спочатку знайдемо b5 за формулою n-го члена геометричної прогресії:

Спосіб 2. Застосуємо формулу суми n перших членів геометричної прогресії через b1 і q, а саме:

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

1. Міхаель Штифель (близько 1487, Есслінгені-на-Неккарі — 19 квітня 1567, Єна) — німецький математик, який залишив помітний слід у розвитку алгебри. Його головна праця Arithmetica integra (Нюрнберг, 1544) містить розділ, у якому розглядаються прогресії та послідовності.

Міхаель Штифель

У цій же книзі він уперше висловив ідею: зіставити геометричну й арифметичну прогресії. У подальшому розвиток цієї ідеї привів до розробки логарифмів, з якими ви ознайомитеся пізніше.

2. За легендою, колись творець шахів — винахідник на ім’я Сета показав свій винахід індійському цареві Шераму. Царю так сподобалася гра, що він надав винахіднику право самому обирати винагороду. Сета попросив царя видати йому за першу клітку шахівниці 1 зернину пшениці (за іншою версією — рису), за другу — 2 зернини, за третю — 4 зернини і т. д., подвоюючи кількість зернин на кожній наступній клітці. Цар, який не розбирався в математиці, швидко погодився, навіть дещо образившись на таку невисоку оцінку винаходу. Він наказав скарбнику підрахувати й видати винахідникові потрібну кількість зерна. Однак, коли через тиждень скарбник усе ще не зміг підрахувати, скільки потрібно зернин, він пояснив цареві причину такої затримки. За розрахунками, число зернин становить 18 446 744 073 709 551 615. Тому розплатитися неможливо, хіба тільки осушити моря й океани та засіяти весь простір пшеницею. В одиницях маси: якщо прийняти, що одне зернятко пшениці має масу 0,065 г, тоді загальна маса пшениці на шахівниці становитиме 1200 мільярдів тонн, або 1,2 трильйони тонн пшениці.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Сформулюйте означення геометричної прогресії. Наведіть приклади геометричної прогресії.

2. Запишіть формулу n-го члена геометричної прогресії.

3. Сформулюйте властивість геометричної прогресії.

4. Запишіть формулу суми n перших членів геометричної прогресії через b1 і bn.

5. Запишіть формулу суми п перших членів геометричної прогресії через b1 і q.

РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

565'. Чи правильно Петро сформулював означення: «Геометричною прогресією називається послідовність, кожний член якої дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число»?

566'. Чи правильно, що для задання геометричної прогресії достатньо знати:

1) два послідовні члени прогресії;

2) два перші члени прогресії?

567'. Чи правильно, що геометрична прогресія може мати:

1) скінченну кількість членів;

2) нескінченну кількість членів?

Наведіть приклади.

568'. Виберіть формулу для знаходження n-го члена геометричної прогресії:

569'. Виберіть формулу для знаходження суми п перших членів геометричної прогресії через b1, і bn :

570'. Виберіть формулу для знаходження суми n перших членів геометричної прогресії через b1 і q:

571°. Чи є геометричною прогресією послідовність:

1) 3; 6; 12; ...;

2) 4; 8; 12; ...;

3) -12; 12; -12; ...;

4) 48; 24; 12; ...?

Для геометричної прогресії назвіть її перший член і знаменник.

572°. Запишіть перші чотири члени геометричної прогресії (bn), якщо:

1) b1 = 5 і q = 2;

2) b1 = 10 і q = -3;

3) b1 = -12 і q = -2;

4) b1 = -4 і q = 0,5;

5) b1 = 20 і q = ;

6) b 1 = 3,6 і q = -.

573°. Запишіть перші п’ять членів геометричної прогресії (b), якщо:

image1

574°. Послідовність (bn) — геометрична прогресія, перший член якої дорівнює b, а знаменник — q. Виразіть через b1 і q:

1) b8;

2) b12;

3) b52;

4) b200;

5) bk;

6) bk+2.

575°. Послідовність (cn ) — геометрична прогресія, перший член якої дорівнює c1 а знаменник — q. Виразіть через c1 і q:

1) c15;

2) c26;

3) c111;

4) ck +1.

576°. Послідовність (bn) — геометрична прогресія. Знайдіть:

1) b4, якщо b1= 3 і q= 10;

2) b7, якщо b1= -4 і q= ;

3)b5, якщо Ь1 = 1 і g = -2;

4) b6, якщо b1= -3 і q= - ;

5) b9, якщо b1 = -14 і q = -1;

6) b7, якщо = 27 і g = .

577°. Послідовність (bn) — геометрична прогресія. Знайдіть:

1) b4, якщо b1 = 32 і q = ;

2) b6, якщо b1= -24 і q= 2;

3) b5, якщо b1 = 27 і q = -;

4) b9, якщо b1= -20 і q= 1.

578°. Знайдіть 6-й і n-й члени геометричної прогресії:

1) (an): 1; 3; ...;

2) (bn): -5; 10;

3) (cn): ; -2; ...;

4) (mn ): -16; -4; ....

579°. Знайдіть 5-й і n-й члени геометричної прогресії:

1) (аn):6; 12; ...;

2) (bn): 44; -22; ....

580°. Знайдіть перший член геометричної прогресії (bn), якщо:

1) b5= 16 і q= -2;

2) b7= 1024 і g= 4;

3) b10= 7 і q= 0,5;

4) b6 = 3125 і g = -2 .

581 °. Знайдіть перший член геометричної прогресії (аn), якщо:

1) а5 = 20 000 і g = -10;

2) a6= 0,32 і q = 0,2.

582°. Знайдіть знаменник геометричної прогресії (аn), якщо:

583°. Знайдіть знаменник геометричної прогресії (bn), якщо:

1) b1 = 3 і b4= -81;

2) b1 = 80 i b5 = 5.

584°. Послідовність (bn) — геометрична прогресія. Знайдіть b1 і q, якщо:

585°. Послідовність (аn) — геометрична прогресія. Знайдіть а1 і q, якщо:

1) а2 = 6 і а4 = 54;

2) а3 = -3 і а6 = -81.

586°. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії (bn), якщо:

1) b1 = 5 і b6= 160;

2) b1 = -0,6 і b5 = -48,6.

587°. Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії (аn ), якщо а1 = 1 і а4 = -27.

588°. Знайдіть суму восьми перших членів геометричної прогресії (аn), якщо:

1) (аn): 2; 6; 18; ...;

2) (аn): -16; 8; -4; ....

589°. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії (bn), якщо(bn): -2; 4; -8; ....

590. З’ясуйте, чи є членом геометричної прогресії (bn): 150, 30, 6, ... число:

1)1,2;

2).

591. З’ясуйте, чи є членом геометричної прогресії (bn): 3, 21, 147, ... число: 1) 1029; 2) 7200.

592. Між числами 9 і 243 вставте два такі числа, щоб вони разом з даними числами утворювали геометричну прогресію.

593. Між числами 160 і 10 вставте три такі числа, щоб вони разом з даними числами утворювали геометричну прогресію.

594. Між числами 2 і 512 вставте три такі числа, щоб вони разом з даними числами утворювали геометричну прогресію.

595. Знайдіть перший член b1 і знаменник q геометричної прогресії, якщо:

596. Знайдіть перший член b1 і знаменник q геометричної прогресії, якщо

597. Знайдіть суму n перших членів геометричної прогресії (аn), якщо:

598. Знайдіть суму n перших членів геометричної прогресії (bn), якщо:

1) b1 = 4; bn = 64; n = 5;

2) b1 = -0,2; bn = 25; n = 4.

599. Знайдіть суму n перших членів геометричної прогресії(bn):

1) (bn): 9; 18; 3; ..., якщо n = 8;

2) (bn): 5; -10; 20; ..., якщо n = 7;

3) (bn): -; 2; -6; ..., якщо n = 4;

4) (bn): ; ;; ...,якщо n = 5

600. Знайдіть суму m перших членів геометричної прогресії:

1) (аn): 2; 6; 18; якщо n = 5;

2) (аn): 64; -32; 16; ..., якщо n = 6.

601. Геометричну прогресію задано формулою n-го члена. Знайдіть:

1) S8, якщо bn = 3-2n ;

2) S5, якщо bn =5n-2.

602. Геометричну прогресію задано формулою n-го члена. Знайдіть S6, якщо bn =-3-2n+1.

603. Знайдіть суму:

604. Знайдіть суму:

605. Послідовність (cn) — геометрична прогресія. Знайдіть с1 і q, якщо: 1) с3 = 20 і S3= 35; 2) c8= -4 і S8= 340.

606. Послідовність (bn) — геометрична прогресія. Знайдіть Ь1 і q, якщо b3= 45 і S3= 65.

607. Послідовність (bn) — геометрична прогресія. Знайдіть b1 і q, якщо: 1) S4= ЗО і S6= 126; 2) S3= 7 і S6= -182.

608. Послідовність (bn) — геометрична прогресія. Знайдіть b1 і q, якщо S3= 49 і S5= 217.

609*. Знайдіть чотири перші члени геометричної прогресії, якщо сума крайніх із цих членів дорівнює 27, а сума середніх — 18.

610*. Між числами 0,5 і 128 вставте три такі числа, щоб одержати п’ять послідовних членів геометричної прогресії.

611*. У геометричній прогресії с3 ∙ с5 = 72. Знайдіть с1 ∙ с7.

612*. Три числа утворюють геометричну прогресію. Сума цих чисел дорівнює 63, а сума їх квадратів дорівнює 1701. Знайдіть два наступні члени цієї прогресії.

613*. Сума перших трьох членів спадної геометричної прогресії дорівнює 14, а сума їх квадратів дорівнює 84. Знайдіть три наступні члени цієї прогресії.

614*. Знайдіть чотири додатні числа, з яких перші три утворюють арифметичну прогресію, а останні три — геометричну прогресію, якщо сума перших трьох чисел дорівнює 12, а сума останніх трьох дорівнює 19.

615*. Сума трьох додатних чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 15. Якщо до цих чисел відповідно додати 1, 4 і 19, то нові три числа утворять геометричну прогресію. Знайдіть ці числа.

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

616. Компанія «Перспектива» у 2012 році почала інвестувати свої кошти в будівництво на території міста дитячих спортивних майданчиків, маючи капітал 50 000 грн. Кожного року, починаючи з 2013 року, компанія одержувала прибуток, що становив 20 % капіталу попереднього року. У 2014 році «Перспектива» розширила свої інвестиції та вклала100 000 грн у створення велотреку за містом. Починаючи з 2015 року, прибуток за цією інвестицією становив 40 % попереднього капіталу.

1. Який прибуток одержала компанія за першу інвестицію на кінець 2017 року, якщо прибуток з обороту не вилучали?

2. Яка з інвестицій була більш прибутковою?

617. Дріжджі належать до групи одноклітинних грибів, яка об’єднує близько 1500 видів. Деякі з їх видів використовують у домашньому господарстві або промисловості, наприклад, для приготування хліба чи напоїв. Зростання дріжджових клітин відбувається поділом кожної клітини на дві частини.

1. У чашку Петрі помістили одну дріжджову клітину. Скільки клітин будуть міститися в чашці після їх п’ятикратного поділу?

2. Скільки дріжджових клітин будуть у чашці Петрі після їх десятикратного поділу, якщо спочатку було 6 клітин?

3. Скільки дріжджових клітин було спочатку, якщо після шестикратного поділу їх стало 320?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

618. Розв’яжіть систему рівнянь:

619. Розв’яжіть рівняння:

620. Спростіть вираз:

621. Середнє арифметичне двох чисел дорівнює 20, а їх середнє геометричне — 12. Знайдіть ці числа.

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Що таке числова послідовність? Наведіть приклади.

2. Як позначають числову послідовність?

3. Як називають числа числової послідовності? Як називають а12 а3; аn?

4. Як задають числову послідовність?

5. Як задати послідовність за допомогою формули n-го члена?

6. Як задати послідовність за допомогою рекурентної формули?

7. Сформулюйте означення арифметичної прогресії. Наведіть приклади.

8. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії.

9. Сформулюйте властивість арифметичної прогресії.

10. Запишіть формулу суми п перших членів арифметичної прогресії через а1 і аn; через а1 і d.

11. Сформулюйте означення геометричної прогресії. Наведіть приклади.

12. Запишіть формулу n-го члена геометричної прогресії.

13. Сформулюйте властивість геометричної прогресії.

14. Запишіть формулу суми п перших членів геометричної прогресії через b1 і bn; через b1 і q.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

Уважно прочитайте задачі та знайдіть серед запропонованих відповідей правильну. Для виконання тестового завдання потрібно 10 - 15 хв.

№ 1

1.Знайдіть п’ятий член послідовності хn = 2n2 - 1.

A. 51.

Б. 49.

B. 11.

Г. 9.

2.Послідовність (аn) — арифметична прогресія. Знайдіть а16, якщо а1 = 8 і d = -5.

A. 88.

Б. -72.

B. 67.

Г. -67.

3. Знайдіть перший член геометричної прогресії (bn), якщо b6 = 96 і q = -2.

A. -4.

Б. -3.

B. 4.

Г. 3.

4.Знайдіть суму восьми перших членів арифметичної прогресії (аn): 5; 12; 19; ... .

А. 432.

Б. 216.

В. 244.

Г. 236.

Послідовність (Ьn) — геометрична прогресія. Знайдіть S5 якщо b3 = -12 і b6 = 96.

A. 63.

Б. -33.

B. 33.

Г. 15.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити