Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 4 ОСНОВИ КОМБІНАТОРИКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА СТАТИСТИКИ

У розділі дізнаєтеся:

про комбінаторику та її основні задачі;

як знаходити кількість варіантів комбінування деяких предметів;

що таке випадкова подія, її частота та ймовірність;

як обчислити частоту та ймовірність випадкової події;

що вивчає статистика;

про способи подання статистичних даних;

як застосовувати вивчений матеріал на практиці

§ 15. ОСНОВНІ ПРАВИЛА КОМБІНАТОРИКИ

У зв’язку з потребою організації побуту, побудови оптимальних планів виробництва, транспортування тощо виникають задачі, у яких доводиться шукати відповідь на запитання «Скільки різних комбінацій, які задовольняють певну умову, можна утворити з даної множини елементів?» Задачі з такими запитаннями називають комбінаторними. В основі розв’язування багатьох задач комбінаторики лежать два правила — правило додавання та правило множення.

1. ПРАВИЛО ДОДАВАННЯ

Задача 1. Ірина вирішила купити або морозиво, або тістечко. У магазині морозиво було трьох видів, а тістечка — п’яти видів. Скількома способами Іринка може вибрати або одне морозиво, або одне тістечко?

Розв’язання. Одне морозиво можна вибрати 3 способами, а одне тістечко — 5 способами. Оскільки Іринка обирає або морозиво, або тістечко, то всього в неї 3 + 5 = 8 (способів).

Задача 2. У ящику є 10 білих, 7 чорних і 3 червоні кульки. Скількома способами можна вибрати: 1) або одну чорну кульку, або одну білу кульку; 2) або одну чорну кульку, або одну червону кульку?

Розв’язання. 1. Білу кульку можна вибрати 10 способами, а чорну кульку — 7 способами. Оскільки треба вибрати або чорну кульку, або білу кульку, то це можна зробити 7 + 10 = 17 (способами).

2. Чорну кульку можна вибрати 7 способами, а червону кульку — 3 способами. Оскільки треба вибрати або чорну кульку, або червону кульку, то це можна зробити 7 + 3 = 10 (способами).

Під час розв’язування задач 1 і 2 ми скористалися правилом додавання.

Правило додавання (для комбінаторних задач). Якщо деякий об’єкт А можна вибрати з даної сукупності об’єктів п способами, а об’єкт В можна вибрати т способами, то вибрати або об’єкт А, або об’єкт В можна n + m способами.

Зауважимо: множини об’єктів А і В не перетинаються.

Під об’єктами розуміють будь-які предмети чи живі істоти. Важливо тільки те, що їх можна перерахувати.

Чи можна правило додавання застосувати до більшої кількості об’єктів? Так.

Якщо об’єкти А1, А2,... Аm можна вибрати з даної множини об’єктів відповідно n1, n2,... nm способами, то вибрати або об’єкт А1,..., або об’єкт Аm можна n1, + n2 +...+ nm способами.

2. ПРАВИЛО МНОЖЕННЯ

Задача 3. Ольга вирішила у вихідний відвідати спочатку одну із двох виставок, а потім подивитися один із чотирьох кінофільмів. Скількома способами Ольга може спланувати свій вихідний?

Розв’язання. Виставку можна вибрати 2 способами, а кінофільм — 4 способами. Якщо Ольга спочатку відвідає першу виставку, то кінофільм вона може обрати одним із чотирьох способів, тобто має 4 варіанти планування свого вихідного. Якщо ж Ольга спочатку відвідає другу виставку, то кінофільм вона зможе обрати також одним із чотирьох способів. У цьому разі Ольга матиме також 4 варіанти планування свого вихідного. Загалом у неї 2 ∙ 4 = 8 (способів) планування вихідного.

Сформулюємо загальне правило.

Правило множення (для комбінаторних задач). Якщо деякий об’єкт А можна вибрати з даної сукупності об’єктів n способами й після кожного такого вибору об’єкт В можна вибрати m способами, то вибрати пару (А, В) у вказаному порядку можна nm способами.

Чи можна правило множення застосувати до більшої кількості об’єктів? Так.

Задача 4. Скількома способами можна скласти трицифрове число із цифр 1,2, 5?

Розв’язання. Цифра 1 може бути або першою цифрою шуканого числа, або другою, або третьою. Маємо три способи її розміщення в записі числа. Для цифри 2, як і для цифри 5, маємо також по три способи розміщення в записі числа, оскільки цифри в записі числа можуть повторюватися. Отже, одержуємо 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27 трицифрових чисел, які можна скласти із заданих цифр.

Як зміниться результат цієї задачі, якщо додати умову, що всі цифри числа різні? Поміркуємо.

Задача 5. Скількома способами можна скласти трицифрове число із цифр 1,2, 5 за умови, що цифри в числі є різними?

Розв’язання. Цифра 1 може бути або першою цифрою шуканого числа, або другою, або третьою. Маємо три способи її розміщення в записі числа. Для цифри 2 маємо вже два способи її розміщення в записі числа. Для цифри 5 залишається тільки одне вільне місце в записі трицифрового числа. Зрештою одержуємо: 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6. Отже, із заданих цифр трицифрове число, у якому цифри не повторюються, можна скласти шістьма способами.

Зверніть увагу:

якщо об’єкти A1, A2,... Am можна вибрати з даної множини об’єктів відповідно й послідовно n1, n2,... nm способами, тоді вибрати набір об’єктів (A1,..., Аm) можна n1n2∙...∙nm способами.

Якщо кількість шуканих способів комбінування об’єктів невелика, то їх можна виписати методом перебору. Щоб перебрати всі шукані способи й не загубити якийсь із них, варто записувати проміжні результати в таблиці або можна створити дерево можливих варіантів.

Випишемо для прикладу всі шукані числа для задачі 5.

Перший спосіб. Заповнимо таблицю 21. У першому стовпчику таблиці виписуватимемо числа, перша цифра яких 1, у другому — числа, перша цифра яких 2, і в третьому — числа, перша цифра яких 5.

Таблиця 21

125

251

512

152

215

521

Одержали 6 різних чисел.

Другий спосіб. Дерево можливих варіантів — це схема, яка допомагає виявити всі можливі способи комбінування заданих елементів. В один ряд запишемо цифри 1, 2, 5 (мал. 165). Від кожної цифри проведемо по дві гілки (мал. 166), які показують, що перебирати залишилось із 2 елементів. На кінцях гілок підпишемо дві інші цифри. Залишилось перебрати по 1 елементу, тому проводимо по 1 гілці від кожної цифри другого рівня й виписуємо на їхніх кінцях відповідні цифри, що залишилися (мал. 167). Тепер залишилось порахувати кількість цифр у найнижчому, третьому рівні. Їх виявляється 6. Отже, із цифр 1, 2 і 5 можна утворити 6 різних чисел, цифри яких не повторюються.

Мал. 165

Мал. 166

Мал. 167

Зверніть увагу:

у дереві можливих варіантів:

стільки рівнів, скільки задано елементів для комбінування;

на кожному рівні проводять стільки гілок, скільки елементів залишилося перебрати.

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

1. Комбінаторика — розділ математики, присвячений розв’язуванню задач вибору та розміщення елементів деякої, зазвичай скінченної, множини відповідно до заданих правил. Термін «комбінаторика» ввів німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716) у своїй праці «Міркування про комбінаторне мистецтво», яка вийшла друком у 1666 р.

ВільгельмЛейбніц

Комбінаторика використовується в хімії для вивчення різних можливих типів зв’язків атомів у молекулах; у біології, наприклад у процесі знаходження послідовностей амінокислот у білкових сполуках; у кібернетиці при розв’язуванні задач кодування й побудові обчислювальних пристроїв тощо.

2.Під час розв’язування комбінаторних задач часто одержують добуток послідовних натуральних чисел (наприклад, задача 4). Розглянемо ще одну задачу.

Задача 6. Скількома способами можна скласти у школі розклад уроків на один день із семи різних навчальних предметів?

Розв’язання. На перший урок можна поставити один із семи навчальних предметів, на другий — один із шести предметів, на третій — один з п’яти і т. д.

Отже, маємо 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 способів, щоб скласти розклад.

У математиці добуток усіх натуральних чисел від одиниці до n включно, позначають n! і називають факторіалом натурального числа n: n! = 1 2 3 ...n.

Наприклад:

1! = 1,2! = 1 2,

3! = 1 2 3,

7! = 1 2 3 4 5 6 7.

Зверніть увагу:

• приймають, що 0! = 1;

• факторіал є визначеним тільки для цілих невід’ємних чисел;

• загальна кількість перестановок з n різних елементів (тобто способів комбінування, які складаються з n різних елементів і відрізняються лише порядком розміщення цих елементів) дорівнює n!

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Поясніть, які задачі називають комбінаторними.

2. Сформулюйте правило додавання для комбінаторних задач.

3. Сформулюйте правило множення для комбінаторних задач.

4. У чому полягає суть способу перебору розв’язування комбінаторних задач?

РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

622'. Об’єкт М можна вибрати з даної сукупності об’єктів 5 способами, а об’єкт N — 4 способами. З даної сукупності об’єктів треба вибрати або об’єкт М, або об’єкт N. Чи правильно, що кількість варіантів вибору об’єктів можна знайти за:

1) правилом додавання;

2) правилом множення?

623'. Об’єкт М можна вибрати з даної сукупності об’єктів 5 способами, і після кожного такого вибору об’єкт N можна вибрати 4 способами. З даної сукупності об’єктів потрібно вибрати пару (М, N). Чи правильно, що кількість варіантів вибору об’єктів можна знайти за:

1) правилом додавання;

2) правилом множення?

624'. Потрібно виписати всі можливі числа, які утворені цифрами 9, 8, 7, причому всі цифри числа різні. Чи правильно заповнено таблицю 22?

Таблиця 22

987

879

978

988

897

789

625°. У першій урні міститься 10 кульок, а в другій — 8 кульок. Скільки є способів, щоб вийняти одну кульку або з першої урни, або з другої урни?

626°. У першій урні міститься 10 кульок, а в другій — 8 кульок. Скільки є способів, щоб вийняти одну кульку з першої урни, а потім — одну кульку з другої урни?

627°. Є 12 червоних кульок, 18 — зелених і 8 — синіх. Скількома способами можна вибрати:

1) 1 червону або 1 зелену кульку;

2) 1 червону або 1 синю кульку?

628°. Екскурсовод запропонувала учням відвідати або один з 8 музеїв, або один із 4 парків. Скількома способами це можна зробити?

629°. Екскурсовод запропонувала учням відвідати один з 8 музеїв, а потім — один із 3 театрів. Скількома способами це можна зробити?

630°. Для участі в конференції вибирають одного учня із 17 учнів 10-го класу або одного учня з 21 учня 11-го класу. Скількома способами можна вибрати учня для конференції?

631°. Для чергування на різних поверхах школи вибирають двох учнів: одного учня з 30 учнів 10-А класу й одного учня з 25 учнів 10-Б класу. Скільки існує можливих способів формування різних пар чергових із двох учнів для чергування?

632°. Є 5 кольорів для розфарбування п’яти частин орнаменту. Скількома способами можна розфарбувати орнамент, якщо різні частини фарбувати різними кольорами?

633°. Скільки існує чотирицифрових пін-кодів (цифри можуть повторюватися)?

634°. Складіть дерево всіх можливих варіантів розміщення чергових Петренка, Сидоренка, Василенка й Іваненка на чотирьох поверхах школи.

635°. Скільки існує двоцифрових чисел, цифри яких різні?

636°. Скільки існує трицифрових чисел, цифри яких різні?

637°. Скільки трицифрових чисел можна утворити із цифр 3, 1, 6, якщо:

1) усі цифри числа — різні;

2) цифри в числі можуть повторюватися?

638°. Скільки трицифрових чисел можна утворити із цифр 7, 9, 6, якщо:

1) усі цифри числа — різні;

2) цифри в числі можуть повторюватися?

639°. Які трицифрові числа можна записати за допомогою цифр 6, 4 і 2 (цифри в записі чисел не повторюються)? Накресліть у зошиті таблицю 23 та запишіть у ній ці числа.

Таблиця 23

     
     
     

640°. Які трицифрові числа можна записати за допомогою цифр 3, 5 і 6 (цифри в записі чисел не повторюються)? Накресліть у зошиті таблицю 24 та запишіть у ній ці числа.

Таблиця 24

     
     
     

641°. Випишіть усі можливі набори слів миру, усім, людям. Побудуйте дерево можливих варіантів.

642°. Випишіть усі трицифрові числа, які можна записати за допомогою цифр 4, 8 і 7 (цифри в записі чисел не повторюються). Побудуйте дерево можливих варіантів. Скільки рівнів у дереві?

643°. Випишіть усі трицифрові числа, які можна записати за допомогою цифр 5, 1 і 3 (цифри в записі чисел не повторюються). Побудуйте дерево можливих варіантів. Скільки рівнів у дереві?

644°. Випишіть усі можливі способи комбінування фігур , , і . Добудуйте дерево можливих варіантів (мал. 168).

Мал. 168

645°. Наталка вирішила відвідати три виставки: виставку фіалок, виставку виробів ручної роботи й виставку капелюхів. Скількома способами дівчинка може відвідати ці виставки? Побудуйте до задачі дерево можливих варіантів.

646. Скільки існує трицифрових чисел, які діляться на 5?

647. Скільки трицифрових чисел можна скласти із цифр 1,2 i 0?

648. Скільки трицифрових чисел можна скласти із цифр 7, 2 і 5 так, щоб першою цифрою була цифра 2?

649. Скільки трицифрових чисел можна утворити із цифр 2, 5 і 6, якщо цифри числа різні й число є:

1) парним;

2) кратним числу 5?

650. Скільки трицифрових чисел можна утворити із цифр 4, 5 і 0, якщо цифри числа різні й число є:

1) непарним;

2) кратним числу 5;

3) кратним числу 10?

651. Скільки трицифрових чисел можна утворити із цифр 2, 3 і 0, якщо цифри числа можуть повторюватися й число є:

1) парним;

2) кратним числу 10?

652. Скільки трицифрових чисел можна утворити із цифр 4, 5, 6 і 0, якщо цифри числа різні й число є:

1) парним;

2) кратним числу 5;

3) кратним числу 10?

653. Скільки трицифрових чисел можна утворити із цифр 7, 2, 3 і 0, якщо цифри числа можуть повторюватися й число є:

1) парним;

2) кратним числу 10?

654. Скільки чотирицифрових чисел можна утворити з непарних цифр, якщо:

1) усі цифри числа — різні;

2) цифри в числі можуть повторюватися?

655. Самостійна робота з математики містить одне рівняння й одну задачу. Скільки варіантів самостійної роботи з математики можна скласти із 7 рівнянь і 5 задач?

656. Скількома способами можуть бути розподілені 1, 2 й З місця, за умови, що в змаганнях беруть участь 8 команд?

657. Щоб набрати чотирицифровий пін-код, потрібно дві секунди. Скільки секунд знадобиться для того, щоб набрати всі можливі коди? Відомо, що всі цифри пін-коду різні.

658. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок із шести уроків.

659. Скількома способами можна скласти список з п’яти учнів?

660. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок із шести уроків так, щоб алгебра й геометрія стояли в розкладі поруч?

661. Скількома способами можна скласти список з п’яти учнів так, щоб прізвища Петренко й Василенко стояли в списку поруч?

662. Скільки діагоналей можна провести в:

1) шестикутнику;

2) десятикутнику?

663. У змаганні брало участь 8 команд. Кожна команда грала з усіма іншими командами одну гру. Скільки всього ігор було зіграно?

664. У змаганні брало участь n команд. Кожна команда грала з усіма іншими командами одну гру. Скільки всього ігор було зіграно?

665*. Скільки діагоналей можна провести в n-кутнику?

666*. Скільки п’ятицифрових чисел можна скласти із цифр 4, 2, 3, 8 і 0, якщо на місці тисяч може стояти цифра 2 або цифра 3, а на місці десятків — цифра 2 або цифра 4?

667*. Скільки трицифрових чисел, кратних числу 3, можна скласти із цифр 1, 2, 3, 5 і 8? Розв’яжіть задачу, якщо:

1) усі цифри числа різні;

2) цифри числа можуть повторюватися.

668*. Скільки натуральних дільників має число:

1) 22 ∙ 65;

2) 95 ∙ 73 ∙ 8?

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

669. З Києва до Одеси можна дістатися літаком, потягом, автобусом або автомобілем. Скількома способами можна дістатися з Києва до Одеси й повернутися назад, якщо для подорожі:

1) можна скористатися різними видами транспорту;

2) види транспорту можуть бути однаковими?

670. Петро забув код до вхідних дверей, який складається із 4 різних цифр. Він пам’ятає, що остання цифра є парною, а першою є цифра 9. Скільки способів комбінування цифр йому доведеться перебрати, щоб відкрити двері?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

671. Старовинна задача. Дехто підійшов до клітки, у якій сидять фазани та кролики. Він порахував їх голови, їх виявилося 15. Потім він підрахував їх ноги, їх було 42. Скільки кроликів і скільки фазанів було в клітці? Розв’яжіть цю задачу. Складіть аналогічну задачу та розв’яжіть її.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити