Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 4 ОСНОВИ КОМБІНАТОРИКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА СТАТИСТИКИ

§ 17. ПОЧАТКОВІ ВІДОМОСТІ ПРО СТАТИСТИКУ. СПОСОБИ ПОДАННЯ ДАНИХ ТА ЇХ ОБРОБКИ

1. ЗБИРАННЯ СТАТИСТИЧНИХ ДАНИХ. ГЕНЕРАЛЬНА СУКУПНІСТЬ І ВИБІРКА

Однією з наук, що займається збиранням, систематизацією та обробкою даних, є статистика, з якою ми починаємо ознайомлюватися.

Статистика — наука, що збирає, обробляє й аналізує кількісні дані про найрізноманітніші масові явища та події навколишнього світу. Такі дані одержують під час проведення досліджень. Важливою властивістю статистичних даних є їхня масовість.

Першим етапом будь-якого дослідження є статистичне спостереження, тобто збирання інформації в ході проведення масових спостережень, опитувань, експериментів.

Статистичне спостереження — це сплановане, науково організоване збирання статистичних даних про будь-яке масове явище або процес. Прикладами збирання даних унаслідок таких спостережень є ведення шкільного щоденника або класного журналу. Із щоденника можна одержати дані про успішність окремого учня, а з класного журналу — всього класу.

Чи завжди дані про успішність у щоденнику та класному журналі збігаються? Якщо ви вважаєте, що ні, то поясніть можливі причини появи відмінностей.

Найпоширенішим видом статистичних спостережень є вибіркове спостереження. У ході такого дослідження розглядають не всю сукупність явищ, об’єктів чи процесів, які хотіли б вивчити, а лише деяку їх частину. Таку частину, відібрану в особливий спосіб, називають вибіркою. Усю сукупність явищ або об’єктів, з якої роблять вибірку, називають генеральною сукупністю. Елементами генеральної сукупності можуть бути люди, неживі предмети, природні явища тощо. У кожному конкретному дослідженні генеральна сукупність залежить від тих цілей, які ставлять у дослідженні.

Наприклад, при визначенні рейтингу телевізійної передачі практично неможливо з’ясувати думку всіх телеглядачів, які становлять генеральну сукупність дослідження. Тому проводять вибіркове обстеження лише її малої частини, яка становить вибірку. Число об’єктів генеральної сукупності та вибірки називають відповідно обсягом генеральної сукупності (N) та обсягом вибірки (n). Наприклад, якщо для дослідження з 20 млн глядачів відібрали 2000 осіб, то обсяг генеральної сукупності N = 20 000 000, а обсяг вибірки n = 2000.

Зверніть увагу:

вибірка має такі характеристики:

• якісну (способи побудови вибірки);

кількісну (обсяг вибірки).

Перед початком статистичної обробки даних їх систематизують. Від людей, предметів або явищ переходять до рядів чисел. Із цієї точки зору вибіркою можна вважати набір даних (найчастіше числових), одержаних у результаті статистичного спостереження. Такий набір називають статистичним рядом.

За типом представлених у них даних статистичні ряди можна розділити на числові та нечислові. Наприклад, вік респондентів є числовим рядом, а їхня стать або освіта — нечисловим.

Розглянемо ситуацію.

Ситуація. Потрібно проаналізувати результати контрольної роботи з математики в 9-А класі. Для цього випишемо одержані учнями бали, тобто утворимо статистичний ряд балів:

8, 10, 4, 7, 8, 6, 5, 7, 11, 9, 10, 8, 6, 8, 9, 11, 8, 6, 7, 9, 11, 7, 9.

Бачимо, що обсяг цієї вибірки n = 23, бали варіюються від 4 до 11. З одержаного статистичного ряду можна виокремити й інші дані про результати контрольної роботи, зокрема про кількість тих чи тих балів.

Для полегшення роботи з одержаними даними їх упорядковують. У статистиці впорядкування даних, одержаних у вибірці, називають ранжуванням, а впорядкований за зростанням статистичний ряд — варіаційним рядом. Наприклад, варіаційний ряд балів за контрольну роботу з математики в 9-А класі є таким:

4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11.

Варіаційний ряд дозволяє відповісти на багато запитань, які залишаються «прихованими» всередині звичайного статистичного ряду: побачити мінімальне й максимальне значення ряду; оцінити, які значення повторюються частіше, тощо. Проте якщо вибірка має великий обсяг, то зручніше використовувати статистичні таблиці. У таблицях дані подаються компактно, у зручній для порівняння й аналізу формі. Наприклад, у таблиці 26 подано бали, одержані за контрольну роботу, та відповідну кількість учнів, які одержали ці бали.

Таблиця 26

Бали

4

5

6

7

8

9

10

11

Кількість учнів

1

1

3

4

5

4

2

3

Зібрані та систематизовані статистичні дані мають бути проаналізовані. Для цього в статистиці використовують різні показники.

2. ЧИСЕЛЬНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИБІРКИ

До чисельних характеристик вибірки відносять: середнє значення, моду та медіану.

Позначають: — середнє значення вибірки; Мо — мода вибірки; Ме — медіана вибірки.

Середнім значенням вибірки х1, х2,..., хn називають середнє арифметичне всіх членів даного ряду, тобто

У більшості реальних ситуацій саме середнє арифметичне несе важливу інформацію про певне явище, об’єкт чи процес. Достатньо пригадати вирази «середній бал», «середня зарплата», «середній дохід», які є знайомими й зрозумілими більшості людей, далеких від математики.

Визначимо середнє значення вибірки балів («середній бал») за контрольну роботу з математики в 9-А класі:

Мода (Мо) вибірки — це значення вибірки, яке трапляється у варіаційному ряді найчастіше.

Визначимо моду для вибірки балів за контрольну роботу з математики в 9-А класі. За відповідним варіаційним рядом або за таблицею 17.1 можна побачити, що найчастіше трапляється значення «8 балів». Таку кількість балів одержало найбільше учнів.

Отже, Мо = 8.

Чи для кожного статистичного ряду існує мода? Ні. На відміну від середнього значення, яке можна обчислити для будь-якого скінченного числового ряду, ряд, у якому різні значення трапляються однакову кількість разів, не має моди. Наприклад, ряд 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7 не має моди, тоді як ряд 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7 має моду Мо = 4.

Медіана (Ме) вибірки — це число, яке «поділяє» упорядковану сукупність усіх значень вибірки на дві рівні частини.

Медіана є таким числом варіаційного ряду, яке розміщується точно посередині цього ряду.

Визначимо медіану для вибірки балів за контрольну роботу з математики в 9-А класі:

4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10.

Обсяг даної вибірки є непарним числом: n = 23. Тому перед медіаною й після неї мають стояти по 11 чисел. У даному ряді таким є число 8. Отже, Ме = 8.

Якщо вибірка містить парну кількість членів, то медіану визначають як пів суму двох його середніх значень. Наприклад, для вибірки, обсяг якої n = 10, одержуємо: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10, тому Ме = = 6,5.

Яка з характеристик краще описує особливості ряду: середнє значення, мода чи медіана? Відповісти на це запитання однозначно не можна — у кожному конкретному випадку це може бути будь-яка з них. Розглянемо приклади.

Задача 1. Богдан виписав свої бали за тему «Числові послідовності»: 9, 8, 10, 9, 9, 10, 10, 11, 10, 10, 8, 11.

Якою буде підсумкова оцінка за тему?

Розв’язання. Бали за тему утворюють статистичний ряд. Для його дослідження ряд доцільно впорядкувати, тобто одержати варіаційний ряд: 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11. Обсяг вибірки: n = 12.

Визначимо середнє значення вибірки:

Саме це число, швидше за все, буде головним орієнтиром для вчителя під час визначення підсумкової оцінки Богдана за тему.

Зверніть увагу: середнє значення ряду може не збігатися з жодним з його елементів.

У розглядуваній задачі середній бал дорівнює 9,6, хоча всі оцінки є цілими числами.

Визначимо моду вибірки: Мо = 10.

Незважаючи на те, що середнє значення не доходить до 10, мода свідчить на користь підсумкової оцінки 10, адже саме таку оцінку учень одержував найчастіше протягом вивчення теми. Отже, підсумкова оцінка за тему — 10 балів.

3. СПОСОБИ ПОДАННЯ ДАНИХ. ДІАГРАМИ

Ми вже пересвідчилися, що зібрану інформацію або одержані дані зручно подавати в таблицях. Наприклад, дані задачі 1 можна подати в таблиці 27.

Таблиця 27

Бали

8

9

10

11

Кількість оцінок

2

3

5

2

Також доцільно застосовувати діаграми.

Діаграма — це графічне зображення, що наочно показує співвідношення будь-яких величин. Як унаочнення статистичних даних використовують стовпчасті та кругові діаграми.

На стовпчастій діаграмі за горизонталлю відкладають різні значення однієї ознаки, а над кожним таким значенням малюють стовпчик, висота якого дорівнює відповідному значенню іншої ознаки. Такі діаграми особливо наочно показують кількісні співвідношення між величинами. Наприклад, стовпчасту діаграму до задачі 1 наведено на малюнку 171.

Мал. 171

Стовпчасті діаграми, у яких немає розривів між стовпцями, у статистиці називають гістограмами.

Кругова діаграма являє собою круг, розрізаний на сектори пропорційно до значень досліджуваної ознаки. Щоб побудувати кругову діаграму, потрібно поділити все коло на дуги так, щоб їхні довжини (або відповідні їм центральні кути) перебували в тому самому відношенні, що й представлені на діаграмі величини. Наприклад, кругову діаграму до задачі 1 подано на малюнку 172.

Мал. 172

Яка діаграма є кращою? Найчастіше різні види діаграм взаємозамінні, а ті самі статистичні дані можна подати на різних діаграмах. Проте можна визначити, що стовпчасті діаграми зручно використовувати для порівняння абсолютних значень досліджуваної ознаки, а кругові діаграми — для випадків, коли потрібно показати, у якій пропорції ціле ділиться на частини.

Діаграми потрібно вміти не тільки правильно будувати, а й правильно читати, тобто сприймати укладену в них інформацію. Для цього необхідно визначити тип діаграми; з’ясувати, які величини на ній показані та скільки їх; що відкладено по кожній з осей; які обрано одиниці вимірювання; які умовні позначення використовували.

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

1. Математична статистика пов’язана з більш тонкими дослідженнями — оцінкою невідомих параметрів, перевіркою гіпотез, вивченням статистичних зв’язків і залежностей.

Крім того, у статистиці виділяють багато галузей, пов’язаних з тією сферою життя, з якої одержано статистичні дані. Економічна статистика вивчає зміни цін, попиту та пропозиції на товари, прогнозує зростання й падіння виробництва та споживання. Медична статистика вивчає ефективність різних ліків і методів лікування, ймовірність виникнення деякого захворювання залежно від віку, статі, спадковості, умов життя, шкідливих звичок людей, прогнозує поширення епідемій. Демографічна статистика вивчає народжуваність, чисельність населення, його склад (віковий, національний, професійний). А є ще статистика фінансова, податкова, біологічна, метеорологічна.

2. Крім стовпчастих і кругових діаграм, у статистиці використовують й інші способи графічного подання даних. Наприклад, дані задачі 1 можна подати на лінійчатій діаграмі (мал. 173), графіку (мал. 174), пелюстковій діаграмі (мал. 175) тощо.

Мал. 173

Мал. 174

Мал. 175

Іншою основою для поділу на види способів графічного подання даних є їхній зміст. За цією основою їх поділяють на: діаграми порівняння, структурні діаграми, динамічні діаграми, графіки зв’язку, графіки контролю тощо.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Що досліджує статистика?

2. Що таке генеральна сукупність; вибірка?

3. Назвіть характеристики вибірки.

4. Що таке середнє значення вибірки?

5. Що таке мода вибірки?

6. Що таке медіана вибірки?

7. Які є способи подання даних?

РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

705'. Чи правий Дмитро, стверджуючи:

1) «Вибірка — це генеральна сукупність»;

2) «Вибірка — це частина генеральної сукупності»;

3) «Вибірка — це частина генеральної сукупності, відібрана в спеціальний спосіб»?

706'. Чи правильно, що середнє значення вибірки — це:

1) середнє арифметичне всіх значень вибірки;

2) значення вибірки, яке трапляється найчастіше;

3) число, яке «поділяє» вибірку на дві рівні частини?

707'. Чи правильно, що мода вибірки — це:

1) середнє арифметичне всіх значень вибірки;

2) значення вибірки, яке трапляється найчастіше;

3) число, яке «поділяє» вибірку на дві рівні частини?

708'. Чи правильно, що медіана вибірки — це:

1) середнє арифметичне всіх значень вибірки;

2) значення вибірки, яке трапляється найчастіше;

3) число, яке «поділяє» вибірку на дві рівні частини?

709'. Чи правильно, що для вибірки 1; 2; 3; 4; 5; 5; 6:

710°. Назвіть генеральну сукупність і вибірку в статистичних спостереженнях:

1) результати ЗНО з математики;

2) вибір професії старшокласниками.

711°. Назвіть генеральну сукупність і вибірку в статистичних спостереженнях:

1) вибір інженерних спеціальностей випускниками шкіл;

2) вибір здорового способу життя молоддю України.

712°. Які статистичні дані про кожного учня, крім його оцінок, записують у класному журналі?

713°. Як ви думаєте, кого в Україні більше — чоловіків чи жінок? Відповідь на це запитання міститься на малюнку 176.

З’ясуйте, кого у вашій школі більше — хлопців чи дівчат.

714°. Відповідно до системи АВО, запропонованої на початку минулого століття К. Ландштейнером, виділяють чотири групи крові, які відрізняються за складом: 0 — перша; А — друга; В — третя; АВ — четверта. У таблиці 28 наведено дані розподілу населення України за групою крові.

Мал. 176

Таблиця 28

0

A

B

AB

37 %

40 %

17 %

6 %

За даними таблиці з’ясуйте:

1) яка група крові трапляється найчастіше;

2) яка група крові трапляється найрідше.

715°. Упродовж тижня Дмитро вимірював час, за який він виконував домашнє завдання. Одержав такі дані: 2 год, 1,5 год, 1,8 год, 1,2 год, 2,5 год. Знайдіть середній час виконання Дмитром домашнього завдання цього тижня.

716°. У продовж тижня Тетяна чотири рази відвідувала художню школу. Час занять становив: 1,3 год, 2 год, 1 год, 0,5 год відповідно. Знайдіть середній час заняття цього тижня.

717°. Знайдіть середнє значення, моду, медіану ряду чисел: 2; 4; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 1; 6; 2; 4; 5; 6; 4.

718°. Знайдіть середнє значення, моду, медіану ряду чисел: 5; 2; 4; 2; 5; 3; 4; 5; 5; 6.

719°. У таблиці 29 наведено дані про кількість деталей, виготовлених робітниками за один робочий день.

Таблиця 29

Кількість деталей за день

18

19

20

21

22

Кількість робітників

2

10

8

4

1

За цими даними знайдіть:

1) середнє значення;

2) моду;

3) медіану.

720°. У таблиці 30 наведено дані про віковий склад учасників шкільного хору.

Таблиця 30

Вік

(роки)

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Кількість

учасників

4

2

6

5

4

5

4

2

2

1

За цими даними знайдіть:

1) середнє значення;

2) моду;

3) медіану.

721°. У таблиці 31 наведено витрати родини Терещенків на харчування упродовж тижня.

Таблиця 31

День тижня

Пн

Вт

Ср

Чт

Пт

Сб

Нд

Витрати,грн

124

106

100

102

94

128

151

Визначте середньодобову витрату коштів на харчування в родині Терещенків.

Побудуйте діаграму витрат родини за тиждень.

722°. У таблиці 32 показано кількість відвідувачів фотовиставки «З Україною в серці» в різні дні тижня.

Таблиця 32

День тижня

Пн

Вт

Ср

Чт

Пт

Сб

Нд

Кількість відвідувачів

241

547

342

402

вихідний

704

854

Визначте середньодобову кількість відвідувачів фотовиставки.

Побудуйте діаграму відвідування виставки за тиждень.

723. У числовому ряді 4; 10; 18; х; 26; 30 пропущено число х. Знайдіть число х, якщо середнє значення ряду дорівнює 18.

724. У числовому ряді 9; 16; 25; у; 40 пропущено число у. Знайдіть число у, якщо середнє значення ряду дорівнює 24.

725. Дано варіаційний ряд чисел: 6; 7; 8; х; 9; 10. За яких значень х: 1) мода буде дорівнювати 9; 2) медіана буде дорівнювати 8?

726. Дано варіаційний ряд чисел: 20; 21; у; 23; 24; 26. За яких значень у: 1) мода буде дорівнювати 23; 2) медіана буде дорівнювати 22?

727. Розклад уроків визначає розпорядок роботи будь-якого навчального закладу. У кожній школі ця таблиця займає головне місце. За розкладом уроків у своєму класі складіть статистичний ряд предметів, які вивчають у 9 класі. Визначте моду цього ряду. Побудуйте діаграму.

728. У таблиці 33 наведено результати навчальних досягнень учнів 9-А класу за семестр із деяких предметів.

Таблиця 33

Учень

Алгебра

Геометрія

Фізика

Хімія

Антоненко В.

8

7

9

8

Бондаренко Е.

10

10

10

11

Василенко І.

5

4

6

5

Денисюк С.

9

8

7

7

Карась Д.

9

8

9

8

Коваленко О.

10

9

10

10

Левицька А.

7

6

7

7

Степанець М.

9

8

9

8

Ясінська К.

11

10

11

10

За даними таблиці: 1) знайдіть середнє значення, моду та медіану результатів з алгебри; 2) знайдіть середнє значення, моду та медіану результатів з геометрії; 3) побудуйте діаграму навчальних досягнень з алгебри та геометрії.

729. За даними таблиці 33: 1) знайдіть середнє значення, моду та медіану результатів з фізики; 2) знайдіть середнє значення, моду та медіану результатів з хімії; 3) побудуйте діаграму навчальних досягнень з фізики та хімії.

730. На діаграмі (мал. 177) подано кількість робочих днів (за місяцями) в Україні в 2016 й 2017 роках.

Мал. 177

За діаграмою: 1) установить кількість робочих днів за кожний рік; 2) порівняйте кількість робочих днів узимку за ці роки; 3) порівняйте кількість робочих днів навесні та восени у 2016 році.

Чи можна встановить кількість вихідних днів у 2017 році?

731. На діаграмі (мал. 178) подано дані щодо кількості квартир у трьох будинках: однокімнатних, двокімнатних і трикімнатних.

Мал. 178

За діаграмою:

1) установіть кількість квартир у кожному будинку;

2) установіть кількість однокімнатних квартир у трьох будинках разом;

3) порівняйте загальну кількість двокімнатних і трикімнатних квартир.

732. На телеканалі «Рось» провели дослідження щодо розподілу ефірного часу між різними типами програм. Було одержано такі дані: новини — 15 %, кінофільми та серіали — 50 %, спортивні програми — 7 %, науково-пізнавальні програми — 3 %, музичні програми — 15 %, дитячі передачі — 10 %. Складіть варіаційний ряд вибірки. Знайдіть середнє значення, моду та медіану ряду. Побудуйте стовпчасту та кругову діаграми.

733. Режим дня школяра в обов’язковому порядку передбачає на добу: повноцінне харчування — 2 год; навчання — 8 год; фізичні навантаження — 1 год; відпочинок і прогулянки — 4 год; сон — 9 год. Складіть варіаційний ряд вибірки. Знайдіть середнє значення, моду та медіану ряду. Побудуйте стовпчасту та кругову діаграми.

734. Провели опитування учнів 9-го класу про їхній зріст. Були одержані такі дані (у сантиметрах): 166, 165, 162, 168, 165, 170, 165, 165, 165, 164, 168, 169, 168, 166, 170, 165, 163, 168, 171, 174. Складіть варіаційний ряд вибірки.

Знайдіть середнє значення, моду та медіану цього ряду.

735. Провели опитування учнів 9-го класу щодо кількості дітей у їхніх родинах. Були одержані такі дані: 1, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 6, 3. Складіть варіаційний ряд вибірки. Знайдіть середнє значення, моду та медіану цього ряду.

736*. Середнє арифметичне деякого ряду даних, що складається з 8 чисел, дорівнює 16. До цього ряду приписали числа 15 і 17. Чому дорівнює середнє арифметичне нового ряду чисел?

737*. Кожне число варіаційного ряду збільшили на 10. Як змінилося його:

1) середнє значення;

2) мода;

3) медіана?

738*. Кожне число варіаційного ряду збільшили у 2 рази. Як змінилося його:

1) середнє значення;

2) мода;

3) медіана?

739. Зберіть дані про дні народження однокласників. Проаналізуйте їх і дайте відповідь на запитання:

1) хто у вашому класі найстарший;

2) хто — наймолодший;

3) чи є в класі учні, у яких збігаються дні народження?

740. Проведіть колективне дослідження про те, які жіночі та чоловічі імена є найбільш популярними:

1) для вашого покоління;

2) для покоління ваших батьків;

3) для покоління ваших дідусів і бабусь.

За результатами опитування складіть рейтинг жіночих і чоловічих імен.

741. Проведіть у своїй школі опитування про улюблені шкільні предмети. Складіть на його основі рейтинг шкільних предметів. З’ясуйте, чи спостерігається залежність цього рейтингу від віку школярів.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

742. Розв’яжіть рівняння:

743. Спростіть вираз:

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Поясніть, які задачі називають комбінаторними.

2. Сформулюйте правило додавання для комбінаторних задач.

3. Сформулюйте правило множення для комбінаторних задач.

4. Яку подію називають випадковою? достовірною? неможливою?

5. Які події називають несумісними? рівноможливими?

6. Що таке ймовірність події? Як її позначають?

7. Як знайти ймовірність події?

8. Що таке частота випадкової події?

9. Що досліджує статистика?

10. Що таке генеральна сукупність; вибірка?

11. Як обчислити середнє значення вибірки; моду вибірки; медіану вибірки?

12. Які є способи подання даних?

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

Уважно прочитайте задачі та знайдіть серед запропонованих відповідей правильну. Для виконання тестового завдання потрібно 10 - 15 хв.

1° Якою буде семестрова оцінка Тетянки з хімії, якщо тематичні оцінки були такими: 9, 10, 8, 11, 11?

А. 8.

Б. 9.

В. 10.

Г. 11.

2° У класі навчаються 16 хлопців і 14 дівчат. На зборах класу учні обрали старосту. Яка ймовірність того, що це хлопець?

А. .

Б. .

В. .

Г. 1.

3° Знайдіть моду і медіану ряду чисел: 15, 14, 13, 13, 14, 13, 16.

А. 13 і 13.

Б. 13 і 14.

В. 14 і 14.

Г. 14 і 13.

4. Яка ймовірність того, що парне двоцифрове число буде ділитися на 8?

А. .

Б. .

В. .

Г. .

5* Скільки чотирицифрових парних чисел можна утворити із цифр 3, 6, 8, 9, 0, якщо всі цифри числа — різні?

А. 36.

Б. 72.

В. 120.

Г. 60.

ГОТУЄМОСЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 1

ЧИСЛОВІ НЕРІВНОСТІ. НЕРІВНОСТІ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ. ЧИСЛОВІ ПРОМІЖКИ

1. Чи може значення виразу 2b - 2а, якщо а <b, дорівнювати:

1) 4;

2) -4;

3) 0;

4) -(-0,1)4?

Розв’язання.

1) Оскільки а <b, то b> а. Тоді 2b - 2а = 2(b - а) > 0. А це означає, що значення виразу 2b - 2а може дорівнювати числу 4.

2. Дано: - а2,5. Оцініть значення виразу:

Розв’язання

1) За умовою задачі, - а 2,5. Помножимо обидві частини даної подвійної нерівності на додатне число 3. Знак нерівності при цьому не зміниться (теорема 3): - 3 ≤ 2,5 ∙ 3, звідси -27,5. Далі додамо до обох частин нерівності число 2. Знак нерівності при цьому не зміниться (теорема 2): -2 + 2 3а + 2 7,5 + 2, звідси 0 3а + 2 9,5.

3. Знайдіть об’єднання та переріз проміжків:

1) [-2; 0) і (-1; 3];

2) [-3; 1,5] і [1,5; 2];

3) (-1; + ) і (3; 10) ;

4) [3; + ) і (-2; 2].

Розв’язання

1) [-2; 0) (-1; 3] = [-2; 3;

2) [-2; 0) (-1; 3] = (-1; 0].

4.Чи існують такі значення n, за яких:

Розв’язання

1) Перетворимо даний вираз:

Оскільки

за будь-яких значень n, то -

за будь-яких значень n. Отже, не існує таких значень n, за яких значення данного виразу було б додатним.

ГОТУЄМОСЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 2

ЛІНІЙНІ НЕРІВНОСТІ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ.

1. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання

1) Виконаємо рівносильні перетворення нерівності:

2 (х -1)-3х > 3 + х,

2х - 2 - 3х > 3 + х,

2х -3х -х >3 + 2,

-2х > 5|: (-2) ,

х <-2,5.

Отже, х (-∞; -2,5 .

2. Розв’яжіть систему нерівностей:

Розв’язання

1) Спочатку виконаємо рівносильні перетворення кожної нерівності системи:

Як бачимо, нерівності даної системи не мають спільних розв’язків.

Отже, відповідь запишемо так: 0.

3. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання

1) Дана нерівність є нерівністю виду|f(х)| а, де а — додатне число, яка рівносильна подвійній нерівності -а f (х) а, тобто -2 2 - х 2. Виконаємо рівносильні перетворення: -2 - 2 2 - 2, -4 0|(-1) , 0 х 4. Отже, множиною розв’язків нерівності |2-х|2 є проміжок: [0;4].

4. Доведіть нерівності:

— будь-які числа;

Розв’язання

1) Доведемо нерівність 4(а3 + b3 )(а + b)3, де а > 0, b> 0.

Розглянемо різницю лівої й правої частин нерівності та визначимо знак цієї різниці:

За умовою, а > 0, b> 0, тобто а + b> 0. Оскільки (а - b)2 0 для будь-яких а і b, то 3(а + b)(а - b)2 0. Це означає, що 4(a3 + b3 )-(а + b)3 0 , звідси 4(a3 + b3 ) (а + b)3, що й треба було довести.

ГОТУЄМОСЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 3

ФУНКЦІЇ. ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЙ

Для функцій y= f(x), графіки яких подано на малюнках 179-184, знайдіть:

1) значення функції, якщо x= -1;

2) область визначення функції; область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки зростання; проміжки спадання.

Мал. 179

Мал. 180

Мал. 181

Мал. 182

Мал. 183

Мал. 184

Малюнок 179. Розв’язання.

1) Якщо х = -1, то у = 2. Отже, у(-1) = 2;

2) D(f) = (-5; 10], Е(f) = [1; 4];

3) функція не має нулів;

4) функція зростає на проміжку [0; 5], а спадає на проміжках (-5; 0] і [5; 10].

ГОТУЄМОСЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 4

КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

Дано функції:

1) у = 2х2 - 4х + 5;

2) у = х2 - 7;

3) у = -х2 + 6х - 4;

4) у = 0,5х2 + 4х;

5) у = - 2х2 + 4х - 7;

6) у = 3х2 + 12х.

Знайдіть:

а) значення функції, якщо х = -2;

б) координати вершини параболи;

в) область значень функції;

г) проміжки зростання; проміжки спадання.

Розв’язання

а) Підставляємо х = -2 у формулу, що задає функцію: у = 2х2 - 4х + 5. Тоді одержуємо: у(-2) = 2(-2)2 - 4(-2) + 5 = 21.

Отже, у(-2) = 21.

б) Знайдемо координати вершини параболи.

Тоді у0 = 2 12 - 4 ∙ 1 + 5 = 3. Точка (1; 3) — вершина параболи.

в) Оскільки (1; 3) — вершина параболи, а вітки параболи напрямлені вгору, то область значень функції Е(f) = [3; +).

г) Якщо вітки параболи напрямлені вгору, то функція зростає на проміжку [1; ), а спадає на проміжку (-; 1].

ГОТУЄМОСЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 5

СИСТЕМИ ДВОХ РІВНЯНЬ ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ. ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ

1. Розв’яжіть графічно систему рівнянь із двома змінними:

Розв’язання

1) Розв’язання. У кожному рівнянні виразимо у через х:

Графіком рівняння у = -х є пряма.

х

0

-4

у

0

4

Графіком рівняння у = х2 є парабола.

Мал. 185

х

-2

-1

0

1

2

у

4

1

0

1

2

Побудуємо графік кожного з рівнянь системи в одній системі координат (мал. 185).

Пряма й парабола перетинаються в точках А(-1; 1) і B(0; 0).

Отже, розв’язком системи

є дві пари чисел: (-1; 1)і (0; 0).

Відповідь: (-1; 1) і (0; 0).

2.   Розв’яжіть систему рівнянь із двома змінними:

Розв’язання

Якщо у = 1, то х = 2 - у = 2 - 1 = 1.

Отже, система рівнянь має розв’язок: (1; 1). Відповідь: (1; 1).

3. Одне із чисел на 2 більше за друге. Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює:

1) 80;

2) 120;

3) 255;

4) 360.

Розв’язання

1) Нехай х — перше число, а у — друге число.

За умовою, одне із чисел на 2 більше за друге число. Складаємо перше рівняння: х - у = 2.

Добуток чисел дорівнює 80. Складаємо друге рівняння: ху = 80.

Одержали систему рівнянь:

Розв’яжемо систему рівнянь:

Якщо у1 = 8, то х1 = 8 + 2 = 10;

якщо у2 = -10, то х2 = -10 + 2 = -8.

Отже, система рівнянь має два розв’язки: (10; 8) і (-8; -10). Відповідь: це числа 10 і 8 або -8 і -10.

4. Розв’яжіть задачу.

1) Із пункту А до пункту В одночасно виїхали два автомобілі. Швидкість одного з автомобілів була на 10 км/год більша за швидкість другого, тому він прибув до пункту В на 1 год раніше. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо відстань між пунктами 720 км.

2) Із пункту А до пункту В, відстань між якими становить 560 км, відправився автомобіль. Автомобіль їхав зі швидкістю на 10 км/год меншою, ніж було заплановано, тому прибув до пункту В на 1 год пізніше. З якою швидкістю їхав автомобіль?

Розв’язання

1) Нехай х — швидкість першого автомобіля й у — швидкість другого автомобіля.

За умовою, швидкість першого автомобіля на 10 км/год більша за швидкість другого автомобіля. Складаємо перше рівняння: х - у = 10.

Для складання другого рівняння заповнимо таблицю 34.

Таблиця 34

За умовою, перший автомобіль долає шлях на 1 год швидше, ніж другий автомобіль. Складаємо друге рівняння:

- = 1.

Одержали систему рівнянь:

Розв’яжемо систему рівнянь:

ОДЗ: у 0, у -10.

Перевіркою встановлюємо, що обидва числа входять до ОДЗ, а отже, є коренями рівняння. Але число -90 не задовольняє умову задачі.

Якщо у = 80, то х = у + 10 = 80 + 10 = 90.

Одержали, що х = 90 і у = 80. Отже, швидкість першого автомобіля становить 90 км/год, а швидкість другого — 80 км/год.

Відповідь: швидкість першого автомобіля становить 90 км/год, а швидкість другого — 80 км/год.

ГОТУЄМОСЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 6

ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

1. Знайдіть другий член послідовності, яку задано:

1) формулою n-го члена аn = 3n - 1;

2) формулою n-го члена bn = -2 ∙ 3n;

3) рекурентною формулою: а1 = 2, аn+1 = аn + 3;

4) рекурентною формулою: b1 = -12, bn+1 = аn∙ 2.

Розв’язання

1)  Знайдемо другий член послідовності. Для цього застосуємо формулу аn = 3n - 1, тоді:а2 = 3 ∙ 2 - 1= 5.

Відповідь: 5.

Послідовність (аn) — арифметична прогресія, а1 = 2,5, d = 1,5. Знайдіть:

1) а16;

2) а25;

3) а101;

4) аn.

Розв’язання

1) Застосуємо формулу n-го члена арифметичної прогресії аn = а1 + (n - 1)d, тоді:

а16 = а1 + 15d = 2,5 +15 ∙ 1,5 = 2,5 + 22,5 = 25.

Відповідь: 25.

3. Знайдіть суму десяти перших членів арифметичної прогресії (а ), якщо:

1) (аn) : 5; 9; 13;...;

2) а1 = -2 і d = 6;

3) а1 = 10 і а10 = -17;

4) а3 = 8 і а5 = 20.

Розв’язання

1) Для даної арифметичної прогресії:

а1 = 5 і d = а2 - а1 = 9 - 5 = 4.

Тепер обчислимо суму 10-ти перших членів. Для цього скористаємося формулою суми n перших членів арифметичної прогресії через а1 і d :

Відповідь: 230.

Послідовність (bn) — геометрична прогресія, b1 = 16, q = 1. Знайдіть:

1) b4;

2) b5;

3) b8;

4) bn

Розв’язання

1) Застосуємо формулу n-го члена геометричної прогресії:bn = bqn-1:

Відповідь: 2.

5. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії (bn), якщо:

1) (bn) : 5; 10; 20;...;

2) b1 = -2 і q = 3;

3) b1 = 0,5 і b5 = 8;

4) b2 = -4 і b4 = -16.

Розв’язання

1) Для даної геометричної прогресії:

b1 = 5 і q = b2 : b1 = 10 : 5 = 2.

Тепер обчислимо суму 5-ти перших членів. Для цього скористаємось формулою суми n перших членів геометричної

прогресії через b1 і q:

Відповідь: 155.

ГОТУЄМОСЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 7

ОСНОВИ КОМБІНАТОРИКИ, ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА СТАТИСТИКИ

1. У 7-му класі навчається 23 учні, у 8-му класі — 22 учні, у 9-му й 10-му класах — по 25 учнів, в 11-му класі — 20 учнів. Скількома способами можна утворити команду для участі в змаганнях, якщо до команди мають увійти:

1) один учень старшої школи й один учень основної школи;

2) один учень із 10-го класу й один учень із 11го класу;

3) один учень із 8-го класу й один учень із 9-го класу;

4) по одному учню з 7-9-х класів;

5) один учень з 10-го класу або один учень з 11-го класу;

6) один учень старшої школи або один учень основної школи;

7) один учень з 10-го класу й один учень з 9-го класу або один учень з 11-го класу й один учень з 8-го класу?

Розв’язання

1) Одного учня старшої школи можна вибрати 25 + 20 = 45 (способами), одного учня основної школи можна вибрати 23 + 22 + 25 = 70 (способами). Отже, команду можна утворити 45 ∙ 70 = 3150 (способами).

2. Оленка задумала складене двоцифрове число від 35 до 54. Яка ймовірність того, що це число:

1) ділиться на 3;

2) парне;

3) ділиться на 5;

4) дорівнює 33?

Розв’язання

1) Від 35 до 54 міститься 20 натуральних чисел, із них 15 — складені, решта 5 чисел — прості, тому n = 15. Серед даних складених чисел на 3 діляться такі: 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, тобто m = 7. Отже, ймовірність того, що Оленка задумала число від 35 до 54, яке ділиться на 3, дорівнює:

P = = .

3. Із скриньки, у якій знаходяться 11 зелених, 8 блакитних та 6 жовтих кульок, Сергійко навмання вийняв одну кульку. Яка ймовірність того, що ця кулька:

1) зелена;

2) блакитна;

3) жовта;

4) червона?

Розв’язання

1) Оскільки зелених кульок є 11, то m = 11, а всього кульок: n = 11 + 8 + 6 = 25. Тоді, ймовірність того, що Сергійко вийняв зелену кульку, дорівнює: р == = 0,44.

4. Знайдіть середнє значення, моду, медіану ряду чисел та побудуйте діаграму:

1) 2, 4, 3, 3, 4, 5, 1, 6, 6, 4;

2) 10, 7, 10, 10, 9, 11, 10, 8, 6;

3) 20, 15, 10, 10, 20, 15, 15, 15;

4) 22, 23, 23, 27, 21, 28, 24.

Розв’язання

1) Запишемо варіаційний ряд:

1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6.

Обсяг вибірки: n = 10.

Визначимо середнє значення вибірки:

Найчастіше зустрічається число 4. Отже, Мо = 4.

Вибірка містить парну кількість членів, тому Ме = =4.

5. Розв’яжіть задачу.

1) Показники лічильника електроенергії в родині Сидоренків із січня по травень становили: 100 кВт-год, 210 кВт-год, 120 кВт-год, 150 кВт-год і 180 кВт-год. Визначте середньомісячні витрати електроенергії в родині Сидоренків.

2) За тиждень на харчування в родині Сидоренків було витрачено: 120 грн, 150 грн, 100 грн, 120 грн, 145 грн, 200 грн, 250 грн. Визначте середньодобові витрати коштів на харчування в родині Сидоренків.

Розв’язання

1) Показники лічильника електроенергії утворюють статистичний ряд: 100, 210, 120, 150, 180.

Обсяг вибірки: n = 5.

Визначимо середнє значення вибірки:

Отже, середньомісячні витрати електроенергії в родині Сидоренків становлять 152 кВт-год.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити