Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік
РОЗДІЛ 1 НЕРІВНОСТІ
У розділі дізнаєтеся:
► про властивості числових нерівностей;
► що таке нерівність зі змінною та як її розв’язувати;
► що таке числовий проміжок;
► як знаходити об’єднання й переріз числових проміжків;
► що таке лінійна нерівність з однією змінною та як її розв’язувати;
► що таке система лінійних нерівностей з однією змінною та як її розв’язувати;
► як застосовувати вивчений матеріал на практиці
§ 1. ЧИСЛОВІ НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
1. ЧИСЛОВІ НЕРІВНОСТІ
Із курсу математики 5-го класу ви знаєте, що таке числова нерівність, подвійна нерівність, знаки нерівності. Пригадайте відповідні означення та порівняйте їх з наведеними в підручнику.
Запис, у якому два числа, або два числові вирази, або числовий вираз і число сполучено знаком нерівності, називається числовою нерівністю.
Наприклад:
Нерівності записують за допомогою знаків <, >, ≤, ≥. Серед них розрізняють знаки строгої нерівності та знаки нестрогої нерівності (таблиця 1).
Таблиця 1
Нерівність |
Знак |
Як прочитати |
< |
менше |
|
строга |
> |
більше |
≤ |
менше або дорівнює |
|
нестрога |
≥ |
більше або дорівнює |
Число а є більшим (меншим) за число b, якщо різниця а — b є додатним (від’ємним) числом.
Справджується й обернене твердження.
Зверніть увагу:
• якщо a - b > 0, то a > b;
• якщо a - b < 0, то a < b;
• якщо a - b = 0, то a = b.
Задача 1. Порівняйте числа:
Розв’язання. Щоб порівняти дані числа, знайдемо їх різницю й визначимо її знак:
Отже,
На координатній прямій більше з двох чисел зображують правіше (мал. 1), а менше з двох чисел — лівіше (мал. 2).
Мал. 1
Мал. 2
Числова нерівність може бути правильною або неправильною.
Наприклад,
— неправильні числові нерівності, а
— правильні числові нерівності.
Задача 2. Доведіть, що нерівність (а+2)а <(а +1)2 є правильною за будь-якого значення числа а.
Розв’язання Визначимо знак різниці лівої та правої частин даної нерівності:
(а + 2 )а - (а +1)2 = а2 + 2а - а2 - 2а -1 = -1< 0.
Оскільки різниця лівої та правої частин нерівності від’ємна, то, яким би не було число а, ліва частина нерівності завжди набуватиме меншого значення, ніж права, що й треба було довести.
Нерівності використовують як в алгебрі, так і в геометрії. Наприклад, із курсу геометрії 7-го класу ви знаєте, що існування трикутника з відомими довжинами сторін можна встановити, не будуючи його. Для цього достатньо застосувати нерівність трикутника.
2. ВЛАСТИВОСТІ ЧИСЛОВИХ НЕРІВНОСТЕЙ
Сформулюємо основні властивості числових нерівностей. Будемо вважати, що числа а, b і с — будь-які дійсні числа.
Суть першої властивості числових нерівностей є очевидною: якщо а > b, то b < а.
Цю властивість числових нерівностей називають властивістю симетричності.
Доведемо інші властивості числових нерівностей.
ТЕОРЕМА 1
Для будь-яких чисел а, b і с, якщо а < b і b < с, то а < с.
Дано: а 
R, b R, с 
R,
а < b, b < с.
Довести: а < с.
Доведення. За умовою теореми: а < b, звідси а - b < 0. Отже, а - b — від’ємне число; b < с, звідси b- с < 0. Отже, b - с — від’ємне число.
Сума двох від’ємних чисел є числом від’ємним, тому:
(а - b) + (b - с) =
= а - b + b - с =
= а - с < 0.
А це означає, за означенням, що а < с, що й вимагалося довести.
Цю властивість числових нерівностей називають властивістю транзитивності.
Задача 3. Порівняйте значення числових виразів: 3b - 4 і 3а - 4, якщо а > b.
Розв’язання. За умовою задачі, а > Ь, тобто а - Ь > 0. Знайдемо різницю даних виразів:
Отже, 3b - 4 < 3а - 4.
Ви вже знаєте, що для будь-яких чисел а, b і с, якщо а = b, то а + с = b + с.
Чи мають аналогічну властивість числові нерівності? Так.
ТЕОРЕМА 2
Для будь-яких чисел а, b і с, якщо а < b, то а + с < b + с.
Дано: а R, b R, с R, а < Ь.
Довести: а + с < Ь + с.
Доведення. За умовою теореми, а < b, тобто а - b < 0. Визначимо знак різниці (а + с) - (b + с):
(а + с) - (b + с) = а + с - b - с = а - b < 0.
Отже, (а + с) - (b + с) < 0. Звідси, за означенням, одержуємо: а + с < b + с, що й вимагалося довести.
Зверніть увагу:
знак нерівності не зміниться, якщо до обох її частин додати одне й те саме число.
Чи зміниться знак нерівності, якщо помножити обидві частини числової нерівності на будь-яке число? Відповідь на це запитання дають
теореми 3 і 4.
ТЕОРЕМА 3
Для будь-яких чисел а і b, якщо а < b і с — будь-яке додатне число, то а · с < b · с.
Дано: а R, b R, с > 0, а < b.
Довести: а · с < b · с.
Доведення. За умовою теореми а < b, тобто а - b < 0. Добуток від’ємного й додатного чисел є числом від’ємним, тому:
а · с - b · с = (а - b) · с < 0
А це означає, за означенням, що а · с < b · с, що й вимагалося довести.
Зверніть увагу: знак нерівності не зміниться, якщо обидві її частини помножити на одне й те саме додатне число.
ТЕОРЕМА 4
Для будь-яких чисел а і b, якщо а < b і с — будь-яке від’ємне число, то а · с > b · с.
Дано: а R, b R, с < 0, а < Ь.
Довести: а · с > b · с.
Доведення. За умовою теореми а < b, тобто а - b < 0. Добуток двох від’ємних чисел є числом додатним, тому:
а · с - b · с = (а - b) · с > 0.
А це означає, за означенням, що а · с > b · с, що й вимагалося довести.
Зверніть увагу: знак нерівності зміниться, якщо обидві її частини помножити на одне й те саме від’ємне число.
Чи можна додавати або множити числові нерівності? Так. Відповідні дії спираються на теореми 5-7.
ТЕОРЕМА 5
Для будь-яких чисел а, b, с і d, якщо а < b і с < d, то а + с < b + d.
Дано: а R, b R, с R, d R, а < b, с < й.
Довести: а + с < b + d.
Доведення. За умовою теореми а < b, с < d.
Тоді за теоремою 2:
а + с < b + с,
с + b < d + b
або b + с < b + d.
Звідси за теоремою 1: а + с < b + d, що й вимагалося довести.
Зверніть увагу: можна додавати правильні нерівності одного знака.
ТЕОРЕМА 6
Для будь-яких додатних чисел а, b, с і d, якщо а < b і с < d, то а · с < b · d.
Дано: а > 0, b > 0, с > 0, d > 0, а < b, с < d.
Довести: а · с < b · d.
Доведення. За умовою теореми а < b, с < d.
Тоді за теоремою 3:
а · с < b · с,
с · b < d · b
або b · с < b · d.
Звідси за теоремою 1: а · с < b · d, що й вимагалося довести.
Зверніть увагу: можна множити правильні нерівності одного знака, членами яких є додатні числа.
ТЕОРЕМА 7
Для будь-яких додатних чисел а і b, якщо а < b, то аn < bn, де n — будь-яке натуральне число.
Дано: а > 0, b > 0, n N, а < b.
Довести: аn < bn.
Доведення. За умовою теореми а < b.
Тоді за теоремою 6:
а · а < b · b, тобто а2 < b2.
Аналогічно множимо ще раз:
а2· а < b2 · b, тобто а3 < b3 і т. д.
На n-му кроці одержимо: аn < bn, що й вимагалося довести.
Зверніть увагу: можна підносити до того самого степеня з натуральним показником обидві частини правильної нерівності, членами якої є додатні числа.
ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ
1. Томас Херріот (англ. Thomas Harriot) (1560 -1621) — англійський астроном, математик, етнограф та перекладач; закінчив Оксфордський університет. Відомий завдяки тому, що удосконалив алгебраїчну символіку, а також придумав загальноприйняті нині знаки для операцій порівняння: «>» (більше) та «<» (менше).
Томас Херріот
2. Знаки «≥» (більше або дорівнює) та «≤» (менше або дорівнює) придумав та почав використовувати П’єр Бугер (Воuguer) (1698-1758) — французький математик та астроном. Разом із Савері винайшов геліометр — прилад для вимірювання діаметрів сонця, місяця та інших планет.
П’єр Бугер
ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ
1. Що таке числова нерівність? Наведіть приклади.
2. У якому випадку число а називають більшим за число b;меншим від числа b?
3. Яка числова нерівність є правильною; неправильною?
4. Сформулюйте властивість транзитивності числових нерівностей.
5. Сформулюйте теорему про додавання одного й того самого числа до обох частин числової нерівності.
6. Сформулюйте теорему про множення обох частин числової нерівності на одне й те саме додатне число.
7. Сформулюйте теорему про множення обох частин числової нерівності на одне й те саме від’ємне число.
8. Сформулюйте теорему про додавання числових нерівностей.
9. Сформулюйте теорему про множення числових нерівностей.
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ
1'. Чи є правильною дана числова нерівність:
2'. Відомо, що а < b , а b < с . Яке з чисел більше: а чи с?
3'. Відомо, що а > b , а b > с . Яке з чисел більше: а чи с?
4'. Укажіть правильне твердження:
1) знак нерівності зміниться, якщо до обох її частин додати одне й те саме число;
2) знак нерівності зміниться, якщо обидві її частини помножити на одне й те саме додатне число;
3) знак нерівності зміниться, якщо обидві її частини помножити на одне й те саме від’ємне число;
4) знак нерівності не зміниться, якщо обидві її частини помножити на одне й те саме додатне число;
5) знак нерівності не зміниться, якщо обидві її частини помножити на одне й те саме від’ємне число;
6) знак нерівності не зміниться, якщо до обох її частин додати одне й те саме число.
5'. Укажіть правильне твердження:
1) можна додавати правильні нерівності різних знаків;
2) можна додавати правильні нерівності одного знака;
3) можна множити правильні нерівності одного знака, членами яких є додатні числа;
4) можна множити правильні нерівності різних знаків, членами яких є додатні числа;
5) можна множити правильні нерівності одного знака, членами яких є додатні й від’ємні числа.
6°. Чи є дана нерівність правильною:
Відповідь поясніть.
7°. Чи є дана нерівність правильною:
Відповідь поясніть.
8°. Розмістіть у порядку зростання числа:
0; 0,001; 0,01; 0,0001; 0,0011; 1,00001; 0,011; 0,1; 0,11.
9°. Розмістіть у порядку спадання числа:
0,9; 0,099; 0,09; 0,99; 0,009; 0,0099; 1.
10°. Яке з чисел найбільше, а яке — найменше:
2,23; 2,233; 2,223; 2,33; 2,32; 3,22; 3,23; 3,32; 2,323?
11°. Розмістіть у порядку зростання числа:
1; 1,001; 1,01; 1,0001; 0,1; 1,0011; 1,011; 1,1; 1,11.
12°. Дано нерівність
Виконайте вказану дію:
1) обидві частини нерівності помножте на 2;
2) обидві частини нерівності помножте на -3;
3) до обох частини нерівності додайте 2;
4) до обох частини нерівності додайте -3;
5) обидві частини нерівності піднесіть до квадрата.
13°. Яке з чисел більше — а чи с, якщо:
14°. Яке з чисел більше — а чи b, якщо:
15°. Відомо, що а < b. Чи може значення виразу а - b дорівнювати:
1) 4,4;
2) -3;
3) 0;
4) 112;
5) (-12)2;
6) (-0,1 )3 ?
16°. Відомо, що х > у. Чи може значення виразу х - у дорівнювати:
17°. Відомо, що d > с. Чи може значення виразу с - d, дорівнювати:
18°. Яка з точок — А(х) чи В(у) на координатній прямій розміщена лівіше, якщо:
1) х = 3, у = -3;
2) х = -3, у = 3;
3) х = 3, у = 0;
4) х = 0, у = -3;
5) х = 0,01, у = 0,99;
6) х = -0,1, у = -0,9?
19°. Яка з точок — М(х) чи N(у) на координатній прямій розміщена правіше, якщо:
1) х = -5, у = 0;
2) х = -5, у = 5;
3) х = 0, у = 5;
4) х = 5, у = -5;
5) х = 0,5, у = 0,55;
6) х = -0,5, у = -0,55?
20°. Яка з точок — С(х) чи D(у) на координатній прямій розміщена правіше, якщо:
1) х = -9, у = 9;
2) х = 9, у = 0;
3) х = 0, у = -9;
4) х = 0,9, у = -0,9;
5) х = 0,99, у = 0,9;
6) х = -0,99, у = -0,9?
21°. Відомо, що а >b . Порівняйте вирази:
22°. Відомо, що m < n . Порівняйте вирази:
23°. Відомо, що х < у. Порівняйте вирази:
1) 3х - 1 і -1 + 3у;
2) -4у + 5 і 5 - 4х.
24. Назвіть три які-небудь цілі числа, позначені буквою m, за яких нерівність буде правильною:
1) m - 4 > m + 3;
2) 3m - 1 < 3m + 1;
3) 3m < 2m.
25. Порівняйте значення виразів:
1) 2m - 1 і 2m + 3;
2) 3m - 5 і 4 + 3m;
3) 2(0,5 - 2m) і 1 - 4m;
4) 3(0,2m - 1) і 2(0,3m - 1,6).
26. Порівняйте значення виразів 4m +1 і 5m - 1, якщо:
1) m = 3;
2) m = 0;
3) 3m = 4;
4) 6m= 7;
5) -2m = 0,4;
6) -0,1m = -0,7.
27. Порівняйте значення виразів:
1) 1 - 2n і -2n + 0,5;
2) 3(2m - 1) і 2(2 + 3m).
28. Доведіть, що за будь-якого значення а нерівність є правильною:
29. Доведіть, що за будь-яких значень m і n нерівність є правильною:
30. Доведіть, що за будь-яких значень m і n нерівність є правильною:
1) (1 + m)2 >(m + 6) (m - 4);
2) 30mn ≤ 9m2 + 25n2.
31*. Відомо, що а < b . Порівняйте вирази:
1) а2 і аb ;
2) (а +1)3 і (b +1)3;
3) (а + 2)(b-1 і (а-2)(b +1).
32*. Доведіть нерівності, не користуючись калькулятором:
33*. Між якими цілими числами розташоване число:
34*. Доведіть, що за будь-яких значень а і Ь нерівність є правильною:
ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ
35. Незалежна Україна брала участь у п’яти літніх і чотирьох зимових Параолімпійських іграх. Уперше країна виступала на іграх 1996
р. й відтоді не пропустила жодної Параолімпіади. Досягнення Незалежної України на літніх Параолімпійських іграх подано в таблиці 2.
Таблиця 2
Медалі української команди на літніх Параолімпійських іграх
Ігри |
Золото |
Срібло |
Бронза |
Загалом |
Місце |
1996, Атланта |
1 |
4 |
2 |
44 |
|
2000, Сідней |
3 |
20 |
14 |
35 |
|
2004, Афіни |
24 |
12 |
19 |
6 |
|
2008, Пекін |
24 |
18 |
32 |
4 |
|
2012, Лондон |
32 |
24 |
28 |
4 |
|
2016, Ріо-де-Жанейро |
41 |
37 |
39 |
3 |
|
Загалом |
1. Порахуйте загальну кількість медалей кожного ґатунку та порівняйте, яких медалей Україна здобула найбільше, а яких — найменше. Запишіть ці числа в порядку зростання; запишіть відповідні числові нерівності.
2. Порахуйте загальну кількість медалей за кожний рік проведення олімпіади та порівняйте, у якому році Україна здобула найбільше медалей, а в якому — найменше. Запишіть усі числа в порядку спадання; запишіть відповідні числові нерівності.
3. Порахуйте, на скільки позицій Україна піднялась у командному рахунку в 2016 р. порівняно з 1996 р.; з 2004 р.
4. Знайдіть суму всіх здобутих Україною медалей у 1996 р., 2004 р., 2012 р., а потім у 2000 р., 2008 р., 2016 р. Порівняйте, яка сума більша, і на скільки більша.
ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ
36. Знайдіть область визначення функції:
37. Розв’яжіть рівняння:
