РОЗДІЛ 1 НЕРІВНОСТІ

У розділі дізнаєтеся:

► про властивості числових нерівностей;

► що таке нерівність зі змінною та як її розв’язувати;

► що таке числовий проміжок;

► як знаходити об’єднання й переріз числових проміжків;

► що таке лінійна нерівність з однією змінною та як її розв’язувати;

► що таке система лінійних нерівностей з однією змінною та як її розв’язувати;

► як застосовувати вивчений матеріал на практиці

§ 1. ЧИСЛОВІ НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

1. ЧИСЛОВІ НЕРІВНОСТІ

Із курсу математики 5-го класу ви знаєте, що таке числова нерівність, подвійна нерівність, знаки нерівності. Пригадайте відповідні означення та порівняйте їх з наведеними в підручнику.

Запис, у якому два числа, або два числові вирази, або числовий вираз і число сполучено знаком нерівності, називається числовою нерівністю.

Наприклад:

Нерівності записують за допомогою знаків <, >, ≤, ≥. Серед них розрізняють знаки строгої нерівності та знаки нестрогої нерівності (таблиця 1).

Таблиця 1

Нерівність	Знак	Як прочитати
	<	менше
строга	>	більше
	≤	менше або дорівнює
нестрога	≥	більше або дорівнює

Число а є більшим (меншим) за число b, якщо різниця а — b є додатним (від’ємним) числом.

Справджується й обернене твердження.

Зверніть увагу:

• якщо a - b > 0, то a > b;

• якщо a - b < 0, то a < b;

• якщо a - b = 0, то a = b.

Задача 1. Порівняйте числа:

Розв’язання. Щоб порівняти дані числа, знайдемо їх різницю й визначимо її знак:

Отже,

На координатній прямій більше з двох чисел зображують правіше (мал. 1), а менше з двох чисел — лівіше (мал. 2).

Мал. 1

Мал. 2

Числова нерівність може бути правильною або неправильною.

Наприклад,

— неправильні числові нерівності, а

— правильні числові нерівності.

Задача 2. Доведіть, що нерівність (а+2)а <(а +1)² є правильною за будь-якого значення числа а.

Розв’язання Визначимо знак різниці лівої та правої частин даної нерівності:

(а + 2 )а - (а +1)² = а² + 2а - а² - 2а -1 = -1< 0.

Оскільки різниця лівої та правої частин нерівності від’ємна, то, яким би не було число а, ліва частина нерівності завжди набуватиме меншого значення, ніж права, що й треба було довести.

Нерівності використовують як в алгебрі, так і в геометрії. Наприклад, із курсу геометрії 7-го класу ви знаєте, що існування трикутника з відомими довжинами сторін можна встановити, не будуючи його. Для цього достатньо застосувати нерівність трикутника.

2. ВЛАСТИВОСТІ ЧИСЛОВИХ НЕРІВНОСТЕЙ

Сформулюємо основні властивості числових нерівностей. Будемо вважати, що числа а, b і с — будь-які дійсні числа.

Суть першої властивості числових нерівностей є очевидною: якщо а > b, то b < а.

Цю властивість числових нерівностей називають властивістю симетричності.

Доведемо інші властивості числових нерівностей.

ТЕОРЕМА 1

Для будь-яких чисел а, b і с, якщо а < b і b < с, то а < с.

Дано: а R, b R, с R, а < b, b < с.

Довести: а < с.

Доведення. За умовою теореми: а < b, звідси а - b < 0. Отже, а - b — від’ємне число; b < с, звідси b- с < 0. Отже, b - с — від’ємне число.

Сума двох від’ємних чисел є числом від’ємним, тому:

(а - b) + (b - с) =

= а - b + b - с =

= а - с < 0.

А це означає, за означенням, що а < с, що й вимагалося довести.

Цю властивість числових нерівностей називають властивістю транзитивності.

Задача 3. Порівняйте значення числових виразів: 3b - 4 і 3а - 4, якщо а > b.

Розв’язання. За умовою задачі, а > Ь, тобто а - Ь > 0. Знайдемо різницю даних виразів:

Отже, 3b - 4 < 3а - 4.

Ви вже знаєте, що для будь-яких чисел а, b і с, якщо а = b, то а + с = b + с.

Чи мають аналогічну властивість числові нерівності? Так.

ТЕОРЕМА 2

Для будь-яких чисел а, b і с, якщо а < b, то а + с < b + с.

Дано: а R, b R, с R, а < Ь.

Довести: а + с < Ь + с.

Доведення. За умовою теореми, а < b, тобто а - b < 0. Визначимо знак різниці (а + с) - (b + с):

(а + с) - (b + с) = а + с - b - с = а - b < 0.

Отже, (а + с) - (b + с) < 0. Звідси, за означенням, одержуємо: а + с < b + с, що й вимагалося довести.

Зверніть увагу:

знак нерівності не зміниться, якщо до обох її частин додати одне й те саме число.

Чи зміниться знак нерівності, якщо помножити обидві частини числової нерівності на будь-яке число? Відповідь на це запитання дають

теореми 3 і 4.

ТЕОРЕМА 3

Для будь-яких чисел а і b, якщо а < b і с — будь-яке додатне число, то а · с < b · с.

Дано: а R, b R, с > 0, а < b.

Довести: а · с < b · с.

Доведення. За умовою теореми а < b, тобто а - b < 0. Добуток від’ємного й додатного чисел є числом від’ємним, тому:

а · с - b · с = (а - b) · с < 0

А це означає, за означенням, що а · с < b · с, що й вимагалося довести.

Зверніть увагу: знак нерівності не зміниться, якщо обидві її частини помножити на одне й те саме додатне число.

ТЕОРЕМА 4

Для будь-яких чисел а і b, якщо а < b і с — будь-яке від’ємне число, то а · с > b · с.

Дано: а R, b R, с < 0, а < Ь.

Довести: а · с > b · с.

Доведення. За умовою теореми а < b, тобто а - b < 0. Добуток двох від’ємних чисел є числом додатним, тому:

а · с - b · с = (а - b) · с > 0.

А це означає, за означенням, що а · с > b · с, що й вимагалося довести.

Зверніть увагу: знак нерівності зміниться, якщо обидві її частини помножити на одне й те саме від’ємне число.

Чи можна додавати або множити числові нерівності? Так. Відповідні дії спираються на теореми 5-7.

ТЕОРЕМА 5

Для будь-яких чисел а, b, с і d, якщо а < b і с < d, то а + с < b + d.

Дано: а R, b R, с R, d R, а < b, с < й.

Довести: а + с < b + d.

Доведення. За умовою теореми а < b, с < d.

Тоді за теоремою 2:

а + с < b + с,

с + b < d + b

або b + с < b + d.

Звідси за теоремою 1: а + с < b + d, що й вимагалося довести.

Зверніть увагу: можна додавати правильні нерівності одного знака.

ТЕОРЕМА 6

Для будь-яких додатних чисел а, b, с і d, якщо а < b і с < d, то а · с < b · d.

Дано: а > 0, b > 0, с > 0, d > 0, а < b, с < d.

Довести: а · с < b · d.

Доведення. За умовою теореми а < b, с < d.

Тоді за теоремою 3:

а · с < b · с,

с · b < d · b

або b · с < b · d.

Звідси за теоремою 1: а · с < b · d, що й вимагалося довести.

Зверніть увагу: можна множити правильні нерівності одного знака, членами яких є додатні числа.

ТЕОРЕМА 7

Для будь-яких додатних чисел а і b, якщо а < b, то аⁿ < bⁿ, де n — будь-яке натуральне число.

Дано: а > 0, b > 0, n N, а < b.

Довести: аⁿ < bⁿ.

Доведення. За умовою теореми а < b.

Тоді за теоремою 6:

а · а < b · b, тобто а² < b².

Аналогічно множимо ще раз:

а²· а < b² · b, тобто а³ < b³ і т. д.

На n-му кроці одержимо: аⁿ < bⁿ, що й вимагалося довести.

Зверніть увагу: можна підносити до того самого степеня з натуральним показником обидві частини правильної нерівності, членами якої є додатні числа.

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

1. Томас Херріот (англ. Thomas Harriot) (1560 -1621) — англійський астроном, математик, етнограф та перекладач; закінчив Оксфордський університет. Відомий завдяки тому, що удосконалив алгебраїчну символіку, а також придумав загальноприйняті нині знаки для операцій порівняння: «>» (більше) та «<» (менше).

Томас Херріот

2. Знаки «≥» (більше або дорівнює) та «≤» (менше або дорівнює) придумав та почав використовувати П’єр Бугер (Воuguer) (1698-1758) — французький математик та астроном. Разом із Савері винайшов геліометр — прилад для вимірювання діаметрів сонця, місяця та інших планет.

П’єр Бугер

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Що таке числова нерівність? Наведіть приклади.

2. У якому випадку число а називають більшим за число b;меншим від числа b?

3. Яка числова нерівність є правильною; неправильною?

4. Сформулюйте властивість транзитивності числових нерівностей.

5. Сформулюйте теорему про додавання одного й того самого числа до обох частин числової нерівності.

6. Сформулюйте теорему про множення обох частин числової нерівності на одне й те саме додатне число.

7. Сформулюйте теорему про множення обох частин числової нерівності на одне й те саме від’ємне число.

8. Сформулюйте теорему про додавання числових нерівностей.

9. Сформулюйте теорему про множення числових нерівностей.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

1'. Чи є правильною дана числова нерівність:

2'. Відомо, що а < b , а b < с . Яке з чисел більше: а чи с?

3'. Відомо, що а > b , а b > с . Яке з чисел більше: а чи с?

4'. Укажіть правильне твердження:

1) знак нерівності зміниться, якщо до обох її частин додати одне й те саме число;

2) знак нерівності зміниться, якщо обидві її частини помножити на одне й те саме додатне число;

3) знак нерівності зміниться, якщо обидві її частини помножити на одне й те саме від’ємне число;

4) знак нерівності не зміниться, якщо обидві її частини помножити на одне й те саме додатне число;

5) знак нерівності не зміниться, якщо обидві її частини помножити на одне й те саме від’ємне число;

6) знак нерівності не зміниться, якщо до обох її частин додати одне й те саме число.

5'. Укажіть правильне твердження:

1) можна додавати правильні нерівності різних знаків;

2) можна додавати правильні нерівності одного знака;

3) можна множити правильні нерівності одного знака, членами яких є додатні числа;

4) можна множити правильні нерівності різних знаків, членами яких є додатні числа;

5) можна множити правильні нерівності одного знака, членами яких є додатні й від’ємні числа.

6°. Чи є дана нерівність правильною:

Відповідь поясніть.

7°. Чи є дана нерівність правильною:

Відповідь поясніть.

8°. Розмістіть у порядку зростання числа:

0; 0,001; 0,01; 0,0001; 0,0011; 1,00001; 0,011; 0,1; 0,11.

9°. Розмістіть у порядку спадання числа:

0,9; 0,099; 0,09; 0,99; 0,009; 0,0099; 1.

10°. Яке з чисел найбільше, а яке — найменше:

2,23; 2,233; 2,223; 2,33; 2,32; 3,22; 3,23; 3,32; 2,323?

11°. Розмістіть у порядку зростання числа:

1; 1,001; 1,01; 1,0001; 0,1; 1,0011; 1,011; 1,1; 1,11.

12°. Дано нерівність

Виконайте вказану дію:

1) обидві частини нерівності помножте на 2;

2) обидві частини нерівності помножте на -3;

3) до обох частини нерівності додайте 2;

4) до обох частини нерівності додайте -3;

5) обидві частини нерівності піднесіть до квадрата.

13°. Яке з чисел більше — а чи с, якщо:

14°. Яке з чисел більше — а чи b, якщо:

15°. Відомо, що а < b. Чи може значення виразу а - b дорівнювати:

1) 4,4;

2) -3;

3) 0;

4) 11²;

5) (-12)²;

6) (-0,1 )³ ?

16°. Відомо, що х > у. Чи може значення виразу х - у дорівнювати:

17°. Відомо, що d > с. Чи може значення виразу с - d, дорівнювати:

18°. Яка з точок — А(х) чи В(у) на координатній прямій розміщена лівіше, якщо:

1) х = 3, у = -3;

2) х = -3, у = 3;

3) х = 3, у = 0;

4) х = 0, у = -3;

5) х = 0,01, у = 0,99;

6) х = -0,1, у = -0,9?

19°. Яка з точок — М(х) чи N(у) на координатній прямій розміщена правіше, якщо:

1) х = -5, у = 0;

2) х = -5, у = 5;

3) х = 0, у = 5;

4) х = 5, у = -5;

5) х = 0,5, у = 0,55;

6) х = -0,5, у = -0,55?

20°. Яка з точок — С(х) чи D(у) на координатній прямій розміщена правіше, якщо:

1) х = -9, у = 9;

2) х = 9, у = 0;

3) х = 0, у = -9;

4) х = 0,9, у = -0,9;

5) х = 0,99, у = 0,9;

6) х = -0,99, у = -0,9?

21°. Відомо, що а >b . Порівняйте вирази:

22°. Відомо, що m < n . Порівняйте вирази:

23°. Відомо, що х < у. Порівняйте вирази:

1) 3х - 1 і -1 + 3у;

2) -4у + 5 і 5 - 4х.

24. Назвіть три які-небудь цілі числа, позначені буквою m, за яких нерівність буде правильною:

1) m - 4 > m + 3;

2) 3m - 1 < 3m + 1;

3) 3m < 2m.

25. Порівняйте значення виразів:

1) 2m - 1 і 2m + 3;

2) 3m - 5 і 4 + 3m;

3) 2(0,5 - 2m) і 1 - 4m;

4) 3(0,2m - 1) і 2(0,3m - 1,6).

26. Порівняйте значення виразів 4m +1 і 5m - 1, якщо:

1) m = 3;

2) m = 0;

3) 3m = 4;

4) 6m= 7;

5) -2m = 0,4;

6) -0,1m = -0,7.

27. Порівняйте значення виразів:

1) 1 - 2n і -2n + 0,5;

2) 3(2m - 1) і 2(2 + 3m).

28. Доведіть, що за будь-якого значення а нерівність є правильною:

29. Доведіть, що за будь-яких значень m і n нерівність є правильною:

30. Доведіть, що за будь-яких значень m і n нерівність є правильною:

1) (1 + m)² >(m + 6) (m - 4);

2) 30mn ≤ 9m² + 25n².

31*. Відомо, що а < b . Порівняйте вирази:

1) а² і аb ;

2) (а +1)³ і (b +1)³;

3) (а + 2)(b-1 і (а-2)(b +1).

32*. Доведіть нерівності, не користуючись калькулятором:

33*. Між якими цілими числами розташоване число:

34*. Доведіть, що за будь-яких значень а і Ь нерівність є правильною:

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

35. Незалежна Україна брала участь у п’яти літніх і чотирьох зимових Параолімпійських іграх. Уперше країна виступала на іграх 1996

р. й відтоді не пропустила жодної Параолімпіади. Досягнення Незалежної України на літніх Параолімпійських іграх подано в таблиці 2.

Таблиця 2

Медалі української команди на літніх Параолімпійських іграх

Ігри	Золото	Срібло	Бронза	Загалом	Місце
1996, Атланта	1	4	2		44
2000, Сідней	3	20	14		35
2004, Афіни	24	12	19		6
2008, Пекін	24	18	32		4
2012, Лондон	32	24	28		4
2016, Ріо-де-Жанейро	41	37	39		3
Загалом

1. Порахуйте загальну кількість медалей кожного ґатунку та порівняйте, яких медалей Україна здобула найбільше, а яких — найменше. Запишіть ці числа в порядку зростання; запишіть відповідні числові нерівності.

2. Порахуйте загальну кількість медалей за кожний рік проведення олімпіади та порівняйте, у якому році Україна здобула найбільше медалей, а в якому — найменше. Запишіть усі числа в порядку спадання; запишіть відповідні числові нерівності.

3. Порахуйте, на скільки позицій Україна піднялась у командному рахунку в 2016 р. порівняно з 1996 р.; з 2004 р.

4. Знайдіть суму всіх здобутих Україною медалей у 1996 р., 2004 р., 2012 р., а потім у 2000 р., 2008 р., 2016 р. Порівняйте, яка сума більша, і на скільки більша.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

36. Знайдіть область визначення функції:

37. Розв’яжіть рівняння: