Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 1 НЕРІВНОСТІ

§ 2. НЕРІВНОСТІ ЗІ ЗМІННОЮ. РІВНОСИЛЬНІ НЕРІВНОСТІ

1. НЕРІВНОСТІ ЗІ ЗМІННОЮ

Ви вже знаєте, що таке числова нерівність та які її властивості. Проте на практиці нерідко доводиться складати та розв’язувати не лише числові нерівності, а й нерівності з однією чи кількома змінними. Розглянемо ситуацію.

Ситуація. Шкільній їдальні потрібно закупити на тиждень 12 кг гречки. Для покупки виділено 400 грн. Як визначити найбільшу ціну гречки, за якою можна придбати потрібну масу крупи?

Ви знаєте, що ціна гречки коливається залежно від виробника й націнок, які встановлює торговельна установа. У термінах математики це означає, що ціна 1 кг гречки є змінною. Позначимо її x. Тоді вартість гречки, яку необхідно придбати для їдальні на тиждень, дорівнює 12x. Отже, математичною моделлю ситуації, яку ми розглядаємо, є нерівність: 12х ≤ 400.

В одержаній нерівності x — змінна, тому таку нерівність називають нерівністю зі змінною. Якщо замість x підставити, наприклад, число 30, то одержимо правильну числову нерівність: 12 · 30 < 400, оскільки 360 < 400. Тому число 30 є розв’язком даної нерівності. Якщо ж замість x ми підставимо число 40, то одержимо неправильну числову нерівність: 12 · 40 > 400, оскільки 480 > 400. Тому число 40 не є розв’язком даної нерівності. Інакше можна сказати: число 30 задовольняє нерівність 12x ≤ 400, а число 40 — не задовольняє її.

Розв’язком нерівності з однією змінною називається таке значення змінної, яке задовольняє дану нерівність.

Як ви вже здогадалися, нерівність 12x ≤ 400 задовольняє не лише число 30, а й багато інших чисел. Серед них, наприклад: 0,01; 1; 2; 3; 33; 33,3; 33,33 тощо. Кожне із цих чисел є розв’язком даної нерівності, а всі розв’язки утворюють множину розв’язків цієї нерівності. У нерівності 12x ≤ 400 множина її розв’язків містить усі дійсні числа, які менші або дорівнюють , тобто х ≤ 33.

Розв’язати нерівність — означає знайти множину її розв’язків або ж показати, що розв’язків немає.

Наприклад, нерівність x2 <-5 не має розв’язків. Справді, яке б число ми не підставили замість змінної x, завжди одержимо неправильну числову нерівність, оскільки квадрат будь-якого числа є числом невід’ємним.

Повернемося до ситуації з покупкою гречки для шкільної їдальні. Знайшовши множину розв’язків нерівності 12x ≤ 400, можемо визначити найбільшу ціну гречки, за якою можна придбати потрібну масу крупи, а саме: ціна 1 кг гречки має не перевищувати 33 грн. 33 к.

Як же знайти множину розв’язків нерівності зі змінною? Поміркуємо.

Ви знаєте, що корені деяких рівнянь можна було знайти шляхом добору. Для нерівностей зі змінною такий спосіб навряд чи придатний. Справді, тоді довелось би перебирати всі дійсні числа чи будь-яку підмножину дійсних чисел. А це неможливо, бо таких чисел — безліч. Отже, для розв’язування нерівностей потрібний спеціальний підхід.

2. РІВНОСИЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ НЕРІВНОСТЕЙ

Під час розв’язування рівнянь застосовують їх рівносильні перетворення. За їхньою допомогою від заданого рівняння переходять до рівносильного йому рівняння, але більш простого, від одержаного рівняння — до ще більш простого і т.д., допоки не одержать корінь рівняння.

Чи існують аналогічні рівносильні перетворення для нерівностей зі змінною? Так. Але ці перетворення мають свої особливості.

Дві нерівності називаються рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі розв’язки або обидві не мають розв’язків.

Наприклад, нерівності х - 4 > 0 і х - 3 > 1 є рівносильними, оскільки кожну з них задовольняють усі числа, більші від числа 4, і не задовольняє будь-яке інше число. Тобто в цих нерівностей одні й ті самі розв’язки. Нерівності х2 + 5 < 0 і х2 <-5 також є рівносильними. Вони обидві не мають розв’язків.

Сформулюємо основні властивості рівносильності нерівностей.

Властивості рівносильності нерівностей.

1. Якщо до (від) обох частин нерівності додати (відняти) одне й те саме число, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

2. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме додатне число, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

3. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

Наслідок. Якщо в нерівності перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

Усі перетворення нерівностей, які здійснюються на основі властивостей рівносильності, вважають рівносильними перетвореннями нерівностей.

Задача 1. Чи є рівносильними дані нерівності:

Розв’язання.

1. Спростимо першу нерівність, використовуючи рівносильні перетворення нерівностей:

Як бачимо, застосувавши рівносильні перетворення, ми звели першу нерівність до другої, а значить, дані нерівності мають ті самі розв’язки. Отже, дані нерівності є рівносильними.

2. Нерівність х2 + у2 < 0 не має розв’язків, оскільки х2 0 і у2 0 за будь-яких значень х і у. Нерівність (х + у)2 0 має безліч розв’язків. Справді, будь-яка пара протилежних чисел задовольняє цю нерівність. Отже, дані нерівності не є рівносильними за означенням.

Зверніть увагу:

рівносильними є нерівності:

Чи існують пари рівносильних нерівностей зі знаком «»? Так. Вони аналогічні наведеним. Запишіть їх самостійно.

Крім звичайних нерівностей зі змінними, при розв’язуванні деяких завдань використовують подвійні нерівності. Розглянемо приклад.

Задача 2. Для закупівлі 10 м2 плитки сім’я може виділити зі свого бюджету від 500 грн. до 1000 грн. За якою ціною сім’я зможе купити плитку, не виходячи за межі виділеної суми?

Розв’язання. Умову задачі можна записати так: 500 10х 1000 , де х — ціна 1 м2 плитки. Це подвійна нерівність. Застосувавши рівносильні перетворення до цієї нерівності, одержимо:

Отже, сім’я зможе купити плитку, ціна якої становить від 50 грн до 100 грн за 1 м2.

Задача 3. Оцініть з точністю до одиниць площу прямокутного трикутника з катетами і .

Розв’язання. Площу прямокутного трикутника знаходимо за формулою: S = . За умовою задачі, а = , b = , тому

Очевидно, що 3 < < 4 , тоді < < , 1,5 < <2 .

З точністю до одиниць одержимо: 1< <2.

Задачі, аналогічні до задач 2 і 3, ще називають задачами на оцінювання значення якоїсь величини.

Зверніть увагу: рівносильні перетворення подвійних нерівностей здійснюють так само, як і звичайних нерівностей — застосовуючи властивості рівносильності нерівностей.

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

Глускін Лазар Матвійович (20 березня 1923 р. — 15 квітня 1985 р.) — український математик-алгебраїст; професор, доктор фізико-математичних наук з 1955 р. Автор понад 50 наукових робіт у галузі сучасної алгебри. Результати його досліджень суттєво вплинули на становлення теорії алгебри напівгруп та перетворення її на самостійну область сучасної алгебри.

Глускін Л. М.

Працював у Харківському університеті, Комунарському гірничо-металургійному інституті, Харківському інституті радіоелектроніки. Л. М. Глускін брав участь у написанні чотиритомної «Історії вітчизняної математики». Про високий міжнародний авторитет Л. М. Глускіна свідчить той факт, що багато років він був членом редколегій різних міжнародних журналів.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Наведіть приклади нерівностей зі змінними.

2. Що називається розв’язком нерівності зі змінною?

3. Що означає розв’язати нерівність зі змінною?

4. Які нерівності називають рівносильними?

5. Сформулюйте властивості рівносильності нерівностей.

6. Наведіть приклади подвійних нерівностей.

Розв'яжіть задачі

38'. Оберіть правильне твердження:

1) якщо від обох частин нерівності віднімемо одне й те саме число, а знак нерівності змінимо на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній;

2) якщо в нерівності перенесемо доданок з однієї частини в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній;

3) якщо обидві частини нерівності помножимо на одне й те саме від’ємне число, то одержимо нерівність, рівносильну даній;

4) якщо обидві частини нерівності поділимо на одне й те саме додатне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній;

5) якщо обидві частини нерівності помножимо на одне й те саме додатне число, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

39'. Назвіть будь-які три числа, що є розв’язками нерівності:

1) х < 5;

2) х-0,1;

3) х2 > 1;

4) х3 ≥ - .

40'. Яка з нерівностей є рівносильною нерівності х2 +1 2 :

1) х23;

2) х2 1;

3) х2 < 1;

4) х2 1;

5) х2-1?

41'. Яка з нерівностей є рівносильною нерівності 1 х -1 2:

1) 1 х 2;

2) 2 х 3;

3) 0 х 1;

4) -2 х -1?

42°. Дано нерівність х2 -5х + 40. Чи є число а розв’язком цієї нерівності, якщо:

1) а = 0;

2) а = -1;

3) а = 1;

4) а = 5;

5) а = 2;

6) а = 4?

43°. Чи є число -1 розв’язком нерівності:

1) х > -1;

2) х < 2;

3) х 5;

4) х-3 0;

5) х2 + 2 > 0;

6) х3 -1 > 1?

44°. Чи має розв’язки за будь-яких значень змінної х нерівність:

1) х2 <-3 ;

2) х2 < 2;

3) х25;

4) х3 0;

5) х2 + 2 <0;

6) 0х2 +1 < 1?

45°. Чи є число -2 розв’язком нерівності:

1) х < 5;

2) х >-2 ;

3) х > 0;

4) х +1 0 ;

5) х2 +1 > 0?

46°. Чи є рівносильними нерівності:

47°. Чи є рівносильними нерівності:

48°. Дано: 5 а 8 . Оцініть значення виразу:

1) 2а;

2) а + 2;

3) а - 2;

4) 2 - а.

49°. Дано: 3 b 5 . Оцініть значення виразу:

1) 2b;

2) -3b;

3) ;

4) b2.

50°. Дано: 2х 6. Оцініть значення виразу:

1) Зх;

2) х + 3;

3) -Зх;

4) х2.

51. Чи має розв’язки за будь-яких значень змінної х нерівність:

52. Які з нерівностей не мають розв’язків, якщо х 0:

53. Чи має розв’язки за будь-яких значень змінної х нерівність:

54. Чи є рівносильними нерівності:

55. Чи є рівносильними нерівності:

56. Дано: 0,5 а 3,2 . Оцініть значення виразу:

57. Дано: 1,2 b 2,5 . Оцініть значення виразу:

1) 3b - 2;

2) 2b + 1;

3) 3 -10b;

4) .

58. Дано: -1 а 3, 2 6 5. Оцініть значення виразу:

59. Дано: -1 х 2, 1 у 4. Оцініть значення виразу:

60. Сторона квадрата а набуває значень: 3,5 а 4,5 . Оцініть периметр і площу квадрата.

61. Сторони прямокутника а і 6 набувають значень: 3,1 а 3,5, 2,5 6 2,8 . Оцініть периметр і площу прямокутника.

62. Сторона куба а набуває значень: 2а3. Оцініть периметр і площу однієї грані куба та його об’єм.

63*. Запишіть нерівність у вигляді подвійної нерівності:

64*. Доведіть, що за будь-яких а і b виконується нерівність:

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

65. На пачці клею для шпалер зазначено, що ним можна поклеїти від шести до дев’яти рулонів. Скільки пачок клею потрібно купити татові, якщо для першої кімнати він придбав 5 рулонів шпалер, для другої — 7 рулонів, а для третьої — 8 рулонів?

66. Сім’я із трьох осіб зібралася на відпочинок. Добиратися до місця призначення вони планували літаком. За правилами перевезення багажу, на борт літака кожний міг узяти не більше 8 кг. У кожного члена сім’ї була своя валіза масою 2,8 кг. Мама поклала у свою валізу 3 кг речей, тато — 2,5 кг, а донька — 2,7 кг. Вони ще хотіли взяти в подарунок друзям 3 сувеніри по 0,5 кг кожний і цукерки.

1. Чи помістяться всі три сувеніри в одну валізу? Якщо так, то чия це може бути валіза — мами, тата чи доньки?

2. Якщо кожний член сім’ї покладе у свою валізу по одному сувеніру, то по скільки кілограмів цукерок вони зможуть узяти?

3. Якщо лише мама й донька покладуть у свої валізи по одному сувеніру, то скільки кілограмів цукерок зможе взяти сім’я в такому випадку?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

67. Обчисліть:Обчисліть:

68. Розв’яжіть рівняння:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити