Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 1 НЕРІВНОСТІ

§ 3. ЧИСЛОВІ ПРОМІЖКИ

1. ЩО ТАКЕ ЧИСЛОВИЙ ПРОМІЖОК

Із курсу алгебри 8-го класу ви вже знаєте, що таке множина, її підмножина, елементи множини, порожня множина. Також ви знаєте основні числові множини: натуральні числа; цілі числа; раціональні числа; ірраціональні числа; дійсні числа. Розв’язуючи якусь нерівність, ми одержуємо множину розв’язків цієї нерівності. Така множина є числовою множиною.

Задача 1. Знайдіть множину розв’язків нерівності |х2 -1| ≤ 0.

Розв’язання Оскільки модуль будь-якого числа є числом невід’ємним, то розв’язками даної нерівності можуть бути лише ті числа, за яких х2 -1 = 0 , а саме: -1 та 1. Отже, множину розв’язків даної нерівності утворюють лише два числа -1 та 1.

Задача 2. Знайдіть множину розв’язків нерівності х > 1.

Розв’язання Застосувавши рівносильні перетворення до даної нерівності, одержимо:

Отже, множину розв’язків даної нерівності утворюють усі дійсні числа, більші за 0,6.

Що спільного й відмінного мають множини розв’язків нерівностей у задачах 1 і 2? Поміркуємо.

У кожній з розглянутих задач множина розв’язків заданої нерівності є підмножиною дійсних чисел. Але в задачі 1 ця підмножина містить лише два числа. А от у задачі 2 до цієї підмножини входять усі дійсні числа, більші за 0,6. Таку підмножину дійсних чисел називають числовим проміжком. Одержаний у задачі 2 числовий проміжок записують так: (0,6; + ∞) (читають: «від 0,6 до плюс нескінченності»). Іноді в записі «+∞»» знак «+» опускають, але мають його на увазі.

Зверніть увагу:

розв’язавши нерівність, відповідь записують так:

• х (0,6; + ∞) , якщо множина розв’язків є числовим проміжком;

• х {-1; 1} , якщо множина розв’язків містить лише окремі числа й не є проміжком;

• 0, якщо нерівність не має розв’язків.

2. ЗОБРАЖЕННЯ ЧИСЛОВИХ ПРОМІЖКІВ НА КООРДИНАТНІЙ ПРЯМІЙ

Подивіться на малюнки 3 і 4. На малюнку 3 ви бачите, як на координатній прямій подано множину розв’язків нерівності | х2 -1| 0 (задача 1), а на малюнку 4 — числовий проміжок (0,6; + ∞) , що є множиною розв’язків нерівності х > 1 (задача 2).

Мал. 3

Мал. 4

Чому на малюнку 3 числа -1 і 1 позначені зафарбованими кружечками, а на малюнку 4 число 0,6 позначено не зафарбованим кружечком (так званим «виколотим» кружечком)? Поміркуємо.

На малюнку 3 кожне позначене число є розв’язком нерівності | х2 -1 |≤ 0 , тобто задовольняє цю нерівність. На малюнку 4 число 0,6 не є розв’язком нерівності х > 1, але будь-яке наступне дійсне число з проміжку (0,6; + ∞) ,яке як завгодно мало відрізняється від числа 0,6, задовольняє цю нерівність. Отже, число 0,6, хоч і не є розв’язком цієї нерівності, але начебто показує «початок відліку» тих дійсних чисел (у бік зростання), що є розв’язками даної нерівності. Саме тому на координатній прямій число 0,6 позначено не зафарбованим, а «виколотим» кружечком.

Загалом, числові проміжки можуть містити свої кінці або ж не містити їх. Це позначають так:

(1; З) — обидва кінці не належать проміжку (мал. 5);

[0; 2] — обидва кінці належать проміжку (мал. 6);

[0; 1) — лівий кінець належить проміжку, а правий — ні (мал. 7);

(-1; 2 ] — правий кінець належить проміжку, а лівий — ні (мал. 8).

Біля «+» та «-» завжди ставлять круглу дужку, наприклад: [-З; + ) , (-;5].

Мал. 5

Мал. 6

Мал. 7

Мал. 8

Зверніть увагу:

у записі числового проміжку ставлять:

• круглу дужку «(» або «)», якщо проміжок не містить даний його кінець (на малюнку він позначається «виколотим» кружечком);

• квадратну дужку «[» або «]», якщо проміжок містить даний його кінець (на малюнку він позначається зафарбованим кружечком).

У таблиці 3 подано всі можливі варіанти числових проміжків (а, b — будь-які дійсні числа).

Таблиця 3

3. ОБ’ЄДНАННЯ ЧИСЛОВИХ ПРОМІЖКІВ

Множина розв’язків деяких нерівностей (або кількох нерівностей, які розглядають разом) може містити не один проміжок, а два й більше проміжків. Таку множину можна подати як об’єднання відповідних проміжків.

Об’єднанням числових проміжків називається така числова множина, яка містить усі числа кожного з проміжків і не містить інших чисел.

Об’єднання проміжків позначають знаком «». Цьому знаку відповідає сполучник «або».

Задача 3. Знайдіть та позначте на координатній прямій об’єднання: 1) проміжків (-; 1) і (3; +); 2) проміжків (-; 1) і (1; +); 3) проміжків (-; 1] і (1; +); 4) проміжку (-; 1) і числа 3; 5) проміжку (-; 1) і числа 1; 6) проміжку (3; +) і порожньої множини.

Розв’язання.

1. Об’єднанням даних числових проміжків (мал. 9) є множина: (-; 1) (3; +).

Мал. 9

2. Об’єднанням даних числових проміжків (мал. 10) є множина: (-; 1) (1; +).

Мал. 10

3. Об’єднанням даних числових проміжків (мал. 11) є множина: (-; 1] (1; +).

Оскільки число 1 входить до першого проміжку, то в об’єднанні двох проміжків немає розриву в точці 1. Тому ця множина містить усі дійсні числа: (-; +). Отже, (-; 1] (1; +) = (-; +).

Мал. 11

4. Об’єднанням даного числового проміжку й числа 3 (мал. 12) є множина: (-; 1) {3}.

Мал. 12

5. Об’єднанням даного числового проміжку й числа 1 (мал. 13) є множина: (-; 1) U {1}. Одержану множину можна подати як один проміжок: (-; 1]. Отже, (-; 1) {1} = (-; 1].

Мал. 13

6. Оскільки порожня множина не містить елементів, то об’єднанням даного числового проміжку й порожньої множини (мал. 14) є множина (3; +). Отже, (3; +) = (3; +).

Мал. 14

Зверніть увагу:

• об’єднання проміжків записують у певному порядку, починаючи з проміжку, що містить найменше з даних чисел;

• про множину (-; а) (а; +) кажуть, що вона має розрив у точці а, де а — будь-яке число;

• запис х не має змісту.

4. ПЕРЕРІЗ ЧИСЛОВИХ ПРОМІЖКІВ

Під час розв’язування деяких нерівностей і особливо систем нерівностей доводиться знаходити переріз числових проміжків, що відповідно є множинами розв’язків даних нерівностей.

Перерізом числових проміжків називається така числова множина, яка містить лише ті числа, що одночасно входять до кожного з проміжків, і не містить інших чисел.

Переріз множин позначають знаком «». Цьому знаку відповідає сполучник «та».

Задача 4. Знайдіть та позначте на координатній прямій переріз проміжків: 1) (-; 2] і [0; +); 2) (-; 3] і [3; +); 3) (-; 3) і (3; +); 4) (-; 2) і [2; +).

Розв’язання.

1.   Одночасно до кожного з двох даних числових проміжків входять числа, які більші за число 0 або дорівнюють йому і менші від числа 2 або дорівнюють йому (мал. 15). Отже, перерізом даних числових проміжків є множина: [0;2].

2.   Можемо записати: (-; 2] [0; +) = [0;2].

Мал. 15

3. Перерізом двох даних числових проміжків є множина, яка складається лише з одного числа 3 (мал. 16).

Можемо записати: (-; 3] [3; +) = {3}.

Мал. 16

4. Перерізом двох даних числових проміжків є порожня множина (мал. 17), тобто: (-; 3) (3; +) = 0.

Мал. 17

5. Перерізом двох даних числових проміжків є порожня множина (мал. 18), тобто: (-; 2) [2; +) = 0.

Мал. 18

Зверніть увагу:

• переріз проміжків записують у певному порядку, починаючи з проміжку, що містить найменше з даних чисел;

• у перерізі числового проміжку та числа одержуємо:

саме це число, якщо воно належить даному проміжку;

— порожню множину, якщо дане число не належить даному проміжку.

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

1. Крім таких операцій, як об’єднання та переріз числових множин, у теорії множин використовують ще й такі операції, як різниця множин та доповнення однієї множини до іншої.

Різницею множин А і В називають множину С, яка складається з усіх елементів, які належать множині А й не належать множині В. Позначають: A \ B.

Наприклад, знаходячи різницю множин (-; 2) і {0}, одержуємо: (-; 2) \ {0} = (-; 0) (0; 2).

Якщо B — підмножина множини A, то різницю A \ B називають доповненням множини B до множини A. Позначають: A.

Отже, у розглянутому прикладі одержуємо: множина A = (-; 0) (0; 2) є доповненням множини B = {0} до множини A = (-; 2).

2. Бернард Больцано (чес. Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano; 5 жовтня 1781 р., м. Прага — 18 грудня 1848 р.) — чеський математик, філософ і теолог, автор першої строгої теорії дійсних чисел та один із засновників теорії множин.

Бернард Больцано

За життя Б. Больцано опублікував лише п’ять невеликих праць із математики. Вони значно випереджали науковий рівень того часу й не привернули увагу наукової громадськості. Тільки наприкінці XIX ст., коли ці ідеї незалежно перевідкрили Вейєр-штрасс і Дедекінд, історики виявили й заслужено оцінили твори Больцано.

ПРИГАДАЙТЕ СЛОВА

1. Наведіть приклади числових проміжків.

2. Як зображають числові проміжки?

3. У якому випадку в записі числового проміжку ставлять круглу дужку?

4. У якому випадку в записі числового проміжку ставлять квадратну дужку?

5. Сформулюйте означення об’єднання двох числових множин.

6. Як позначають об’єднання двох числових множин?

7. Сформулюйте означення перерізу двох числових множин.

8. Як позначають переріз двох числових множин?

РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

69'. Прочитайте запис:

70'. Чи правильно, що:

1) число 1 належить проміжку:

а) (1; + ∞);

б) [1; + ∞);

2) число -3 не належить проміжку:

а) [-3; 7];

б) [-3;7) ;

в) (-3;7];

г) (-3;7);

3) число 7 належить проміжку:

а) [-3; 7];

б) [-3;7) ;

в) (-3;7];

г) (-3;7)?

71'. На якому з малюнків 19-22 зображено проміжок:

1) [-1; 4];

2) [-1; 4);

3) (-1; 4];

4) (-1; 4) ?

Мал. 19

Мал. 20

Мал. 21

Мал. 22

72'. Чи правильно записано дію знаходження об’єднання проміжків (3; +∞) і (-; 2]: 1) (3; +∞) + (-; 2]; 2) (3; +∞) (-»; 2]; 3) (-; 2] и (3; +)?

73'. Чи правильно записано дію знаходження перерізу проміжків (-3; +∞) і (-; 2]: 1) (-3; +∞) - (-; 2]; 2) (-; 2] (-3; +∞); 3) (-; 2] (-3; +∞)?

74°. Запишіть проміжки, зображені на малюнках 23, 24.

Мал. 23

Мал. 24

75°. Запишіть проміжок, зображений на малюнку 25.

Мал. 25

76°. Дано проміжки:

1) [1; +∞);

2) (-∞; -1];

3) (0; 5);

4) [-3; 2].

Чи належить указаному проміжку число: а) 1; б) -1; в) 0; г) 3?

77°. Чи є множиною розв’язків нерівності х -5 числовий проміжок:

1) (-5; + ∞);

2) [-5;+∞);

3) (-∞; - 5);

4) (-∞;-5]?

78°. Чи є множиною розв’язків нерівності х<3 числовий проміжок:

1) (3; + ∞);

2) [3; +∞) ;

3) (-∞;3);

4) (-∞;3]?

79°. На координатній прямій позначте числовий проміжок, що є множиною розв’язків нерівності:

Запишіть одержаний числовий проміжок.

80°. На координатній прямій позначте числовий проміжок, що є множиною розв’язків нерівності:

1) х > ;

2) х < 0 ;

3) х ≤ -2 ;

4) -2 ≤ х ≤ 2 .

Запишіть одержаний числовий проміжок.

81°. Чи належить проміжок (0;1) до множини розв’язків нерівності:

1) 0 ≤ х ≤ 1;

2) х >0 ;

3) х <1;

4) 0 < х <1?

82°. Чи належить проміжок (-2; 0) до множини розв’язків нерівності:

1) -2 ≤ х ≤ 0;

2) х < 0;

3) х >-2;

4) -2 < х < 0?

83°. Запишіть усі цілі числа, що належать проміжку:

1) (-1;3);

2) [-1;3);

3) [-1;3;

4) (-1;3 ].

84°. Запишіть найбільше та найменше ціле число, що належить проміжку:

1) (-1;5);

2) [-1;б);

3) [-1; 5];

4) (-1;6].

85°. Запишіть усі цілі числа, що належать проміжку:

1) (-2;2);

2) [-2; 2) ;

3) [-2; 3];

4) (-2;3].

86°. Запишіть усі дроби виду , що належать проміжку (2; 3,5) , якщо: 1) а = 2; 2) а = 3; 3) а = 4; 4) а = 5.

87°. Запишіть усі дроби виду , що належать проміжку (1,5; 3) , якщо: 1) b = 2; 2) b = 3.

88°. Чи правильно, що об’єднанням проміжків (-1;4) і (2; 7) є проміжок:

1) (-1; 2);

2) (4; 7);

3) (-1;7);

4) (2; 7)?

Відповідь поясніть.

89°. Чи правильно, що об’єднанням проміжків [-2;3) і (0;2) є проміжок:

1) (-2; 2);

2) [-2; 2);

3) (0;3);

4) [-2;3) ?

Відповідь поясніть.

90°. Чи правильно, що об’єднанням проміжків [-1;1] і (-2;3) є проміжок:

1) (-1;3);

2) [-1;3);

3) (-2; 1];

4) (-2;3 ?

Відповідь поясніть.

91°. Чи правильно, що перерізом проміжків (-2;5) і (3;7) є проміжок:

1) (-2; 5);

2) (3;5);

3) (-5; 7);

4) (2; 3)?

Відповідь поясніть.

92°. Чи правильно, що перерізом проміжків [-2; -1) і (-1,5; 1) є проміжок:

1) (-2;1);

2) [-2; 1);

3) (-1,5; -1);

4) [-2; -1,5)?

Відповідь поясніть.

93°. Чи правильно, що перерізом проміжків [-1;5] і (-2;0) є проміжок:

1) (-1; 0);

2) [-2; -1);

3) (-2; 5];

4) [-1;0)?

Відповідь поясніть.

94. Для кожного значення а, що набуває лише цілих значень із проміжку -1,2 < а < 2 , запишіть числовий проміжок, який є множиною розв’язків подвійної нерівності 3а - 2 < х < 2а + 3, та зобразьте його.

95. Для кожного значення а, що набуває лише цілих значень із проміжку -0,7 < а < 2 2/3, запишіть числовий проміжок, який є множиною розв’язків подвійної нерівності 2а - 1 < х < 3а + 1, та зобразьте його.

96. Дано: а < b < с . Виконайте дію:

97. Дано: a < d < b < c . Виконайте дію:

98. Дано: x < t < z < y. Виконайте дію:

99*. За якого найбільшого цілого значення а значення виразу 2а -1 належить проміжку:

100*. За якого найменшого цілого значення a значення виразу 1 - 2а належить проміжку:

101*. За якого найбільшого цілого значення b значення виразу |1 -5b|належить проміжку:

1) (1; 5);

2) [1; 5];

3) (0;1,5);

4) (0; 4] ?

102*. Знайдіть усі цілі значення с такі, що значення виразу |3с — 2| не перевищує значення числового виразу

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

103. Порахуйте суму довжин тих сторін темно-помаранчевих трикутників, які не є сторонами жовтих трикутників (мал. 26). Якому проміжку належить це число, якщо відомо, що всі трикутники рівносторонні зі стороною завдовжки 5 см:

1) [145;155];

2) [125;135];

3) [135; 145];

4) [120;130];

5) [130;140]?

Мал. 26

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

104. Спростіть вираз:

105. Одне число дорівнює 120, друге — становить 50 % першого, а третє — 25 % другого. Знайдіть середнє арифметичне цих чисел.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити