Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 1 НЕРІВНОСТІ

§ 4. ЛІНІЙНІ НЕРІВНОСТІ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

1. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

Із попередніх параграфів ви вже знаєте основні відомості про нерівності, їхні властивості та особливості розв’язків. У даному параграфі ми розглянемо, як саме розв’язують один з видів нерівностей з однією змінною — лінійні нерівності.

Лінійними нерівностями з однією змінною називаються нерівності виду: ах > b , ах < b , ах < b , ах > b , де х — змінна, а і b — деякі числа.

Задача 1. Розв’яжіть нерівність 5х > 12.

Розв’язання. Виконаємо рівносильні перетворення заданої нерівності:

5х > 12,

х > 12 : 5,

х > 2,4.

Позначимо на координатній прямій проміжок, що є множиною розв’язків одержаної нерівності (мал. 27).

Мал. 27

Отже, х (2,4; +).

Як же розв’язати складніші нерівності з однією змінною?

За допомогою властивостей рівносильності нерівностей такі нерівності зводять до лінійних нерівностей. Розглянемо приклади.

Задача 2. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Позбудемося знаменників у заданій нерівності. Для цього спочатку знайдемо НСК (4; 6; 12) = 12, а потім помножимо обидві частини нерівності на число 12 (оскільки це число є додатним, то знак нерівності не змінюємо):

2х - 3 (х -1) + х 24 .

Тепер у лівій частині нерівності розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:

2х - 3х + 3 + х 24,

2х - 3х + х 24 - 3,

0 · х 21.

Якщо в останню нерівність замість змінної х підставити будь-яке дійсне число, то одержимо правильну числову нерівність: 0 21. Тому множиною розв’язків початкової нерівності є проміжок (-; + ).

Зверніть увагу: проміжок (-; + ) — це множина дійсних чисел R, тому відповідь до задачі 2 можна записати так: х (-; + ∞ ) , або, що те саме, х R .

Задача 3. Розв’яжіть нерівність 5(2х - 1) - 2(3 + 5х) - 13.

Розв’язання. Спочатку розкриємо дужки в лівій частині нерівності, а потім зведемо подібні доданки, залишивши доданки зі змінною в лівій частині нерівності:

10х - 5 - 6 -10х ≤ -13,

10х - 10х ≤-13 + 5 + 6,

0 · х -2 .

Якщо в останню нерівність замість змінної х підставити будь-яке дійсне число, то одержимо неправильну числову нерівність:0 -2 . Тому початкова нерівність не має розв’язків, тобто множина її розв’язків — порожня: 0.

Зверніть увагу:

запис х не має змісту.

2. ДОВЕДЕННЯ НЕРІВНОСТЕЙ

У курсі алгебри 7-го класу ви навчилися доводити тотожності. Пригадайте, які способи ви використовували для цього.

Чи можна аналогічно доводити нерівності? Так.

Для доведення певної нерівності можна: 1) знайти різницю її правої та лівої частин і порівняти з нулем одержаний вираз; 2) рівносильними перетвореннями даної нерівності звести її до очевидної нерівності; 3) використати відому нерівність. Розглянемо приклади.

Задача 4. Доведіть нерівність а + 2, якщо а >0.

Розв’язання Знайдемо різницю лівої і правої частин нерівності:

Порівняємо з нулем одержаний вираз. Оскільки за умовою а > 0 , а вираз (а -1)2 0 за будь-яких значень змінної а, то 0.

Отже, нерівність а + 2 справджується для будь-яких а > 0, що й треба було довести.

Задача 5. Доведіть нерівність , якщо а0 , b0.

Розв’язання. Використаємо допоміжну нерівність ( -)2 ≥ 0 , яка справджується для будь-яких невід’ємних чисел а і b. Розкривши за формулою цей квадрат різниці та застосувавши рівносильні перетворення, одержимо:

Отже, нерівність справджується для будь-яких а 0 і b 0, що й вимагалося довести.

Ви знаєте, що вираз є середнім арифметичним чисел а і b, а вираз — їхнім середнім геометричним. Доведена в задачі 5 нерівність указує на зв’язок цих двох величин. Цю нерівність називають нерівністю Коші — на честь французького математика Огюстена Луї Коші (1789-1857).

Зверніть увагу: середнє арифметичне двох додатних чисел не менше від їх середнього геометричного.

Під час доведення складніших нерівностей можна використовувати раніше доведені нерівності, наприклад, нерівність Коші.

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

1. У завданнях ДПА, ЗНО часто пропонують розв’язати різноманітні завдання з параметром. Розглянемо, як розв’язати найпростішу лінійну нерівність із параметрами.

Задача 6. Розв’яжіть нерівність ах > b.

Розв’язання. Розглянемо такі випадки:

1) якщо а = 0, b R, то одержимо нерівність: 0 · х > b. Залежно від значень, яких набуває параметр Ь, потрібно розглянути такі випадки:

а) b < 0, тоді нерівність виконується за будь-яких значень змінної х, тобто х R;

б) b 0 , тоді нерівність не має розв’язків;

2) якщо а 0, b R, то одержимо нерівність: а · х > b. Далі потрібно розглянути такі випадки:

а) а > 0 , тоді поділимо обидві частини нерівності на додатне число а (при цьому знак нерівності не змінимо): х > . У цьому випадку множиною розв’язків є числовий проміжок

б) а < 0 , тоді поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число а (при цьому знак нерівності змінимо): х < . У цьому випадку множиною розв’язків є числовий проміжок

Аналогічно розв’язують нерівності виду: ах < b, ахb, ах b.

2. Огюстен Луї Коші (21 серпня 1789 р.- 23 травня 1857 р.) - видатний французький математик, член Паризької академії наук (1816), Петербурзької академії наук (1831). Коші закінчив Політехнічну школу (1805-1807) і Школу мостів і шляхів (1810) у Парижі. Деякий час працював інженером шляхів сполучення, а починаючи з 1813 р., зайнявся наукою та викладанням. У 1816 р. праця Коші з теорії хвиль на поверхні важкої рідини одержала першу премію на конкурсі Паризької академії наук. Після цієї перемоги Коші запрошують у Політехнічну школу, Сорбонну (фр. Sorbonne) й один з найпрестижніших вищих навчальних закладів Франції - Колеж де Франс (фр. Collège de France). Усього за життя він написав й опублікував понад 800 робіт з арифметики й теорії чисел, алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь, теоретичної та небесної механіки, математичної фізики тощо. На честь Коші названо астероїд головного поясу, відкритий 29 квітня 2000 р. (16249 Cauchy).

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Які нерівності називаються лінійними нерівностями з однією змінною? Наведіть приклади.

2. Як розв’язують лінійні нерівності з однією змінною?

3. Якими способами можна доводити нерівності?

РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

106'. Чи є число 1 розв’язком нерівності:

1) 2х > 5;

2) 2х < 5;

3) 2х >-5;

4) 2х ≤ 2?

107'. Чи є число -1 розв’язком нерівності:

1) 2х > 3;

2) 2х <-3;

3) 2х >-5;

4) 2х ≥-2?

108'. Чи правильно, що розв’язком нерівності x >-3 є проміжок:

1) (-∞; -3);

2) (3; + ∞);

3) (-3; +∞);

4) (-∞; 3)?

109'. Чи правильно, що розв’язком нерівності x ≤ 1,5 є проміжок:

1) (-∞; -1,5];

2) [-1,5; +∞);

3) [1,5; +∞);

4) (-∞; 1,5]?

110'. Чи правильно, що розв’язком нерівності -1,2 ≤ x ≤ 1,3 є проміжок:

1) [-1,3; -1,2];

2) [-1,2; 1,3];

3) [1,2; 1,3];

4) [-1,3; 1,2]?

111°. Розв’яжіть нерівність:

112°. Розв’яжіть нерівність:

113°. Розв’яжіть нерівність:

114°. Розв’яжіть нерівність:

115°. Розв’яжіть нерівність:

116°. Розв’яжіть нерівність:

117. Розв’яжіть нерівність:

118°. Розв’яжіть нерівність:

119°. Розв’яжіть нерівність:

120°. Чи є рівносильними нерівності:

1) 5х - 2 > 4х + 2 і х > 4;

2) 2х +1 ≤ 3х - 5 і х ≤ 6;

3) 3(х -1) < 4х - 3 і х > 0;

4) 5(х -1) ≥ 10 і х ≤ 3?

121°. Розв’яжіть нерівність:

122°. Розв’яжіть нерівність:

1) 4х + 2 ≤ Зх + 8;

2) 3(1 + х) ≥ 2х +1;

3) 5х-2 ≥ Зх - 4;

4) 2(1 - х) ≥ 3х + 5.

123°. За яких значень а набуває додатних значень вираз:

1) 2а + 3(2 -а);

2) 5а - (4а+ 3);

3) -2а - (6 - а)?

124°. За яких значень 5 набуває від’ємних значень вираз:

1) 3b + 2(b-2);

2) 4b - (4 + 2b);

3) b - (5 - 2b)?

125. Розв’яжіть нерівність:

126. Розв’яжіть нерівність:

127. Розв’яжіть нерівність:

128. Розв’яжіть нерівність:

129. Розв’яжіть нерівність:

130. Розв’яжіть нерівність:

131. Доведіть нерівність:

1) 2 +1 4а , якщо а — будь-яке число;

2) а2 - аb + b2 аb , якщо а, b — будь-які числа;

3) а4 +16 8а + 2а3, якщо а — будь-яке число.

132. Доведіть нерівність:

1) а2 + 2, якщо а 0;

2) + 2, якщо аb > 0;

3) + 4, якщо а > 0.

133. Доведіть нерівність:

1) а3 + b3 а2b + аb2, якщо а + b 0 ;

якщо а > 0, b > 0 ;

3) (а2 - b2 ) b (а - b)2, якщо а, b — будь-які числа;

4) а4 + b4 а3b + аb3, якщо а 0, b 0 .

134*. Доведіть нерівність:

1) a2 + b2 + c2 > ab + ac + bc , якщо a, b, c — будь-які числа; ab ac bc

2) + + b ≥ a + b + c , якщо a > 0, b > 0, c > 0;

3) a4 + b4 + c4 abc (a + b + c) ,якщо a, b, c — будь-які числа.

135*. Розв’яжіть нерівність залежно від параметра a:

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

136. Сім’я Семеренків — тато, мама, сини Андрій (школяр) і Юрко (дошкільник) — вирішила на вихідних здійснити прогулянку на пароплаві поблизу Запоріжжя. Вартість квитка для дорослого — 80 грн. Діти від семи до 14 років катаються за півціни, а от для малечі віком до семи років прогулянка безкоштовна. Андрієві напередодні виповнилося 14 років, тому батьки вирішили запросити на прогулянку ще й кількох його однокласників. Із сімейного бюджету на квитки для подорожі було виділено 500 грн.

Скількох однокласників зможе запросити на таку прогулянку Андрій, якщо його найкращому другові вже виповнилося 14 років, а інші однокласники молодші від нього?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

137. Графік функції у = 6х - а проходить через точку А(2; 18). Знайдіть значення а.

138. Розв’яжіть рівняння:



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити