Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 1 НЕРІВНОСТІ

§ 5. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

1. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

У попередніх параграфах ви навчилися розв’язувати лінійні нерівності з однією змінною; також знаєте, як знайти переріз двох числових множин.

Якщо дано кілька нерівностей з однією змінною, то як знайти ті значення змінної х, які одночасно задовольняють усі нерівності? У такому випадку кажуть, що треба розв’язати систему цих нерівностей. Розглянемо ситуацію.

Ситуація. Якщо на першу частину шляху завдовжки 50 км мотоцикліст витратить не більш як 2 год, то на другу його частину завдовжки 90 км, їдучи з тією самою швидкістю, він зможе витратити більш ніж 3 год. З якою швидкістю потрібно їхати мотоциклістові?

Розв’язання. Позначимо швидкість мотоцикліста через х. Тоді можемо скласти нерівності: 50 ≤ 2х та 90 > 3х . Складаємо систему:

Розв’яжемо кожну нерівність окремо — так, як це робили в попередньому параграфі:

Множиною спільних розв’язків одержаних нерівностей є переріз множин їхніх розв’язків, тобто проміжок: [25; 30) (мал. 28).

Мал. 28

Отже, мотоциклістові потрібно їхати зі швидкістю від 25 км/год до 30 км/год, але не набираючи швидкості 30 км/год.

Розв’язок системи нерівностей можна записати двома способами: 25 ≤ х < 30 або х [25; 30).

Розв’язком системи двох нерівностей з однією змінною є всі ті значення змінної, які одночасно задовольняють обидві нерівності.

Розв’язати систему двох нерівностей з однією змінною — означає знайти всі її розв’язки або показати, що розв’язків немає.

Зверніть увагу: множиною розв’язків системи двох лінійних нерівностей з однією змінною є перетин множин розв’язків нерівностей, що утворюють систему.

Задача 1. Розв’яжіть систему нерівностей:

Розв’язання 1. Спочатку виконаємо рівносильні перетворення кожної нерівності системи:

Зобразимо розв’язки нерівностей на координатній прямій (мал. 29).

Мал. 29

Як бачимо, нерівності даної системи не мають спільних розв’язків.

Отже, відповідь запишемо так: 0.

2. Спочатку виконаємо рівносильні перетворення кожної нерівності системи:

Зобразимо розв’язки нерівностей на координатній прямій (мал. 30).

Мал. 30

Як бачимо, спільним розв’язком двох нерівностей даної системи є лише одне число 4.

Отже, відповідь запишемо так: х {4}.

2. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ, ЩО МІСТЯТЬ ЗМІННУ ПІД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

Задача 2. Розв’яжіть нерівність:

1) |х| < 3;

2) |2х| ≥ 5;

3) |х| > -1;

4) |х| ≤ -2.

Розв’язання. 1. Використовуючи означення модуля числа, запишемо дану нерівність у вигляді двох систем:

Розв’яжемо кожну систему окремо:

а) множиною розв’язків першої системи є проміжок [0;3) (мал. 31);

Мал. 31

б)

Множиною розв’язків цієї системи є проміжок (-3;0) (мал. 32).

Мал. 32

Загалом, множина розв’язків початкової нерівності |х| < 3 — це об’єднання проміжків, що є множинами розв’язків одержаних систем (мал. 33). Отже, х (-3; 3).

Мал. 33

2. Скориставшись означенням модуля числа, запишемо дану нерівність у вигляді двох систем:

Розв’яжемо кожну систему окремо.

а)

Множиною розв’язків цієї системи є проміжок [2,5; +∞) (мал. 34);

Мал. 34

б)

Множиною розв’язків цієї системи є проміжок (-∞;-2,5] (мал. 35)

Мал. 35

Загалом, множина розв’язків початкової нерівності |2х| 5 — це об’єднання проміжків, що є множинами розв’язків одержаних систем (мал. 36). Отже, х (-;-2,5] [-;-2,5)

Мал. 36

3. Оскільки |х|за будь-яких значень змінної х є невід’ємним числом, то нерівність |х| > -1 виконується за будь-яких значень змінної х. Отже, множиною розв’язків даної нерівності є проміжок (- ∞; + ∞).

4. Оскільки |х| за будь-яких значень змінної х є невід’ємним числом, то нерівність |х| ≤ -2 не виконується за будь-яких значень змінної х. Отже, дана нерівність не має розв’язків. У відповідь записуємо: .

Зверніть увагу:

1) нерівність |f(х)| < а, де а — додатне число, рівносильна подвійній нерівності -a < f (х) < a, або ж системі нерівностей (мал. 37).

Мал. 37

2) нерівність|f(х)| > a , де а — додатне число, рівносильна сукупності нерівностей (мал. 38).

Мал. 38

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

Системи нерівностей, й особливо нерівностей із двома змінними, застосовують для аналітичного опису частин площини (областей, смуг тощо), а також відомих вам плоских геометричних фігур. Розглянемо приклади.

Задача 3. Знайдіть множину точок площини, координати яких задовольняють систему нерівностей:

Розв’язання Застосуємо графічний спосіб. Для цього в одній системі координат побудуємо графіки лінійних функцій: у = х і у = -1 - х (мал. 39). Оскільки нерівність у < х має строгий знак, то всі точки, що лежать на прямій у = х, не входитимуть до шуканої множини. Точки ж прямої у = -1- х, навпаки, входитимуть до шуканої області, оскільки нерівність у ≥ -1-х має нестрогий знак.

Мал. 39

Прямі у = х та у = -1 - х розділили площину на чотири області. Шукана множина точок знаходиться нижче від прямої у = х та вище за пряму у = -1 - х. Переріз цих множин і є шуканою множиною (мал. 40).

Мал. 40

Задача 4. Знайдіть множину точок площини, координати яких задовольняють нерівність: |х| + |y| 1.

Розв’язання. Розкриємо кожний модуль за означенням та переберемо всі можливі варіанти обмежень на змінні. Одержимо чотири системи:

Мал. 41

Розв’язавши кожну систему графічним способом (аналогічно до задачі 3), одержимо шукану область (мал. 41).

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Наведіть приклад системи двох нерівностей з однією змінною.

2. Що називають розв’язком системи двох лінійних нерівностей з однією змінною?

3. Що означає розв’язати систему двох нерівностей з однією змінною?

4. Як розв’язують нерівність виду |f(х)| < а ?

5. Як розв’язують нерівність виду |f(х)| > а ?

РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

139'. Чи є число 2 розв’язком системи нерівностей:

140'. Яке з чисел -1; 0; 1 є розв’язком системи нерівностей:

141'. Назвіть два цілі числа, що є розв’язками системи нерівностей:

142°. Розв’яжіть систему нерівностей:

143°. Розв’яжіть систему нерівностей:

144°. Розв’яжіть систему нерівностей:

145°. Розв’яжіть систему нерівностей:

146 . Розв’яжіть систему нерівностей:

147°. Розв’яжіть систему нерівностей:

148°. Розв’яжіть систему нерівностей:

149°. Розв’яжіть систему нерівностей:

150. Розв'яжіть систему нерівностей:

151°. Розв’яжіть подвійну нерівність:

1) 3 ≤ х +1 ≤ 8; 3) -8 ≤ 3х + 4 ≤ 1;

2) -3 < 2х +1 < 3; 4) -4 < < 4.

152. Розв’яжіть систему нерівностей:

153. Розв’яжіть систему нерівностей:

154. Розв’яжіть систему нерівностей:

155. Розв’яжіть систему нерівностей:

156. Розв’яжіть систему нерівностей:

157. Знайдіть усі цілі числа, що є розв’язками системи нерівностей:

158. Розв’яжіть нерівність:

1) |х| ≤ 4;

2) |-х| ≤ 2,5;

3) |х| ≤ -3;

4) |2х| ≤ 6;

5) |х| > 3;

6) |х| ≥-1;

7) |3х| > 6;

8) -|-3х| ≥ 5.

159. Розв’яжіть нерівність:

1) |2х -1| ≤ 3;

2) 3|х -1| < 12;

3) |1- 3х| ≥ 7;

4) -2 |х +1| < 8;

5) 2 -|х| ≤ 3х +1;

6) 1 + 2 |х| > 2х -1.

160. Розв’яжіть нерівність:

1) |х-1| ≤ х +1;

2) 3|1-х| < 2-Зх;

3) 2|1-3х| ≥ 7 - 6х;

4) -2|1- х| < 8 + 2х.

161. Розв’яжіть нерівність:

1) |х| ≤ -1;

2) |-х| ≥ 3;

3) |2-3х| ≥ 5;

4) -3 І х -1І < 15.

162. Розв’яжіть систему нерівностей:

163*. За яких значень параметра а система нерівностей: а) має розв’язки; б) не має розв’язків:

164*. Доведіть нерівність:

1) |а + b| < |а| + |b| , якщо а, b — будь-які числа;

2) ||а| - |b|| |а- b| , якщо а, b — будь-які числа.

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

165. У дідуся на дачі є чотири однакові бочки для води. В одну бочку вміщується менш ніж 10 відер води, а в усі чотири разом — більш ніж 34 відра води. Скільки повних відер води вміщується в одну бочку?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

166. Розв’яжіть рівняння:

1) х(х - 1) = 30;

2) 2х(2х + 3) = (3 + х)2.

167. Шматок сплаву міді з оловом масою 20 кг містить 55 % олова. Скільки чистого олова потрібно додати до цього шматка, щоб новий сплав містив 60 % олова?

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Що таке числова нерівність? Наведіть приклади.

2. У якому випадку число а називають більшим за число b? А меншим від числа b?

3. Яка числова нерівність є правильною; неправильною?

4. Сформулюйте властивість транзитивності числових нерівностей.

5. Сформулюйте теорему про додавання одного й того самого числа до обох частин числової нерівності.

6. Сформулюйте теорему про множення обох частин числової нерівності на одне й те саме додатне число.

7. Сформулюйте теорему про множення обох частин числової нерівності на одне й те саме від’ємне число.

8. Сформулюйте теорему про додавання числових нерівностей.

9. Сформулюйте теорему про множення числових нерівностей.

10. Наведіть приклади нерівностей зі змінними.

11. Що називається розв’язком нерівності зі змінною?

12. Що означає — розв’язати нерівність зі змінною?

13. Які нерівності називають рівносильними?

14. Сформулюйте властивості рівносильності нерівностей.

15. Наведіть приклади подвійних нерівностей.

16. Як зображають числові проміжки?

17. Сформулюйте означення об’єднання двох числових множин.

18. Сформулюйте означення перерізу двох числових множин.

19. Які нерівності називаються лінійними нерівностями з однією змінною? Наведіть приклади.

20. Як розв’язують нерівності з однією змінною?

21. Якими способами можна доводити нерівності?

22. Наведіть приклад системи двох нерівностей з однією змінною.

23. Що називають розв’язком системи двох лінійних нерівностей з однією змінною?

24. Що означає — розв’язати систему двох нерівностей з однією змінною?

25. Як розв’язують нерівність виду |f(х)| < а ?

26. Як розв’язують нерівність виду |f(х)| > а ?

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

Уважно прочитайте задачі та знайдіть серед запропонованих відповідей правильну. Для виконання тестового завдання потрібно 10 - 15 хв.

№ 1

1° Якому з наведених у відповідях чисел може дорівнювати значення виразу а - b, якщо а < b?

A. 1,01.

Б. 0.

B. 0,11.

Г. -0,1.

2° Скільки цілих чисел належать проміжку [-1; 3) ?

A. П’ять.

Б. Чотири.

B. Три.

Г. Два.

3°Яка з наведених у відповідях нерівностей не має розв’язків?

A. х3 <-1.

Б. |х| < 2 .

B. |х| >-1.

Г. х4 <-5.

4°Перерізом проміжків [-1,7;4,3) і [-1,5;4,5] є проміжок:

A. [-1,5; 4,3).

Б. [-1,5; 4,5].

B. [-1,7; 4,3).

Г. [-1,7; 4,5].

5* Оцініть значення виразу 1 - 6а, якщо -1 а 4.

А. [-26; 10].

Б. [-24; 11].

В. [-26; 11]

Г. [-24; 10].

1° Множина розв’язків нерівності 4х < -20 містить...

A. лише додатні числа.

Б. лише від’ємні числа.

B. лише число 0.

Г. і додатні, і від’ємні числа.

2° Яке з наведених у відповідях чисел є розв’язком системи

A. 3.

Б. -3.

B. 0,55.

Г. -2,1.

3° Розв’яжіть нерівність х + 2 0.

4°Розв’яжіть систему нерівностей

5* Розв’яжіть нерівність: |4х -1| 4х +1.

A. 0.

Б. [0; +).

B. (-;0].

Г. (-; +) .

РОЗДІЛ 2 КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

У розділі дізнаєтеся:

про властивості функцій;

як побудувати графік функції за допомогою перетворень відомого графіка;

що таке квадратична функція та які її властивості;

що таке квадратна нерівність з однією змінною та як її розв’язувати;

що таке система рівнянь із двома змінними та як її розв’язувати;

що таке математична модель прикладної задачі;

як розв’язувати прикладні задачі методом математичного моделювання;

як застосовувати вивчений матеріал на практиці




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити