Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 2 КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

У розділі дізнаєтеся:

про властивості функцій;

як побудувати графік функції за допомогою перетворень відомого графіка;

що таке квадратична функція та які її властивості;

що таке квадратна нерівність з однією змінною та як її розв’язувати;

що таке система рівнянь із двома змінними та як її розв’язувати;

що таке математична модель прикладної задачі;

як розв’язувати прикладні задачі методом математичного моделювання;

як застосовувати вивчений матеріал на практиці

§ 6. ФУНКЦІЯ ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

1. ПОНЯТТЯ ФУНКЦІЇ

Із курсу алгебри 7-го класу ви вже знаєте, що таке функція та окремі її властивості. Пригадаємо основні відомості про функції.

Правило, згідно з яким кожному значенню незалежної змінної ставиться у відповідність єдине значення залежної змінної, називається функцією.

Незалежну змінну називають аргументом функції, а залежну змінну — функцією. Наприклад, для функції у =f(х) змінна x — це незалежна змінна (аргумент функції), змінна у — це залежна змінна (функція).

Множину всіх допустимих значень аргументу називають областю визначення функції, а множину всіх відповідних значень залежної змінної називають областю значень функції.

Область визначення та область значень функції коротко позначають D(f) і E(f) відповідно.

Задача 1. Знайдіть область визначення функції:

Розв’язання. 1. Вираз x3 - x має зміст для всіх дійсних значень аргументу, тому D(f) = (-; +).

2. Вираз має зміст тільки тоді, коли підкореневий вираз набуває невід’ємних значень: x - 2 0, x 2. Тому D(f) = [2; +).

3. Вираз має зміст для всіх дійсних значень аргументу, крім тих, які перетворюють знаменник на нуль: x2 - 4x 0; x(x - 4) 0;

x 0, x 4. Тоді D(f) = (-; 0) (0; 4) (4; +).

4. Вираз + є сумою двох виразів. З’ясуємо, коли кожний з них має зміст. Вираз має зміст тільки тоді, коли підкореневий вираз набуває невід’ємних значень. Вираз має зміст тільки тоді, коли підкореневий вираз набуває додатних значень. Одержали систему:

Отже,

D(f) = (1; +).

Зверніть увагу:

якщо вираз, що задає функцію:

• є многочленом, то D(f) = (-; +);

• є дробово-раціональним виразом , то область визначення функції є множиною всіх дійсних чисел, крім тих, для яких h(х) = 0;

• є виразом , то область визначення функції є множиною всіх дійсних чисел, за яких підкореневий вираз набуває невід’ємних значень: g(х) 0 .

Щоб задати функцію, використовують такі способи: описовий, аналітичний, табличний, графічний. У математиці функції задають переважно аналітично (формулою) або графічно. Наприклад, формулами задано функції у = kх + b, у = х2, у = , у = , які ви вивчали в 7-8-х класах. Графіки цих функцій мають відповідні назви (таблиця 4).

Таблиця 4

Продовження таблиці 4

Задача 2. Функцію задано формулою y = |х|. Задайте її графічно.

Розв’язання D(f) = (-; +).

Розкриємо модуль за означенням, тоді одержимо:

Першу частину графіка утворюють ті точки прямої у = -х, що побудовані для х < 0, тобто які розміщені ліворуч від осі ординат (мал. 42). Другу частину графіка утворюють ті точки прямої у = х, що побудовані для х 0, тобто які лежать на осі ординат, і ті, що розміщені праворуч від неї (мал. 43). Остаточний графік функції у = |х| зображено на малюнку 44.

Мал. 42

Мал. 43

Мал. 44

У математиці розглядають різні функції. Кожну з них можна схарактеризувати, тобто описати її властивості. Окремі властивості функцій вивчають у школі. Зокрема, ви вже знаєте, що таке область визначення й область значень функції, яка функція є зростаючою (спадною). Зараз ви дізнаєтеся про такі властивості функції, як нулі функції, проміжки знакосталості, проміжки зростання (спадання), найбільше та найменше значення функції. Ці властивості функцій використовують під час розв’язування задач.

2. НУЛІ ФУНКЦІЇ

Значення аргументу, за якого значення функції дорівнює нулю, називається нулем функції.

Як знайти нулі функції? Розглянемо приклади.

Задача 3. Знайдіть нулі функції у = х2 + 6х.

Розв’язання. D(f) = (-; +). Значення функції має дорівнювати нулю, тому у = 0. Тоді х2 + 6х = 0. Розв’яжемо одержане рівняння:

х(х + 6) = 0,

х1 = -6 і х2 = 0.

Отже, х1 = -6 і х2 = 0 — нулі функції у = х2 + 6х.

Зверніть увагу:

щоб знайти нулі функції, яку задано формулою у = f(х), потрібно знайти корені рівняння f(х) = 0.

Задача 4. Знайдіть нулі функції, графік якої зображено на малюнку 45.

Розв’язання. Щоб знайти нулі функції, потрібно на графіку функції знайти точки з координатами (х; 0), тобто точки перетину графіка функції з віссю абсцис. За малюнком знаходимо нулі функції (абсциси цих точок): х1 = -2, х2 = 1, х3 = 3.

Мал. 45

Зверніть увагу:

щоб знайти нулі функції, яку задано графічно, потрібно визначити абсциси точок перетину графіка функції з віссю абсцис.

Чи завжди функція має нулі? Ні. Наприклад, функція у = нулів не має.

3. ПРОМІЖКИ ЗНАКОСТАЛОСТІ

Розглянемо графік функції у = f(х) (мал. 45).

На проміжках (-2; 1) і (3; +) графік функції розміщений вище за вісь абсцис. Тому на цих проміжках ординати всіх точок графіка набувають лише додатних значень: у > 0. Кажуть: функція набуває додатних значень (зберігає додатний знак) на множині: (-2; 1) (3; +).

На проміжках (-; -2) і (1; 3) графік функції розміщений нижче від осі абсцис. Тому на цих проміжках ординати всіх точок графіка набувають лише від’ємних значень: у < 0. Кажуть: функція набуває від’ємних значень (зберігає від’ємний знак) на множині: (-; -2) (1; 3).

Проміжки з області визначення функції, на яких функція зберігає знак, називаються проміжками знакосталості функції.

Чи обов’язково потрібно будувати графік функції у = f(x) для знаходження проміжків її знакосталості? Ні. Якщо функцію задано формулою, то проміжки знакосталості можна знайти, розв’язавши відповідні нерівності: f(х) > 0 або f(х) < 0. Розглянемо приклад.

Задача 5. Знайдіть проміжки знакосталості функції у = 12 - 6х. Розв’язання.

D(f) = (-; +).

1. Знайдемо проміжки, на яких функція набуває додатних значень, тобто f(x) > 0.

12 - 6х > 0, звідси х < 2.

Отже, f(x) > 0, якщо х (-; 2).

2. Знайдемо проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень, тобто f(x) < 0.

12 - 6х < 0, звідси х > 2.

Отже, f(х) < 0, якщо х (2; +).

Загалом, проміжками знакосталості функції у = 12 - 6х є проміжки (-∞; 2) і (2; +∞).

4. ПРОМІЖКИ ЗРОСТАННЯ І СПАДАННЯ ФУНКЦІЇ

Ви вже знаєте, що функція може бути зростаючою чи спадною. Для зростаючої функції характерна така властивість: що більшими є значення аргументу, то більшими є відповідні значення функції. Наприклад, функція у = х є зростаючою (мал. 46). Для спадної функції характерна інша властивість: що більшими є значення аргументу, то меншими є відповідні значення функції. Наприклад, функція у = -х є спадною (мал. 47).

Мал. 46

Мал. 47

Існує багато функцій, які не є зростаючими чи спадними на всій області визначення. Проте на окремих її проміжках можуть мати такі властивості.

Для прикладу, проаналізуємо графік функції у = f(х) (мал. 48) на проміжку [-8; 7]. На проміжках [-8; -6] і [0; 7] функція є сталою (значення функції не змінюється зі зміною аргументу). На проміжку [-6; -4] що більшим є значення аргументу, то меншим є значення функції. Отже, функція спадає на проміжку [-6; -4]. На проміжку [-4; 0] що більшим є значення аргументу, то більшим є значення функції. Отже, функція зростає на проміжку [-4; 0].

Мал. 48

Зверніть увагу:

• функція у = f(х) зростає на проміжку [а; b], якщо для будь-яких х1 і х2, що належать цьому проміжку, з нерівності х2 > х1 випливає нерівність f2) > f1);

• функція у = f(х) спадає на проміжку [а; b], якщо для будь-яких х1 і х2, що належать цьому проміжку, з нерівності х2 > х1 випливає нерівність f2) < f1).

Як з’ясувати, за якої умови, наприклад, лінійна функція у = kх + b є зростаючою, а за якої є спадною? Поміркуємо.

Областю визначення лінійної функції є множина дійсних чисел: D (f) =(∞; +).

Нехай х1 і х2 — довільні значення аргументу з області визначення даної функції, для яких х2 > х1. Тоді х2 - х1 > 0.

Знайдемо для х1 і х2 відповідні значення функції:

f1) = kх1 + b, f(х2) = kх2 + b.

Дослідимо знак різниці f(х2) - f1):

f2) - f1) = kх2 + b - (kх1 + b) = kх2 + b - kх1 - b = kх2 - kх1 = k(х2 - х1).

Оскільки х2 - х1 > 0, то:

1) f(x2) - f1) > 0 за умови, що k > 0

2) f(x2) - f1) < 0 за умови, що k < 0.

Отже, лінійна функція у = kх + b є зростаючою, якщо k > 0, і є спадною, якщо k < 0.

5. НАЙБІЛЬШЕ ТА НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ

Задача 6. Знайдіть найбільше та найменше значення функції за її графіком: 1) на малюнку 49; 2) на малюнку 50.

Мал. 49

Мал. 50

Розв’язання 1. Проаналізуємо графік функції на малюнку 49. На області визначення дана функція не досягає свого найбільшого значення. А от свого найменшого значення у = -9 дана функція набуває в точці з абсцисою -2.

Можемо записати: уmax — не існує, уmin = -9, якщо х = -2.

2. Проаналізуємо графік функції на малюнку 50. На області визначення дана функція не досягає свого найменшого значення. А от свого найбільшого значення у = 4 дана функція набуває в точці з абсцисою 3.

Можемо записати: уmax = 4, якщо х = 3, уmin — не існує.

У старшій школі ви дізнаєтесь і про інші способи знаходження найбільшого та найменшого значень функції.

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

Цілою частиною числа х називають найбільше ціле число, яке не перевищує дане число х. Позначають: [х]. Наприклад, [3,5] = 3, [-3,5] = -4. Дробовою частиною числа х називають різницю х - [х]. Позначають: {х}. Наприклад, {3,5} = 0,5, {-3,5}= 0,5. Відповідно розглядають функції у = [х] (мал. 51) і у = {х} (мал. 52).

Властивості функції у = [х]. Область визначення: D(f) = R. Область значень: E(f) = Z. Нулі функції: х[0;1). Проміжки знакосталості: у < 0, якщо х < 0; у > 0, якщо х ≥ 1.

Мал. 51

Мал. 52

Мал. 53

Властивості функції у = {х}. Область визначення: D(f) = R. Область значень: E(f) = [0;1). Нулі функції: x Z. Проміжки знакосталості: у > 0 для всіх x із області визначення, крім x Z.

Signum- функція (функція знака) — функція, що визначається співвідношеннями (мал. 53):

Властивості функції у = sgn(x). Область визначення: D(f) = R. Область значень: Е(f) = {-1; 0; 1}. Нулі функції: х = 0. Проміжки знакосталості: у < 0, якщо х < 0; у > 0, якщо х > 0.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Сформулюйте означення функції.

2. Що називають аргументом функції?

3. Що таке область визначення функції?

4. Що таке область значень функції?

5. Назвіть способи задання функцій.

6. Наведіть приклади відомих вам функцій.

7. Побудуйте графіки відомих вам функцій.

8. Що таке нуль функції?

9. Що таке проміжки знакосталості?

10. Яка функція є спадною на деякому проміжку; зростаючою на деякому проміжку?

11. Поясніть, що таке найбільше та найменше значення функції.

РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

168'. Прочитайте запис: 1) y = f(x); 2) s = g(t); 3) z = f(j). Назвіть залежну й незалежну змінні.

169'. Чи правильно, що областю визначення функції є множина:

1) усіх можливих значень аргументу;

2) усіх значень залежної змінної?

170'. Чи правильно, що нулі функції є абсцисами точок перетину графіка функції з віссю абсцис?

171'. Наведіть приклад функції, заданої аналітично.

172'. Наведіть приклад функції, заданої графічно. Яка її область визначення та область значень?

173°. Чи правильно, що точка A(-2; 4) належить графіку функції:

1) y = х2;

2) y = x2 + 2х -10;

3) y = Коріньx +18;

4) у = ?

174°. Чи правильно, що точка А(1; -1) належить графіку функції:

1) у = х2;

2) у = х2 + 4х - 6;

3) у = ;

4) у =?

175°. Знайдіть значення функції у = х2 - 5х для:

1) х = -2;

2) х = -1;

3) х = 0;

4) х = 2;

5) х = 4;

6) х = 6.

176°. Заповніть таблицю 5, якщо у = -2х3 - 1.

Таблиця 5

х

-2

-1

0

1

2

y

         

177°. Заповніть таблицю 6, якщо f(x) = .

Таблиця 6

х

-3

-2

0

2

f(х)

       

178°. Знайдіть область визначення функції:

179°. Знайдіть область визначення функції:

180°. Побудуйте графік функції:

1) у = 2,2;

2) у = -х + 4;

3) у = 2х + 8;

4) у = -3.

Знайдіть: 1) область визначення функції; 2) область значень функції; 3) нулі функції.

181°. Побудуйте графік функції:

1) y = 5;

2) у = 7х;

3) y = -х + 5.

Знайдіть: 1) область визначення функції; 2) область значень функції; 3) нулі функції.

182°. Побудуйте графік функції:

1) у = ;

2) у = -;

3) у= ;

4 )у = -.

183°. Побудуйте графік функції:

1) у= -

2) у= .

184°. Для функції y =|x|знайдіть:

1) область визначення;

2) область значень;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) проміжки зростання, проміжки спадання;

6) найбільше та найменше значення функції.

185°. Для функції у = знайдіть:

1) область визначення;

2) область значень;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) проміжки зростання, проміжки спадання;

6) найбільше та найменше значення функції.

186°. Скориставшись малюнками 54, 55, знайдіть:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості функції;

5) проміжки зростання, проміжки спадання;

6) найбільше та найменше значення функції.

Мал. 54

Мал. 55

187°. Скориставшись малюнками 56, 57, знайдіть:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) проміжки зростання, проміжки спадання;

6) найбільше та найменше значення функції.

Мал. 56

Мал. 57

188°. За малюнком 58 визначте:

1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: -2; -1; 0; 1; 2;

2) значення аргументу, якщо значення функції дорівнює: 0; 1,5;

3) знак значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: -1,5; -0,8; 0,25; 1,5; 1,3.

189°. За малюнком 59 визначте:

1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: -2; -1; 0; 1; 2;

2) значення аргументу, якщо значення функції дорівнює: 0; 1;

3) знак значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: -1,3; -0,5; 0,1; 1,7.

Мал. 58

Мал. 59

190°. За малюнком 58 порівняйте значення функції:

1) для х = -1,1 і х = -0,4;

2) для х = -1,2 і х = 1,2;

3) для х = -0,3 і х = 1,4;

4) для х = 0 і х = 0,6.

191°. За малюнком 59 порівняйте значення функції:

1) для х = -1,7 і х = -0,9;

2) для х = -1,3 і х = 1,3;

3) для х = -0,2 і х = 1,2;

4) для х = -1 і х = 2.

192°. Зростаючою чи спадною є функція:

1) у = 3х;

2) у = -8х;

3) у = 5 - х;

4) у = 10 - 9х?

Відповідь поясніть.

193°. Зростаючою чи спадною є функція:

1 )у = х;

2) у = -2х-4;

3) у = 8-х;

4) у = 12-3х ?

Відповідь поясніть.

194°. Зростаючою чи спадною є функція для х > 0:

1) у = ;

2) у = -;

3) у = ;

4) у = -?

Відповідь поясніть.

195°. Зростаючою чи спадною є функція для х < 0:

1) y = -;

2) у = ;

3) у = ?

Відповідь поясніть.

196. Заповніть таблицю 7, якщо

Таблиця 7

 

-2

-1

0

1

2

у

         

197. Заповніть таблицю 8, якщо

Таблиця 8

x

-9

-3

-2

0

1

2

4

8

у

               

198. Заповніть таблицю 9, якщо

Таблиця 9

х

-6

-4

-3

0

1

4

9

16

у

               

199. Складіть таблицю значень функції, заданої формулою у = 2х2 - 3х, де -2 ≤ х ≤ 2 із кроком 0,5.

200. Знайдіть область визначення функції:

201. Знайдіть область визначення функції:

202. Задайте формулою деяку функцію, яка має область визначення:

1) D(f) = (-; +);

2) D(f) = (-; 0);

3) D(f) = (-5; +);

4) D(f) = (-;2) (2; +);

5) D(f) = (-; 1) (1;3) (3; +);

6) D(f) = [5; 8].

203. Задайте формулою деяку функцію, яка має область визначення:

1) D(f) = (-; +);

2) D(f) = (-;1);

3) D(f) = (-; 0) U (0; +);

4) D(f) = (-;-1) U (-1;1) U (1; +).

204. Побудуйте графік деякої функції, для якої:

1) D(f) = (2; 5), E(f) = (4; 8);

2) D(f) = [-3;7], E(f) = [2; 5];

3) D(f) = [-1;0], E(f) = [-1;0];

4) D(f) = (-; +), E(f) = (-; +);

5) D(f) = (-;+), E(f) = (-; 5).

205. Побудуйте графік деякої функції, для якої:

1) D(f) = (1;6), E(f) = (2; 10);

2) D(f) = [-1;1], Е(f) = [-1; 1];

3) D(f) = (-; +), Е(f) = (-3; +).

206. Знайдіть нулі функції:

207. Знайдіть нулі функції:

208. Задайте формулою деяку функцію, яка має нулі:

1) х = -3;

2) х = 0;

3) х = -2, х = 2;

4) х = 1, х = 2, х = 3.

209. Задайте формулою деяку функцію, яка має нулі:

1) х = 4;

2) х = 2;

3) х = -5, х = 5;

4) х = 3, х = 6, х = 9.

210. Побудуйте графік деякої функції, яка має нулі:

1) х = -2, х = -1;

2) х = 0;

3) х = 2, х = 3;

4) х = -7, х = 8;

5) х = 1, х = 2, х = 3;

6) х = -1, х = 0, х = 1.

211. Побудуйте графік деякої функції, яка має нулі:

1) х = -5, х = -4;

2) х = 1;

3) х = -2, х = 0, х = 1.

212. Побудуйте графік деякої функції, яка зростає на проміжку х (-∞; 3] і спадає на проміжку х [3;+∞) .

213. Побудуйте графік деякої функції, яка зростає на проміжку х (-∞; 8] і спадає на проміжку х [8; +∞) .

214. На малюнку 60 дано графік функції у = f(х). За графіком з’ясуйте, скільки коренів має рівняння:

Мал. 60

Мал. 61

215. На малюнку 61 дано графік функції у = f(х). За графіком з’ясуйте, скільки коренів має рівняння:

1) f(x) = 3;

2) f(x) = 0;

3) f(x) = 2x;

4) f(x) = 1 + x;

5) f(x) = ;

6) f(x) = - .

216. Знайдіть область значень функції:

217*. Побудуйте графік функції:

Знайдіть:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) проміжки зростання, проміжки спадання;

6) найбільше та найменше значення функції.

218*. Побудуйте графік функції:

1) у = |х - 5|;

2) у = |х - 5| - 4;

3) у = |х - 5| - х;

4) у = |х - 5|+ х.

Знайдіть:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) проміжки зростання, проміжки спадання;

6) найбільше та найменше значення функції.

219*. Доведіть, що функція у = - зростає на проміжку (0; +∞).

220*. Доведіть, що на проміжку [0; 1] функція у = -х2 - 2х спадає.

221*. Скільки нулів має функція у = залежно від значень параметра а?

222*. Скільки нулів має функція у = х2 - (а + 1)х + а залежно від значень параметра а?

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

223. Залежність відстані, яку проїхав мотоцикліст, від часу задано формулою:

Побудуйте графік даної функції та за графіком визначте її властивості.

224. Шматок льоду, температура якого становить -3 °С, нагрівали. Через 5 хв лід розтанув. А ще через 10 хв температура талої води почала змінюватися від 0 °С до 3 °С. Побудуйте графік залежності температури від часу. Визначте властивості функції.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

225. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:

1) У = 1, У = 2 і у = 3;

2) у = х, у = х + 1 і у = х - 1;

3) у = 2х, у = 2х + 3 і у = 2х + 5;

4) у = х, у = 2х, у = 3х і у = -х.

226. Запишіть у вигляді дробу:

227. Якщо третину книжок із другої полиці перекласти на першу, то на ній стане в 3 рази менше книжок, ніж на першій. Якщо ж із першої полиці перекласти на другу 4 книжки, то книжок на полицях стане порівну. Скільки книжок на кожній полиці?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити