Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 2 КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

§ 7. ПЕРЕТВОРЕННЯ ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ

Побудову деяких графіків функцій іноді важко виконати безпосередньо. Часто для цього виконують перетворення відомих графіків. Розглянемо основні перетворення графіків функцій.

1.ПОБУДОВА ГРАФІКА ФУНКЦІЇ y = -f(x).

Розглянемо функції у = х2 і у = -х2. Значення цих функцій за однакових значень аргументу є протилежними числами: х2 і -х2. Тому графіком функції у = -х2 є парабола.

Щоб побудувати графік функції у = -х2, можна діяти так:

1) на графіку функції у = х2 позначити кілька точок. На малюнку 62 це точки (-2; 4), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4);

2) побудувати точки з такими самими абсцисами, але протилежними ординатами: (-2;-4), (-1; -1), (0; 0), (1; -1), (2; -4);

3) з’єднати їх плавною лінією (мал. 63).

Одержали параболу, вітки якої напрямлені вниз.

Мал. 62

Мал. 63

Параболу у = -х2 можна одержати з параболи у = х2 її відображенням відносно осі ОХ. Так само можна побудувати графік будь-якої функції у = -f(х), якщо графік функції у = f(х) є побудованим (мал. 64). Справді, за однакових значень аргументу значення функцій f(х) і -f(х) є протилежними числами (мал. 65).

Мал. 64

Мал. 65

Графік функції y = -f(x) можна одержати перетворенням відомого графіка, якщо відобразити відносно осі ОХ графік функції y = f(x).

2. ПОБУДОВА ГРАФІКА ФУНКЦІЇ у = аf(x) (а 0).

Розглянемо функції у = х2 і у = 2х2. Значення функції у = 2х2 за деякого не нульового значення х у 2 рази більше за відповідне значення функції у = х2. Якщо х = 0, то у = 2 · 02 = 0. Точка (0; 0) належить графіку функції у = 2х2.

Щоб побудувати графік функції у = 2х2, можна діяти так:

1) на графіку функції у = х2 позначити кілька точок. На малюнку 66 це точки (-2; 4), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4);

2) побудувати точки з такими самими абсцисами, але з більшими у 2 рази ординатами: (-2; 8), (-1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 8);

3) з’єднати їх плавною лінією (мал. 67).

Мал. 66

Мал. 67

Можна сказати, що графік функції у = 2х2 одержали в результаті розтягу параболи у = х2 уздовж осі ординат у 2 рази.

Розглянемо функції у = х2 і у = х2. Значення функції у = х2 за деякого не нульового значення х у 2 рази менше, ніж відповідне значення функції у = х2. Якщо х = 0, то у = · 02 = 0. Точка (0; 0) належить графіку функції у = х2.

Щоб побудувати графік функції у = х2, можна діяти так:

1) на графіку функції у = х2 позначити кілька точок. На малюнку 68 це точки (-2; 4), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4);

2) побудувати точки з такими самими абсцисами, але з меншими у 2 рази ординатами: (-2; 2), {-1; 1/2 } , (0; 0), { 1; 1/2} , (2; 2);

3) з’єднати їх плавною лінією (мал. 69).

Мал. 68

Мал. 69

Мал. 70

Можна сказати, що графік функції у = х2 одержали в результаті стиску параболи у = х2 уздовж осі ординат у 2 рази.

На малюнку 70 зображено параболи у = х2, у = 2х2, у = х2.

Зверніть увагу:

1) графіком функції у = ах2 (а > 0, а 1) є парабола, яку одержано в результаті:

• розтягу параболи у = х2 в а разів уздовж осі ординат, якщо а > 1;

• стиску параболи у = х2 в разів уздовж осі ординат, якщо 0 < а < 1;

2) якщо а < 0, то вітки параболи напрямлені вниз; якщо а > 0, то вітки параболи напрямлені вгору;

3) вершина параболи у = ах2 — точка (0; 0).

Так само можна побудувати графік функції у = аf(х) (а > 0, а 1) за умови, що побудованим є графік функції у = f(х) (мал. 71).

Мал. 71

Графік функції у = аf(х) (а > 0, а 1) можна одержати перетворенням графіка функції у = f(х) у результаті:

• розтягу графіка функції у = f(х) в а разів уздовж осі ординат, якщо а > 1;

• стиску графіка функції у = f(х) в разів уздовж осі ординат, якщо 0 < а < 1.

3. ПОБУДОВА ГРАФІКА ФУНКЦІЇ у = f(x) + b

Розглянемо функції y = х2 і y = х2 + 2. Значення функції у = х2 + 2 за деякого значення аргументу на 2 більше, ніж значення функції у = х2 за того самого значення аргументу.

Щоб побудувати графік у = х2 + 2, можна діяти так:

1) на графіку функції у = х2 позначити кілька точок. На малюнку 72 це точки (-2; 4), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4);

2) побудувати точки з такими самими абсцисами, але ординатами, які на 2 одиниці більші: (-2; 6), (-1; 3), (0; 2), (1; 3), (2; 6);

3) з’єднати їх плавною лінією (мал. 73).

Мал. 72

Мал. 73

Можна сказати, що графік функції у = х2 + 2 одержали в результаті переміщення параболи у = х2 на 2 одиниці вгору вздовж осі ординат.

Так само можна побудувати графік функції у = f(х) + b за умови, що побудованим є графік функції у = f(х) (мал. 74).

Графік функції у = /f(х) + b можна одержати в результаті переміщення графіка функції у = f(х) уздовж осі ординат:

на b одиниць угору, якщо b > 0;

на |b| одиниць униз, якщо b < 0.

Мал. 74

4. ПОБУДОВА ГРАФІКА ФУНКЦІЇ у = f(x - а)

Розглянемо функції y = х2 і y = (x - 3)2. Кожному значенню функції y = (х - 3)2 відповідатиме таке саме значення функції у = х2, якщо аргумент функції у = (х - 3)2буде на 3 одиниці більшим, ніж відповідне значення аргументу функції у = х2.

Щоб побудувати графік функції у = (х - 3)2, можна діяти так:

1) на графіку функції у = х2 позначити кілька точок. На малюнку 75 це точки (-2; 4), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4);

2) побудувати точки з такими самими ординатами, але з абсцисами, які на 3 одиниці більші: (1; 4), (2; 1), (3; 0), (4; 1), (5; 4);

3) з’єднати їх плавною лінією (мал. 76).

Мал. 75

Мал. 76

Можна сказати, що графік функції у = (х - 3)2 одержали в результаті переміщення параболи у = х2 на 3 одиниці праворуч уздовж осі абсцис.

Так само можна побудувати графік функції у = f(х - а) за умови, що побудованим є графік функції у = f(х) (мал. 77).

Графік функції у = f(х - а) можна одержати в результаті переміщення графіка функції у = f(х) уздовж осі абсцис:

на а одиниць праворуч, якщо а > 0;

на |а| одиниць ліворуч, якщо а < 0.

Мал. 77

5. ПОБУДОВА ГРАФІКА ФУНКЦІЇ у = f(x - а) + b

Об’єднаємо результати, одержані в попередніх двох пунктах. Можемо сказати, що графіком функції у = (x - а)2 + b є парабола, яку одержимо внаслідок переміщення параболи у = х2 на |а| одиниць уздовж осі ОХ і на |b| одиниць уздовж осі OY (мал. 78). Вершина параболи у = (х - а)2 + b має координати (а; b).

Аналогічно, графік функції у = f(x - а) + b можна одержати переміщенням графіка функції у = f(x) на |а| одиниць уздовж осі ОХ (праворуч, якщо a > 0, або ліворуч, якщо a < 0) і на |b| одиниць уздовж осі OY (угору, якщо b > 0, або вниз, якщо b < 0) (мал. 79).

Мал. 78

Мал. 79

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

1. У вас могло виникнути запитання: Як будувати графік функції у = f(-x)?

Розглянемо функції у = f(x) і у = f(-x). Значення цих функцій є однаковими, якщо відповідні аргументи є протилежними числами. Щоб побудувати графік функції у = f(-x), потрібно:

1) на графіку функції у = f(x) позначити кілька точок (мал. 80);

2) побудувати точки з такими ж ординатами і протилежними абсцисами;

3) з’єднати їх плавною лінією (мал. 81).

Мал. 80

Мал. 81

2. Задача 1. Побудуйте графік функції у = .

Розв’язання. Подамо функцію у = у вигляді у = + b. Для цього зробимо такі перетворення виразу, що задає дану функцію:

Отже, задана функція набула вигляду: у = +1. Графік цієї функції можна одержати внаслідок переміщення гіперболи у = уздовж осі ОХ на 3 одиниці ліворуч і вздовж осі ОУ на 1 одиницю вгору.

Побудову графіка функції виконаємо за такою схемою:

1) Побудуємо гіперболу у = (мал. 82). Для цього визначимо координати кількох її точок (таблиця 10).

Таблиця 10

х

- 5

- 1

1

5

у

1

5

- 5

- 1

2) Перемістимо гіперболу у = уздовж осі ОХ на 3 одиниці ліворуч і вздовж осі ОУ на 1 одиницю вгору (мал. 83).

Мал. 82

Мал. 83

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Як можна одержати графік функції у = аf(х) (а 0), скориставшись графіком функції у = f(x)?

2. Що є графіком функції у = -х2; функції у = ах2 0)?

3. Які властивості функції у = -х2; функції у = ах2 0)?

4. Як можна одержати графік функції у = f(х - а), скориставшись графіком функції у = f(x)?

5. Як можна одержати графік функції у = f(х) + b, скориставшись графіком функції у = f(x)?

6. Як можна одержати графік функції у = f(х - а) + b, скориставшись графіком функції у = f(x)?

7. Які властивості функції у = (х - а)2 + b?

РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

228'. Яке з тверджень є правильним:

1) графіком функції у = ах2 0) є парабола;

2) вітки параболи у = ах2 напрямлені вниз, якщо а > 1;

3) вітки параболи у = ах2 напрямлені вниз, якщо а < 0?

229'. Яке з тверджень є правильним:

1) графік функції у = -|х| можна одержати перетворенням графіка функції у = |х|, якщо відобразити графік функції у = |х| відносно осі ОХ;

2) графік функції у = -|х| можна одержати перетворенням графіка функції у = |х|, якщо відобразити графік функції у = |х| відносно осі ОУ?

230'. Яке з тверджень є правильним:

1) вершина параболи у = (х + 5)2 + 6 міститься в точці (-5; 6);

2) вершина параболи у = 3х2 міститься в точці (3; 0);

3) вершина параболи у = (х - 14)2 міститься в точці (0; 14)?

231'. Яке з тверджень є правильним:

1) графік функції у = f(х) + 7 можна одержати в результаті переміщення графіка функції у = f(х) уздовж осі ординат на 7 одиниць угору;

2) графік функції у = f(х) + 7 можна одержати в результаті переміщення графіка функції у = f(х) уздовж осі абсцис на 7 одиниць праворуч;

3) графік функції y = f(x) + 7 можна одержати в результаті переміщення графіка функції у = f(x) уздовж осі ординат на 7 одиниць униз?

232'. Яке з тверджень є правильним:

1) графік функції y = f(x - 8) можна одержати в результаті переміщення графіка функції у = f(x) уздовж осі абсцис на 8 одиниць ліворуч;

2) графік функції y = f(x - 8) можна одержати в результаті переміщення графіка функції у = f(x) уздовж осі абсцис на 8 одиниць праворуч;

3) графік функції y = f(x - 8) можна одержати в результаті переміщення графіка функції у = f(x) уздовж осі ординат на 8 одиниць угору?

233°. Побудуйте графік функції y = -x2. Знайдіть:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) проміжки зростання; проміжки спадання.

234°. Задайте формулою функцію, якщо її графік одержано в результаті стиску графіка функції y = |х| уздовж осі ординат:

1) у 4 рази;

2) у 2 рази;

3) у 5 разів.

235°. Задайте формулою функцію, якщо її графік одержано в результаті розтягу графіка функції y = удовж осі ординат:

1) у 2 рази;

2) у 6 разів.

236°. Побудуйте графік функції:

237°. Побудуйте графік функції:

238°. Побудуйте графік функції:

239°. Задайте формулою функцію, якщо її графік одержано в результаті переміщення графіка функції у = |х|:

1) на 4 одиниці вгору;

2) на 2 одиниці вниз;

3) на 5 одиниць униз;

4) на 9 одиниць праворуч;

5) на 3 одиниці ліворуч;

6) на 11 одиниць праворуч.

240°. Задайте формулою функцію, якщо її графік одержано в результаті переміщення графіка функції у = :

1) на 2 одиниці вгору;

2) на 10 одиниць униз;

3) на 12 одиниць праворуч;

4) на 20 одиниць ліворуч.

241°. Побудуйте графік функції:

242°. Побудуйте графік функції:

1) у = (х + 2)2 + 4;

2) у = (х - 2)2 + 4;

3) у = (х + 2)2 - 4;

4) у = (х - 2)2 - 4;

5) у = (х + 1)2 + 1;

6) у = (х - 7)2 + 2;

7) у = (х + 3)2 - 7;

8) у = (х - 6)2 - 1.

Визначте координати вершини параболи.

243°. Побудуйте графік функції:

1 )у = (х+ 1)2 + 5;

2) у = (х - 2)2 + 4;

3) у = (х + 6)2 - 3;

4) у = (х - 5)2 - 8.

Визначте координати вершини параболи.

244°. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

1) у = ;

2) у = ;

3) у = ;

4) у = .

245°. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

1) у = ;

2) у = ;

3) у = ;

4) у = .

246°. Побудуйте графік функції:

247°. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

1) у = -|х| + 1;

2) у = |х| - 1;

3) у = -|х| + 2;

4) у = -|х| - 2.

248°. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

1) у = -|х + 1|;

2) у = -|х - 1|;

3) у = -|х + 2|;

4) у = -|х - 2|.

249°. Побудуйте графік функції:

1) у = |х +2| +5;

2) у = |х - 2| +5;

3) у = |х - 2| - 5;

4) у = |х +2| - 5;

5) у = |х +5| + 4;

6) у = |х - 4| + 3;

7) у = |х +4| - 8;

8) у = |х - 2| - 2.

250°. Побудуйте графік функції:

1) у = |х + 1| + 5;

2) у = |х - 6 | + 7;

3) у = |х + 3| - 1;

4) у = |х - 10|- 1.

251°. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

1) у = х2;

2) у = 2х2;

3) у = -2х2;

4) у = -2(х - 1)2;

5) у = -2(х - 1)2 + 3.

252°. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

1 )y = х2;

2) у = 3х2;

3) у = -3х2;

4) у = -3(х + 4)2;

5) у = -3(х + 4)2 - 2.

253°. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

254°. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

1) у = |х|;

2) у = 2|х|;

3) у = -2|х|;

4) у = -2|х + 2|;

5) у = -2|х + 2| + 3.

255°. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

256°. Задайте формулами функції, графіки яких подано на малюнках 84, 85.

Мал. 84

Мал. 85

257°. Задайте формулами функції, графіки яких подано на малюнках 86, 87.

Мал. 86

Мал. 87

258. На малюнках 88, 89 зображені графіки функцій у = ах2. Визначте коефіцієнт а.

Мал. 88

Мал. 89

259. На малюнках 90, 91 зображені графіки функцій у = ах2. Визначте коефіцієнт а.

Мал. 90

Мал. 91

260. Задайте формулами функції, графіки яких подано на малюнках 92, 93.

Мал. 92

Мал. 93

261. Задайте формулами функції, графіки яких подано на малюнках 94, 95.

Мал. 94

Мал. 95

262. Задайте формулою функцію, графік якої одержано в результаті переміщення вздовж осей координат параболи у = х2 так, що її

вершина має координати:

1) (4; 0);

2) (2; -10);

3) (-9; 12);

4) (-2; -7);

5) (-5; 7);

6) (-8; 0).

Скільки розв’язків має задача?

263. Задайте формулою функцію, графік якої одержано в результаті переміщення вздовж осей координат параболи у = х2 так, що її

вершина має координати:

1) (0; 3);

2) (3; -15);

3) (-1; 4);

4) (1; 15).

Скільки розв’язків має задача?

264. Задайте формулою функцію у = f(х), яку одержано в результаті переміщення гіперболи у = уздовж осей координат так, щоб для цієї функції виконувалися умови:

1) D(f) = (-;1) (1; +), E(f) = (-;0) (0; +);

2) D(f) = (-;3) (3; +), E(f) = (-; -5) (-5; +);

3) D(f) = (-; -8) (-8; +), E(f) = (-; 7) (7; +);

4) D(f) = (-;-3) (-3;+), E(f) = (-;-12) (-12;+).

265. Задайте формулою функцію, яку одержано в результаті переміщення гіперболи у = - уздовж осей координат так, щоб для цієї

функції виконувалися умови:

1) D(f) = (-;0) (0; +), E(f) = (-;4) (4; +);

2) D(f) = (-; -6) (-6; +), E(f) = (-;-1) (-1; +);

3) D(f) = (-;7) (7; +), E(f) = (-;-7) (-7; +).

266. Побудуйте графік функції:

1) у = х2 + 1;

2) у = 3(х + 2)2 - 5.

Знайдіть:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) проміжки зростання; проміжки спадання.

267. Побудуйте графік функції:

1) y = - (х + 1)2;

2) у = (х- 3)2 + 3.

Знайдіть:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) проміжки зростання; проміжки спадання.

268. Параболу у = х2 переміщують уздовж осей координат. Задайте формулою функцію, яку одержано в результаті такого переміщення, якщо відомі властивості цієї функції: D(f) = (-; +), E(f) = [-1; +), х = -1, х = 1 — нулі функції.

269. Параболу у = х2 переміщують уздовж осей координат. Задайте формулою функцію, яку одержано в результаті такого переміщення, якщо відомі властивості цієї функції: D(f) = (-; +), Е(f) = [-4; +), х = -2, х = 2 — нулі функції.

270. Побудуйте графік функції:

271. Побудуйте графік функції:

272. Побудуйте графік функції:

273. Побудуйте графік функції:

274. Дано функцію f(х) = -х2. Для х = -1, х = 1, х = 2 знайдіть значення функції:

1) y = -2f(х);

2) у = 3f(х).

275. Дано функцію f(х) = |х| + 2. Для х = -1, х = 0, х = 3 знайдіть значення функції:

1) y = f(х) + 1;

2) у = f(x - 6);

3) у = f(х + 1) + 2;

4) у= f(х + 3).

276. Дано функцію f(х) = -х2 + 2. Для х = -2, х = 0, х = 4 знайдіть значення функції:

1) y = f(х) + 4;

2) у = f(х + 4);

3) у = f(х - 2) + 1.

277. Побудуйте графік функції:

278. Побудуйте графік функції:

279. Побудуйте графік функції:

280. Побудуйте графік функції:

281. На малюнку 96 зображено графік функції у = f(x), який задано на проміжку [-2; 3]. Побудуйте графік функції:

1) y = f(x + 2);

2) y = f(x) - 4;

3) у = f(x - 1) + 3;

4) у = -f(x).

282. На малюнку 97 зображено графік функції у = f(x), який задано на проміжку [-6; 0]. Побудуйте графік функції:

1) y = f(x + 1);

2) у = f(x) - 3;

3) у = f(x - 5) + 2;

4) у = -f(x).

283*. Задайте формулою функцію, графік якої одержано в результаті переміщення графіка функції у = -3 на 2 одиниці вгору та на 3 одиниці праворуч.

Мал. 96

Мал. 97

Побудуйте графік функції та знайдіть:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) проміжки зростання; проміжки спадання.

284*. Задайте формулою функцію, графік якої одержано в результаті переміщення графіка функції у = 3|х + 5| - 1 на 2 одиниці вниз та на 2 одиниці праворуч.

Побудуйте графік функції та знайдіть:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) проміжки зростання; проміжки спадання.

285*. Задайте формулою функцію, графік якої одержано в результаті переміщення графіка функції у = + 2 на 5 одиниць униз та на 2 одиниці ліворуч.

Побудуйте графік функції та знайдіть:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) проміжки зростання; проміжки спадання.

286*. На малюнку 98 зображено графік функції у = f(х). Побудуйте графік функції:

1) y = -f(х) - 1;

2) у = 2f(х);

3) у = f(х + 3) - 2.

Мал. 98

287*. Побудуйте графік функції:

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

288. Земельні наділи мають форму прямокутника, ширина якого на 6 м менша від довжини.

1. Запишіть залежність площі ділянки від її довжини (позначте довжину через х).

2. Знайдіть область визначення залежності площі ділянки від її довжини.

3. Побудуйте графік залежності площі ділянки від її довжини.

4. Запишіть властивості цієї залежності.

5. Запишіть залежність периметра ділянки від її довжини.

6. Побудуйте графік залежності периметра ділянки від її довжини.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

289. Спростіть вираз:

1) 15 · с)2 : (а · с3)2;

2) 10 · а2)4 · (а10 · а3)2;

3) 15 : у4)3 · (х10 : у3)2.

290. Обчисліть:

291. Магазин продав 250 зошитів у клітинку за ціною 10 грн та 100 зошитів у лінійку за ціною 12 грн. Податок становить 20 % від ціни реалізації. Визначте величину сплаченого податку.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити