Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік
Розділ 2 ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ
§7. КООРДИНАТИ ВЕКТОРА
Якщо на площині ввести систему координат, то кожний вектор можна задати парою чисел - координатами вектора.
Координатами вектора (x; y) з початком A(x1, у1) і кінцем В(х2; у2) називають числа x = x2 - x1 і у = у2 - y1. Записують вектор
, указуючи його координати, так:
Наприклад,
Задача 1. Знайти координати вектора , якщо:
1) А(-2; 5), В(7; 3); 2) А(-4; 8), B(-4; 10).
Р о з в’ я з а н н я. 1) За означенням координат вектора маємо: x = 7 - (-2) = 9; у = 3 - 5 = -2, отже,
2) Аналогічно, x = -4 - (-4) = 0; у = 10 - 8 = 2, отже,
В і д п о в і д ь. 1) (9; -2); 2) (0; 2).
Координатами вектора можуть бути будь-які дійсні числа.
Обидві координати нуль-вектора дорівнюють нулю: (0; 0).
Відстань AB між точками A(x-.; ух) і В(х2; у2) знаходять за формулою
Оскільки х2 - х1 = x і у2 - у1 = у, то модуль вектора (x; y) дорівнює
Отже,
Задача 2. Знайти модуль вектора:
Р о з в’ я з а н н я.
В і д п о в і д ь.
Задача 3. Модуль вектора (-6; y) дорівнює 10. Знайти у.
Р о з в’ я з а н н я.
За умовою тобто 36 + у2 = 100.
Розв’язавши отримане рівняння, матимемо у1,2 = +8.
В і д п о в і д ь. 8 або -8.
Т е о р е м а (про рівність векторів). У рівних векторів відповідні координати рівні, і навпаки, якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні.
Д о в е д е н н я. Розглянемо вектор , де A(x1; y1), В(х2; у2); тоді
(х2 - х1; у2 - у1).
Мал. 47
1) Нехай вектор не лежить на жодній з координатних осей (мал. 47). Відкладемо від точки 0(0; 0) вектор
=
, де С(х; у). Тоді
(х; у). У паралелограмі ABC0 точка Р(х0; у0) - точка перетину діагоналей. Тоді за формулою координат середини відрізка:
Звідки маємо: x1 + x = x2, у1+ у = y2, а тому x = x2 - x1, у = у2 - у1, тобто (x0 - x1; y0 - y1). Отже, відповідні координати векторів
i
рівні. Якщо вектор
лежить на осі x (мал. 48), то очевидно, що x - 0 = x2 - x1, тобто x = x2 - x1, отже, відповідні координати векторів
i
рівні.
Аналогічно доводимо у випадку, коли лежить на осі у.
Мал. 48
2) Нехай відповідні координати векторів i
рівні (мал. 47), тобто x = x2 - x1; у = у2 - у1. Тому x + x1 = x2; у + у1 = у2.
У чотирикутнику ABCO точка Р1 - середина AC;
точка Р2 - середина BO;
Але x + x1 = x2 і у + у1 = у2, тому точки Р1 і Р2 - збігаються, тобто середини діагоналей чотирикутника ABCO збігаються. При цьому точка Р ділить кожну з них навпіл.
Отже ABCO - паралелограм, а тому =
. Якщо вектори
i
лежать на осі x і x = x2 - x1, y = у2 - у1 (мал. 48), то очевидно, що
а тому й =
, оскільки вектори
i
співнапрямлені.
Аналогічно доводимо у випадку, коли I
лежать на осі у.
Задача 4. Дано точки М(-3; 4), N(5; -7), С(4; -2), D(x; у).
Знайти x і у, якщо =
.
Р о з в’ я з а н н я.
(5 - (-3); -7 - 4), тобто
(8; -11),
(x - 4; у - (-2)), тобто
(x - 4; у + 2).
Але =
, тому x - 4 = 8 і у + 2 = -11, тобто x = 12, у = -13.
В і д п о в і д ь. x = 12; у = -13.
1. Що таке координати вектора?
2. Як знайти модуль вектора (x; y)?
3. Доведіть, що рівні вектори мають рівні координати, а вектори з відповідно рівними координатами - рівні.
1. Початковий рівень
301. Знайдіть координати вектора , якщо:
1) А(-3; 5), 5(4; -7); 2) А(2; -7), B(2; 3).
302. Знайдіть координати вектора , якщо:
1) С(4; -7), D(8; -2); 2) С(5; -1), D(1; -1).
303. Знайдіть модуль вектора:
304. Знайдіть модуль вектора:
305. Дано: Знайти: х і у.
306. Дано: Знайти: x і у.
2. Середній рівень
307. Знайдіть координати вектора та його модуль:
1) С(5; -4), D(4; -7); 2) С(-2; 5), D(0; 8).
308. Знайдіть координати вектора та його модуль:
1) A(7; -2), 5(6; 0); 2) А(2; 7), B(4; 11).
309. Чи рівні вектори якщо:
1) А(5; 7), 5(6; -1), М(8; -2), N(9; -10);
2) А(6; -1), B(0; -2), М(4; 5), N(-2; 6)?
310. Чи рівні вектори якщо:
1) С(4; -2), D(8; -5), Р(7; -1), K(3; -4);
2) С(0; 4), D(7; 0), Р(-3; 2), K(4; -2)?
311. Порівняйте модулі векторів i
, якщо:
312. Порівняйте модулі векторів i
, якщо:
313. Дано точки С(2; -3), D(4; -5), М(3; 5), N(x; у). Знайдіть x і у, якщо
314. Дано точки А(2; -5), B(3; -6), С(х; у), D(0; 5). Знайдіть x і у, якщо
3. Достатній рівень
315. Вектор (4; -7) відкладено від точки Р(-2; 5). Знайдіть координати кінця вектора.
316. Вектор (-3; 2) відкладено від точки М(4; -1). Знайдіть координати кінця вектора.
317. Точка А(-2; 7) - кінець вектора (7; -5). Знайдіть координати початку вектора.
318. Точка B(1; -8) - кінець вектора (-3; 0). Знайдіть координати початку вектора.
319. Знайдіть координати вершини В паралелограма ABCO (мал. 49).
Мал. 49
Мал. 50
320. Сторона квадрата дорівнює 6 (мал. 50). Знайдіть координати вектора , де M - середина BC.
321. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, якщо А(2; 0), B(0; 3), С(2; -2), D(4; -5).
322. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник KLMN є паралелограмом, якщо K(0; -2), L(3; 0), M(7; 2), N(4; 0).
323. Модуль вектора (х; -3) дорівнює 5. Знайдіть х.
324. Модуль вектора (-8; у) дорівнює 10. Знайдіть у.
4. Високий рівень
325. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD з вершинами A(4; 2), B(5; 5), С(4; 8) і D(3; 5) - ромб.
326. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD з вершинами А(-1; 4), В(-1; 0), С(4; 0) і D(4; 4) - прямокутник.
327. Модуль вектора (x; у) дорівнює
. Знайдіть координати вектора
, якщо координата x цього вектора на 2 більша за координату у.
328. Модуль вектора (х; у) дорівнює
. Знайдіть координати вектора
. якщо їх сума дорівнює 1.
329. Знайдіть рівняння координат усіх таких точок В, що вектор має той самий модуль, що і вектор
(2; -3), якщо А(4; 5).
Вправи для повторення
330. Чи можуть сторони трикутника бути пропорційні числам:
1) 5, 7, 2; 2) 5, 6, 7; 3) 11, 8, 2?
331. Сторони трикутника дорівнюють 11 см, 14 см і 17 см. Знайдіть периметр подібного йому трикутника, сума найбільшої і найменшої сторін якого дорівнює 70 см.
332. Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, ділить висоту, проведену до основи, у відношенні 5 : 3. Знайдіть периметр трикутника, якщо його бічна сторона на 3 см менша від основи.
Цікаві задачі для учнів неледачих
333. Дано трапецію ABCD з основами AD і BC. Бісектриса кута ABC перетинає середню лінію трапеції в точці N, а основу AD - у точці K. Чи можна знайти градусну міру кута ANB? У разі позитивної відповіді знайдіть градусну міру цього кута.