Розділ 2 ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ

§7. КООРДИНАТИ ВЕКТОРА

Якщо на площині ввести систему координат, то кожний вектор можна задати парою чисел - координатами вектора.

Координатами вектора  (x; y) з початком A(x₁, у₁) і кінцем В(х₂; у₂) називають числа x = x₂ - x₁ і у = у₂ - y₁. Записують вектор , указуючи його координати, так:

Наприклад,

Задача 1. Знайти координати вектора , якщо:

1) А(-2; 5), В(7; 3);     2) А(-4; 8), B(-4; 10).

Р о з в’ я з а н н я. 1) За означенням координат вектора маємо: x = 7 - (-2) = 9; у = 3 - 5 = -2, отже,

2) Аналогічно, x = -4 - (-4) = 0; у = 10 - 8 = 2, отже,

В і д п о в і д ь. 1) (9; -2); 2) (0; 2).

Координатами вектора можуть бути будь-які дійсні числа.

Обидві координати нуль-вектора дорівнюють нулю:  (0; 0).

Відстань AB між точками A(x-.; у_х) і В(х₂; у₂) знаходять за формулою

Оскільки х₂ - х₁ = x і у₂ - у₁ = у, то модуль вектора  (x; y) дорівнює

Отже,

Задача 2. Знайти модуль вектора:

Р о з в’ я з а н н я.

В і д п о в і д ь.

Задача 3. Модуль вектора  (-6; y) дорівнює 10. Знайти у.

Р о з в’ я з а н н я.

За умовою  тобто 36 + у² = 100.

Розв’язавши отримане рівняння, матимемо у_1,2 = +8.

В і д п о в і д ь. 8 або -8.

Т е о р е м а (про рівність векторів). У рівних векторів відповідні координати рівні, і навпаки, якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні.

Д о в е д е н н я. Розглянемо вектор , де A(x₁; y₁), В(х₂; у₂); тоді  (х₂ - х₁; у₂ - у₁).

Мал. 47

1) Нехай вектор  не лежить на жодній з координатних осей (мал. 47). Відкладемо від точки 0(0; 0) вектор  = , де С(х; у). Тоді  (х; у). У паралелограмі ABC0 точка Р(х₀; у₀) - точка перетину діагоналей. Тоді за формулою координат середини відрізка:

Звідки маємо: x₁ + x = x₂, у₁+ у = y₂, а тому x = x₂ - x₁, у = у₂ - у₁, тобто  (x₀ - x₁; y₀ - y₁). Отже, відповідні координати векторів  i  рівні. Якщо вектор  лежить на осі x (мал. 48), то очевидно, що x - 0 = x₂ - x₁, тобто x = x₂ - x₁, отже, відповідні координати векторів  i  рівні.

Аналогічно доводимо у випадку, коли  лежить на осі у.

Мал. 48

2) Нехай відповідні координати векторів  i  рівні (мал. 47), тобто x = x₂ - x₁; у = у₂ - у₁. Тому x + x₁ = x₂; у + у₁ = у₂.

У чотирикутнику ABCO точка Р₁ - середина AC;   точка Р₂ - середина BO;

Але x + x₁  = x₂ і у + у₁ = у₂, тому точки Р₁ і Р₂ -  збігаються, тобто середини діагоналей чотирикутника ABCO збігаються. При цьому точка Р ділить кожну з них навпіл.

Отже ABCO - паралелограм, а тому  = . Якщо вектори  i  лежать на осі x і x = x₂ - x₁, y = у₂ - у₁ (мал. 48), то очевидно, що

а тому й  = , оскільки вектори  i  співнапрямлені.

Аналогічно доводимо у випадку, коли  I  лежать на осі у.

Задача 4. Дано точки М(-3; 4), N(5; -7), С(4; -2), D(x; у).

Знайти x і у, якщо  = .

Р о з в’ я з а н н я.

 (5 - (-3); -7 - 4), тобто  (8; -11),  (x - 4; у - (-2)), тобто  (x - 4; у + 2).

Але  = , тому x - 4 = 8 і у + 2 = -11, тобто x = 12, у = -13.

В і д п о в і д ь. x = 12; у = -13.

1. Що таке координати вектора?

2. Як знайти модуль вектора  (x; y)?

3. Доведіть, що рівні вектори мають рівні координати, а вектори з відповідно рівними координатами - рівні.

1. Початковий рівень

301. Знайдіть координати вектора , якщо:

1) А(-3; 5), 5(4; -7);        2) А(2; -7), B(2; 3).

302. Знайдіть координати вектора , якщо:

1) С(4; -7), D(8; -2);         2) С(5; -1), D(1; -1).

303. Знайдіть модуль вектора:

304. Знайдіть модуль вектора:

305. Дано:  Знайти: х і у.

306. Дано:  Знайти: x і у.

2. Середній рівень

307. Знайдіть координати вектора  та його модуль:

1) С(5; -4), D(4; -7);         2) С(-2; 5), D(0; 8).

308. Знайдіть координати вектора  та його модуль:

1) A(7; -2), 5(6; 0);           2) А(2; 7), B(4; 11).

309. Чи рівні вектори  якщо:

1) А(5; 7), 5(6; -1), М(8; -2), N(9; -10);

2) А(6; -1), B(0; -2), М(4; 5), N(-2; 6)?

310. Чи рівні вектори  якщо:

1) С(4; -2), D(8; -5), Р(7; -1), K(3; -4);

2) С(0; 4), D(7; 0), Р(-3; 2), K(4; -2)?

311. Порівняйте модулі векторів  i , якщо:

312. Порівняйте модулі векторів  i , якщо:

313. Дано точки С(2; -3), D(4; -5), М(3; 5), N(x; у). Знайдіть x і у, якщо

314. Дано точки А(2; -5), B(3; -6), С(х; у), D(0; 5). Знайдіть x і у, якщо

3. Достатній рівень

315. Вектор  (4; -7) відкладено від точки Р(-2; 5). Знайдіть координати кінця вектора.

316. Вектор  (-3; 2) відкладено від точки М(4; -1). Знайдіть координати кінця вектора.

317. Точка А(-2; 7) - кінець вектора  (7; -5). Знайдіть координати початку вектора.

318. Точка B(1; -8) - кінець вектора  (-3; 0). Знайдіть координати початку вектора.

319. Знайдіть координати вершини В паралелограма ABCO (мал. 49).

Мал. 49

Мал. 50

320. Сторона квадрата дорівнює 6 (мал. 50). Знайдіть координати вектора , де M - середина BC.

321. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, якщо А(2; 0), B(0; 3), С(2; -2), D(4; -5).

322. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник KLMN є паралелограмом, якщо K(0; -2), L(3; 0), M(7; 2), N(4; 0).

323. Модуль вектора  (х; -3) дорівнює 5. Знайдіть х.

324. Модуль вектора  (-8; у) дорівнює 10. Знайдіть у.

4. Високий рівень

325. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD з вершинами A(4; 2), B(5; 5), С(4; 8) і D(3; 5) - ромб.

326. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD з вершинами А(-1; 4), В(-1; 0), С(4; 0) і D(4; 4) - прямокутник.

327. Модуль вектора  (x; у) дорівнює . Знайдіть координати вектора , якщо координата x цього вектора на 2 більша за координату у.

328. Модуль вектора  (х; у) дорівнює . Знайдіть координати вектора . якщо їх сума дорівнює 1.

329. Знайдіть рівняння координат усіх таких точок В, що вектор  має той самий модуль, що і вектор  (2; -3), якщо А(4; 5).

Вправи для повторення

330. Чи можуть сторони трикутника бути пропорційні числам:

1) 5, 7, 2;          2) 5, 6, 7;    3) 11, 8, 2?

331. Сторони трикутника дорівнюють 11 см, 14 см і 17 см. Знайдіть периметр подібного йому трикутника, сума найбільшої і найменшої сторін якого дорівнює 70 см.

332. Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, ділить висоту, проведену до основи, у відношенні 5 : 3. Знайдіть периметр трикутника, якщо його бічна сторона на 3 см менша від основи.

Цікаві задачі для учнів неледачих

333.  Дано трапецію ABCD з основами AD і BC. Бісектриса кута ABC перетинає середню лінію трапеції в точці N, а основу AD - у точці K. Чи можна знайти градусну міру кута ANB? У разі позитивної відповіді знайдіть градусну міру цього кута.