Як і числа, вектори можна додавати і віднімати. Результатом додавання або віднімання векторів є вектор.

Сумою векторів називають вектор

Наприклад, сумою векторів є вектор тобто (-1;-9).

Для суми векторів справджуються рівності:

(переставна властивість додавання);

(сполучна властивість додавання).

Для доведення цих властивостей досить порівняти відповідні координати, що стоять у лівій і правій частинах рівностей. Ці координати рівні між собою, а вектори з відповідно рівними координатами рівні.

Задача 1. При якому значенні x модуль вектора буде найменшим, якщо

Р о з в’ я з а н н я. Нехай

Тоді (-2 + х + 3; 3 + 4 + 8), тобто (х + 1; 15). Знайдемо його модуль:

Модуль вектора буде найменшим, коли вираз (х + 1)² набуватиме найменшого значення. Це значення дорівнює 0 і досягається, якщо х = -1.

В і д п о в і д ь. х = -1.

Т е о р е м а (правило трикутника додавання векторів). Які б не були точки А, В і C, справджується рівність:

Д о в е д е н н я. Нехай A(x₁; y₁), В(х₂; у₂), С(х₃; y₃) — дані точки (мал. 51). Тоді (x₂ - x₁; у₂ - у₁), (x₃ - х₂; y₃ - у₂), (x₃ - x₁; y₃ - y₁). Позначимо маємо:

Отже,

Мал. 51

Мал. 52

Отже, приходимо до правила побудови суми двох довільних векторів i - правила трикутника (мал. 52):

1) від кінця вектора відкладаємо вектор , що дорівнює вектору ;

2) будуємо вектор, початок якого збігається з початком вектора , а кінець - з кінцем вектора ; цей вектор і є сумою векторів i .

Суму двох векторів можна знаходити і за правилом паралелограма (мал. 53):

1) відкладаємо вектори i від спільного початку (точки K);

2) будуємо на даних векторах паралелограм;

3) будуємо вектор, що є діагоналлю паралелограма, яка виходить з точки K; цей вектор і буде сумою векторів i .

Справді але тому

Мал. 53

Зауважимо, що за правилом трикутника можна знайти суму будь-яких двох векторів, а за правилом паралелограма - лише неколінеарних.

Різницею векторів називають вектор такий, що

Маємо: x₃ + x₂ = x₁, у₃ + у₂ = у₁. Тоді x₃ = x₁ - x₂, у₃ = у₁ - у₂. Отже, різницею векторів буде вектор

Оскільки (мал. 51), то

Звідси отримаємо правило побудови різниці двох векторів i (мал. 54):

1) відкладаємо від однієї точки вектор , що дорівнює вектору і вектор , що дорівнює вектору ;

2) будуємо вектор, початок якого збігається з кінцем вектора , а кінець - з кінцем вектора , що і є різницею векторів i .

Мал. 54

Задача 2. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O (мал. 55),

Виразити вектори i через вектори i .

Р о з в’ я з а н н я.

Мал. 55

Але тому

2) звідси

Але тому

В і д п о в і д ь.

А ще раніше…

У «Началах» Евкліда дії додавання і віднімання зводилися до додавання і віднімання відрізків, а дія множення - до побудови прямокутника на відрізках, довжини яких дорівнюють довжинам множників.

У 1587 р. голландською мовою було опубліковано трактат фламандського вченого С. Стевена «Початки статики». У ньому автор розглянув додавання двох взаємно перпендикулярних сил та прийшов до висновку, що для розв'язування цієї задачі необхідно скористатися «паралелограмом сил». Також С. Стевен увів стрілки для позначення сил.

Значно пізніше французький математик Луї Пуансо (1777-1859) у праці «Елементи статики», що вийшла в 1803 р., розробив теорію векторів, що відповідають силам, які діють у різних напрямах.

1. Який вектор називають сумою векторів (х₁; у₁) і (х₂; у₂)?

2. Сформулюйте і доведіть теорему про правило три кутника додавання векторів.

3. Сформулюйте правило трикутника для додаванні векторів.

4. Сформулюйте правило паралелограма для додаванні векторів.

5. Що називають різницею двох векторів?

6. Як знай ти різницю векторів (x₁; y₁) i (x₂; y₂)?

7. Сформулюйте правило побудови різниці двох векторів.

1. Початковий рівень

334. Знайдіть суму векторів i , якщо:

335. Знайдіть суму + , якщо:

336. Знайдіть різницю - , якщо:

337. Знайдіть різницю векторів i , якщо:

338. (Усно.) На яких з малюнків 56-60 вектор є сумою + , а на яких — різницею - ?

Мал. 56

Мал. 57

Мал. 58

Мал. 59

Мал. 60

2. Середній рівень

339. Дано вектори i (мал. 61). Побудуйте вектор = + .

340. Накресліть два неколінеарних вектори i . Побудуйте вектор = + .

341. Накресліть два неколінеарних вектори i . Побудуйте вектор = - .

342. Дано вектори i (мал. 61). Побудуйте вектор = - .

Мал. 61

Мал. 62

343. Дано паралелограм ABCD (мал. 62). Виразіть вектори i через вектори i .

344. Дано: Знайти: x і у.

345. Дано: Знайти: x і у.

3. Достатній рівень

346. ABCD - паралелограм. Знайдіть суму:

347. ABCD - паралелограм. Знайдіть суму:

348. ABCD - паралелограм (мал. 63). Доведіть, що

Мал. 63

Мал. 64

349. ABCD - паралелограм (мал. 64). Доведіть, що

350. Доведіть, що для будь-яких точок K, L, M, T справджується рівність

351. Дано точки A(0; -8) і B(10; 0). Знайдіть координати точки K такої, що

352. Дано точки С(6; 0) і D(0; -18). Знайдіть координати точки А такої, що

4. Високий рівень

353. Дано вектори При якому значенні x модуль вектора - - буде найменшим?

354. Дано вектори При якому значенні у модуль вектора + - буде найменшим?

Вправи для повторення

355. ABCD - трапеція з основами AB і CD. Укажіть усі пари:

1) співнапрямлених векторів;

2) протилежно напрямлених векторів.

356. Сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 8 см, а висота, проведена до меншої сторони, дорівнює 4 см. Знайдіть висоту, проведену до більшої сторони.

357. Знайдіть значення виразу якщо tg а = 5.

Цікаві задачі для учнів неледачих

358. (Національна олімпіада Швеції, 1982 р.) Доведіть, що коли для деякої точки O, яка лежить у внутрішній області чотирикутника ABCD, площі трикутників ABO, BCO, CDO і DAO рівні між собою, то ця точка належить хоча б одній з діагоналей AC або BD.

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити