Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік
Розділ 2 ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ
9. МНОЖЕННЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Знаючи, що таке сума векторів, можна розглядати суми вигляду 
+ , 
+ + тощо. Такі суми, як і в алгебрі, будемо записувати у вигляді добутків 2, 3 тощо.
Результатом множення вектора на число є вектор.
Добутком вектора (х; у) на число Я називають вектор 
(
х; у).
Наприклад, добутком вектора (-5; 4) на число -1 є вектор - (5; -4), на число 2 — вектор 2 (-10; 8), на число 3 — вектор 3 (-15; 12).
Для добутку вектора на число справджуються властивості:
для будь-яких вектора чисел а і 
для будь-яких векторів i 
і числа а 
Для доведення цих властивостей досить порівняти відповідні координати лівої і правої частин рівностей. Ці координати між собою рівні, а отже, рівні і вектори.
За означенням суми, різниці векторів та добутку вектора на число можна визначити координати будь-якого вектора, записаного у вигляді алгебраїчної суми векторів, координати яких відомо.
Задача 1. Дано вектори 
Знайти координати вектора:
Р о з в’ я з а н н я. Розв’язання зручно записати так:
В і д п о в і д ь.
Т е о р е м а (про добуток вектора на число). Модуль вектора дорівнює ||||.
Вектор співнапрямлений з вектором , якщо > 0, і протилежно напрямлений вектору , якщо < 0.
Д о в е д е н н я. Побудуємо в координатній площині вектори 
i 
, що відповідно рівні векторам i , де точка O - початок координат (мал. 65).
Нехай вектор має координати 
тоді маємо:
Складемо рівняння прямої OA:
спростивши яке, отримаємо: у0х - х0у = 0.
Координати точки В задовольнятимуть це рівняння. Справді:
у0 ∙ x0 — х0 ∙ у0 = 0.
Це означає, що точка B належить прямій OA. У випадку, коли вона належить променю OA, її координати x0 і y0 мають відповідно ті самі знаки, що й координати х0 і у0 точки A (мал. 65). У випадку ж, коли точка B лежить на доповняльному до OA промені, її координати x0 і y0 матимуть знаки, протилежні до знаків координат х0 і у0 точки A (мал. 66).
Якщо > 0, то точка В лежатиме на промені OA, а якщо < 0, то точка В лежатиме на доповняльному до OA промені. Тому якщо > 0, то вектори і - співнапрямлені, а якщо < 0, то вони - протилежно напрямлені.
Мал. 65
Мал. 66
Знайдемо модуль вектора :
На малюнку 67 для даного вектора побудовано вектори 
Мал. 67
Із цього прикладу та доведеної теореми випливає важливий висновок:
Вектор , колінеарний вектору , можна подати у вигляді 
і навпаки, якщо 
то вектори i - колінеарні.
Нехай дано вектори 
Якщо вони колінеарні, тo = , х2 = х1 і у2 = у1.
Тоді (якщо х1 ≠ 0 і у1 ≠ 0) маємо, що 
тому 
тобто координати колінеарних векторів пропорційні.
Отже, приходимо до умови колінеарності векторів:
Нехай 
- довільні вектори.
Тоді якщо:
1) x1 = х2 = 0, то вектори 
- колінеарні; причому, якщо 
то 
а якщо 
2) y1 = у2 = 0, то вектори 
- колінеарні; причому, якщо 
а якщо 
3) х1 ≠ 0, х2 ≠ 0, у1 ≠ 0, у2 ≠ 0, то вектори i колінеарні, якщо 
причому, якщо > 0, то 
а якщо 
Задача 2. При якому значенні х вектори 
колінеарні? Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?
Р о з в’ я з а н н я. Нехай ||, тоді 
звідки х = -6.
Оскільки 
В і д п о в і д ь. х = -6; протилежно напрямлені.
1. Який вектор називають добутком вектора (x; y) на число А?
2. Сформулюйте і доведіть теорему про добуток вектора на число.
3. Сформулюйте умови колінеарності векторів.
1. Початковий рівень
359. Дано: (2; -4). Знайдіть:
360. Дано: (-6; 2). Знайдіть:
361. Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори i якщо:
362. Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори i 
, якщо:
2. Середній рівень
363. Накресліть вектор . Побудуйте вектор:
364. Накресліть вектор . Побудуйте вектор:
365. На малюнку 68 KL - середня лінія трикутника ABC. Виразіть:
Мал. 68
366. Дано вектори 
Знайдіть координати вектора:
367. Дано вектори 
Знайдіть координати вектора:
368. Чи колінеарні вектори:
369. Чи колінеарні вектори:
370. Дано вектор (-6; 8). Знайдіть модуль вектора:
371. Дано вектор (3; -4). Знайдіть модуль вектора:
372. (Усно.) Чи завжди колінеарні вектори 
i 
?
373. Серед векторів 
знайдіть пари співнапрямлених і пари протилежно напрямлених векторів.
374. Серед векторів 
знайдіть пари співнапрямлених і пари протилежно напрямлених векторів.
3. Достатній рівень
375. Дано: 
Знайдіть модуль вектора:
376. Дано: 
Знайдіть модуль вектора:
377. Дано вектори 
i 
(мал. 69). Побудуйте вектор 
Мал. 69
Мал. 70
378. Дано вектори i (мал. 70). Побудуйте вектор 
379. При якому значенні т вектори колінеарні:
Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?
380. При якому значенні n вектори колінеарні:
Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?
381. При якому значенні p вектори 
протилежно напрямлені?
382. При якому значенні t вектори 
співнапрямлені?
383. Дано паралелограм ABCD (мал. 71). Виразіть вектор 
через вектори 
i 
.
384. M і N - середини сторін AB і BC трапеції ABCD (мал. 72).
Доведіть, що 
Мал. 71
Мал. 72
4. Високий рівень
385. Знайдіть координати вектора , колінеарного вектору (-8; 6), якщо || = 5.
386. Знайдіть координати вектора , колінеарного вектору (5; -12), якщо || = 26.
387. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(-1; 4), B(5; 7), С(5; 2), D(-3; -2) є трапецією.
388. Доведіть, що точки А(5; -1), B(6; 2) і С(8; 8) лежать на одній прямій.
389. На колі х2 + у2 = 1 знайдіть таку точку А, щоб вектор , де O - початок координат, був співнапрямлений з вектором с(3; -4).
Вправи для повторення
390. AB - діаметр кола, радіус якого дорівнює 5 см, точка C належить колу. Знайдіть довжину медіани CM трикутника ABC.
391. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 16 см, а гострий кут - 60°. Знайдіть діагональ трапеції та її площу.
392. Хорда AB ділить коло у відношенні 2 : 3. У точці А до кола проведено дотичну. Знайдіть кути між дотичною і хордою.
Цікаві задачі для учнів неледачих
393. До катетів прямокутного трикутника провели медіани завдовжки 3 см і 4 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.