Розділ 2 ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ

9. МНОЖЕННЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Знаючи, що таке сума векторів, можна розглядати суми вигляду  + ,  +  +  тощо. Такі суми, як і в алгебрі, будемо записувати у вигляді добутків 2, 3 тощо.

Результатом множення вектора на число є вектор.

Добутком вектора  (х; у) на число Я називають вектор  (х; у).

Наприклад, добутком вектора  (-5; 4) на число -1 є вектор -  (5; -4), на число 2 – вектор 2 (-10; 8), на число 3 – вектор 3 (-15; 12).

Для добутку вектора на число справджуються властивості:

для будь-яких вектора  чисел а і  

для будь-яких векторів  i  і числа а

Для доведення цих властивостей досить порівняти відповідні координати лівої і правої частин рівностей. Ці координати між собою рівні, а отже, рівні і вектори.

За означенням суми, різниці векторів та добутку вектора на число можна визначити координати будь-якого вектора, записаного у вигляді алгебраїчної суми векторів, координати яких відомо.

Задача 1. Дано вектори

Знайти координати вектора:

Р о з в’ я з а н н я. Розв’язання зручно записати так:

В і д п о в і д ь.

Т е о р е м а (про добуток вектора на число). Модуль вектора  дорівнює ||||.

Вектор  співнапрямлений з вектором , якщо  > 0, і протилежно напрямлений вектору , якщо  < 0.

Д о в е д е н н я. Побудуємо в координатній площині вектори  i , що відповідно рівні векторам  i , де точка O - початок координат (мал. 65).

Нехай вектор  має координати  тоді маємо:

Складемо рівняння прямої OA:

спростивши яке, отримаємо: у₀х - х₀у = 0.

Координати точки В задовольнятимуть це рівняння. Справді:

у₀ ∙ x₀ – х₀ ∙ у₀ = 0.

Це означає, що точка B належить прямій OA. У випадку, коли вона належить променю OA, її координати  x₀ і  y₀ мають відповідно ті самі знаки, що й координати х₀ і у₀ точки A (мал. 65). У випадку ж, коли точка B лежить на доповняльному до OA промені, її координати  x₀ і  y₀ матимуть знаки, протилежні до знаків координат х₀ і у₀ точки A (мал. 66).

Якщо  > 0, то точка В лежатиме на промені OA, а якщо  < 0, то точка В лежатиме на доповняльному до OA промені. Тому якщо  > 0, то вектори   і  - співнапрямлені, а якщо  < 0, то вони - протилежно напрямлені.

Мал. 65

Мал. 66

Знайдемо модуль вектора :

На малюнку 67 для даного вектора  побудовано вектори

Мал. 67

Із цього прикладу та доведеної теореми випливає важливий висновок:

Вектор , колінеарний вектору , можна подати у вигляді  і навпаки, якщо  то вектори  i  - колінеарні.

Нехай дано вектори

Якщо вони колінеарні, тo  = , х₂ = х₁ і у₂ = у₁.

Тоді (якщо х₁ ≠ 0 і у₁ ≠ 0) маємо, що  тому  тобто координати колінеарних векторів пропорційні.

Отже, приходимо до умови колінеарності векторів:

Нехай  - довільні вектори.

Тоді якщо:

1) x₁ = х₂ = 0, то вектори  - колінеарні; причому, якщо  то  а якщо

2) y₁ = у₂ = 0, то вектори  - колінеарні; причому, якщо  а якщо

3) х₁ ≠ 0, х₂ ≠ 0, у₁ ≠ 0, у₂ ≠ 0, то вектори  i  колінеарні, якщо  причому, якщо  > 0, то  а якщо

Задача 2. При якому значенні х вектори

колінеарні? Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?

Р о з в’ я з а н н я. Нехай  ||, тоді  звідки х = -6.

Оскільки

В і д п о в і д ь. х = -6; протилежно напрямлені.

1. Який вектор називають добутком вектора  (x; y) на число А?

2. Сформулюйте і доведіть теорему про добуток вектора на число.

3. Сформулюйте умови колінеарності векторів.

1. Початковий рівень

359. Дано:  (2; -4). Знайдіть:

360. Дано:  (-6; 2). Знайдіть:

361. Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори  i  якщо:

362. Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори  i , якщо:

2. Середній рівень

363. Накресліть вектор . Побудуйте вектор:

364. Накресліть вектор . Побудуйте вектор:

365. На малюнку 68 KL - середня лінія трикутника ABC. Виразіть:

Мал. 68

366. Дано вектори  Знайдіть координати вектора:

367. Дано вектори  Знайдіть координати вектора:

368. Чи колінеарні вектори:

369. Чи колінеарні вектори:

370. Дано вектор  (-6; 8). Знайдіть модуль вектора:

371. Дано вектор  (3; -4). Знайдіть модуль вектора:

372. (Усно.) Чи завжди колінеарні вектори  i ?

373. Серед векторів знайдіть пари співнапрямлених і пари протилежно напрямлених векторів.

374. Серед векторів  знайдіть пари співнапрямлених і пари протилежно напрямлених векторів.

3. Достатній рівень

375. Дано:

Знайдіть модуль вектора:

376. Дано:

Знайдіть модуль вектора:

377. Дано вектори  i  (мал. 69). Побудуйте вектор

Мал. 69

Мал. 70

378. Дано вектори  i  (мал. 70). Побудуйте вектор

379. При якому значенні т вектори колінеарні:

Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?

380. При якому значенні n вектори колінеарні:

Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори?

381. При якому значенні p вектори  протилежно напрямлені?

382. При якому значенні t вектори  співнапрямлені?

383. Дано паралелограм ABCD (мал. 71). Виразіть вектор  через вектори  i .

384. M і N - середини сторін AB і BC трапеції ABCD (мал. 72).

Доведіть, що

Мал. 71

Мал. 72

4. Високий рівень

385. Знайдіть координати вектора , колінеарного вектору  (-8; 6), якщо || = 5.

386. Знайдіть координати вектора , колінеарного вектору  (5; -12), якщо || = 26.

387. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(-1; 4), B(5; 7), С(5; 2), D(-3; -2) є трапецією.

388. Доведіть, що точки А(5; -1), B(6; 2) і С(8; 8) лежать на одній прямій.

389. На колі х² + у² = 1 знайдіть таку точку А, щоб вектор , де O - початок координат, був співнапрямлений з вектором с(3; -4).

Вправи для повторення

390. AB - діаметр кола, радіус якого дорівнює 5 см, точка C належить колу. Знайдіть довжину медіани CM трикутника ABC.

391. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 16 см, а гострий кут - 60°. Знайдіть діагональ трапеції та її площу.

392. Хорда AB ділить коло у відношенні 2 : 3. У точці А до кола проведено дотичну. Знайдіть кути між дотичною і хордою.

Цікаві задачі для учнів неледачих

393. До катетів прямокутного трикутника провели медіани завдовжки 3 см і 4 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.