Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік
Розділ 2 ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ
§10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
Розглянемо ще одну операцію з векторами - скалярний добуток векторів.
Скалярним добутком векторів 
називають число х1х2 + y1y2.
Позначають скалярний добуток векторів так само, як добуток чисел або змінних:
Задача 1. Знайти скалярний добуток векторів:
Р о з в’ я з а н н я.
В і д п о в і д ь. 1) -1; 2) 40.
Знайдемо скалярний добуток рівних між собою векторів.
Нехай дано вектор 
(х1; y1). Тоді
Скалярний добуток вектора самого на себе ∙ позначають 
і називають скалярним квадратом вектора.
Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля:
З останньої рівності випливає, що 
З означення скалярного добутку векторів випливають такі властивості:
Для доведення цих властивостей достатньо порівняти числа, яким відповідно дорівнюватимуть ліва і права частини рівностей.
Кутом між векторами 
i 
називають кут ВАС (мал. 73).
Кутом між двома ненульовими векторами, які не мають спільного початку, називають кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок (мал. 74).
Мал. 73
Мал. 74
Мал. 75
Мал. 76
Кут між співнапрямленими векторами дорівнює нулю (мал. 75), кут між протилежно напрямленими векторами дорівнює 180° (мал. 76).
Т е о р е м а (про скалярний добуток векторів). Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними:
Д о в е д е н н я. Нехай i 
- задані вектори, а 
— кут між ними. Доведемо, що 
Розглянемо скалярний квадрат вектора + .
Враховуючи властивості скалярного добутку векторів, матимемо:
Враховуючи властивості скалярного квадрата, отримаємо:
тобто скалярний добуток векторів залежить від довжини векторів 
а тому не залежить від вибору системи координат.
Виберемо таку систему координат, щоб додатний напрямосі абсцис збігався з напрямом вектора .
Тоді 
Якщо = 0° (мал. 77), тo 
і тоді 
Мал. 77
Нехай 0° < < 90° (мал. 78). Тоді 
а тому 
Маємо:
Якщо = 90° (мал. 79), то
Мал. 78
Мал. 79
Мал. 80
Якщо 90° < < 180° (мал. 80), то
Оскільки друга координата вектора дорівнює числу, протилежному довжині відрізка OK, то координатами вектора є пара чисел 
а тому 
Якщо = 180° (мал. 81), то координатами вектора є пара чисел 
Тому 
Отже, для будь-яких значень 0° ≤ ≤ 180° маємо:
Мал. 81
Н а с л і д о к 1. Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Н а с л і д о к 2. Якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то вони перпендикулярні.
Домовимося кут між векторами i позначати так:
Задача 2. При якому значенні x вектори 
взаємно перпендикулярні?
Р о з в’ я з а н н я. Щоб вектори були взаємно перпендикулярними, їх скалярний добуток має дорівнювати нулю. Маємо: 6х + (-3) ∙ 10 = 0, звідки х = 5.
В і д п о в і д ь. х = 5.
Скалярний добуток векторів дає змогу знайти косинус кута між ненульовими векторами 
Оскільки 
де 
то
Оскільки
то
Косинус кута ф між ненульовими векторами 
можна обчислити за формулою:
За косинусом кута між векторами можна знайти і градусну міру кута (за таблицями або за допомогою калькулятора).
Задача 3. Знайти градусну міру кута C трикутника ABC, якщо А(3; 5), B(3; 7), C(1; 5).
Р о з в’ я з а н н я. Кут C трикутника ABC збігається з кутом між векторами 
(мал. 82), тобто 
Маємо:
Тоді
звідки ∠C = 45°.
В і д п о в і д ь. 45°.
Мал. 82
Задача 4. Дано: 
Знайти: 
Р о з в’ я з а н н я. Оскільки 
то
В і д п о в і д ь. 2
.
1. Що називають скалярним добутком векторів?
2. Що називають скалярним квадратом вектора ? Чому він дорівнює?
3. Що називають кутом між векторами i 
?
4. Сформулюйте і доведіть теорему про скалярний добуток векторів.
5. Сформулюйте наслідки із цієї теореми.
6. Як знайти косинус кута між векторами?
1. Початковий рівень
394. Знайдіть скалярний добуток векторів:
395. Знайдіть скалярний добуток векторів:
396. Знайдіть 
якщо:
397. Знайдіть 
якщо:
398. Дано: 
Який з векторів , 
або 
перпендикулярний до вектора ?
399. Використовуючи транспортир, накресліть два вектори, що мають спільний початок і кут між якими дорівнює 140°.
400. Використовуючи транспортир, накресліть два вектори, які мають спільний початок і кут між якими дорівнює 50°.
2. Середній рівень
401. Дано вектори 
402. Дано вектори 
При якому значенні у 
403. Дано: 
Знайдіть 
якщо:
404. Дано: 
Знайдіть 
якщо:
405. Доведіть, що вектори 
взаємно перпендикулярні.
406. Доведіть, що вектори 
взаємно перпендикулярні.
407. Чи є взаємно перпендикулярними вектори i , якщо:
408. Чи є взаємно перпендикулярними вектори i , якщо:
3. Достатній рівень
409. При якому значенні x вектори 
взаємно перпендикулярні ?
410. При якому значенні у вектори 
взаємно перпендикулярні?
411. Дано вектори 
Обчисліть кут між векторами i .
412. Дано вектори 
Знайдіть кут між векторами i .
413. Знайдіть кути трикутника, вершинами якого є точки А(-3; 0), В(0; 4) і С(4; 1). З’ясуйте вид трикутника.
414. Знайдіть косинуси кутів трикутника KLM, де K(0; 6), L(-8; 0) і M(3; 2). З’ясуйте вид трикутника.
415. i - два ненульових вектори. Знайдіть кут між ними, якщо:
416. Знайдіть скалярний добуток векторів i , зображених на малюнках 83 і 84.
Мал. 83
Мал. 84
417. Знайдіть скалярний добуток векторів i , зображених на малюнках 85 і 86.
Мал. 85
Мал. 86
418. Дано: 
Знайти:
419. Дано: 
Знайти:
420. Дано: 
Чи може 
дорівнювати:
4. Високий рівень
421. Дано: 
Знайти:
422. Дано: 
Знайти:
423. Відомо, що 
а вектори 
взаємно перпендикулярні. Знайдіть кут між векторами 
424. Відомо, що 
Доведіть, що вектори i 2 - взаємно перпендикулярні.
425. Знайдіть координати вектора , колінеарного вектору 
426. Знайдіть координати вектора , колінеарного вектору 
427. Знайдіть скалярний добуток векторів i , зображених на малюнку 87.
Мал. 87
Мал. 88
428. Знайдіть скалярний добуток векторів i , зображених на малюнку 88.
429. Знайдіть координати вектора , перпендикулярного до вектора 
430. Знайдіть координати вектора , перпендикулярного до вектора d(1; -5), модуль якого дорівнює модулю вектора . 
431. Відомо, що 
Обчисліть скаляр ний добуток векторів 
Вправи для повторення
432. Знайдіть координати вектора 
та його модуль, якщо: 1) С(5; -2), D(-1; -10); 2) С(0; -5), D(7; 0).
433. При якому значенні т вектори 
колінеарні?
434. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо А(3; 1), B(7; 4), С(4; 0), D(0; -3).
435. Чи лежать точки А(-2; 3), B(0; 4) і С(8; 8) на одній прямій? Цікаві задачі для учнів неледачих
436. Точки K і L - середини сторін AB і CD опуклого чотири кутника ABCD, 
Доведіть, що AD || BC.