Розділ 2 ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ

§10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ

Розглянемо ще одну операцію з векторами - скалярний добуток векторів.

Скалярним добутком векторів  називають число х₁х₂ + y₁y_2.

Позначають скалярний добуток векторів так само, як добуток чисел або змінних:

Задача 1. Знайти скалярний добуток векторів:

Р о з в’ я з а н н я.

В і д п о в і д ь. 1) -1; 2) 40.

Знайдемо скалярний добуток рівних між собою векторів.

Нехай дано вектор  (х₁; y₁). Тоді

Скалярний добуток вектора самого на себе  ∙  позначають  і називають скалярним квадратом вектора.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля:

З останньої рівності випливає, що

З означення скалярного добутку векторів випливають такі властивості:

Для доведення цих властивостей достатньо порівняти числа, яким відповідно дорівнюватимуть ліва і права частини рівностей.

Кутом між векторами  i  називають кут ВАС (мал. 73).

Кутом між двома ненульовими векторами, які не мають спільного початку, називають кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок (мал. 74).

Мал. 73

Мал. 74

Мал. 75

Мал. 76

Кут між співнапрямленими векторами дорівнює нулю (мал. 75), кут між протилежно напрямленими векторами дорівнює 180° (мал. 76).

Т е о р е м а (про скалярний добуток векторів). Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними:

Д о в е д е н н я. Нехай  i  - задані вектори, а  – кут між ними. Доведемо, що

Розглянемо скалярний квадрат вектора  + .

Враховуючи властивості скалярного добутку векторів, матимемо:

Враховуючи властивості скалярного квадрата, отримаємо:

тобто скалярний добуток векторів залежить від довжини векторів  а тому не залежить від вибору системи координат.

Виберемо таку систему координат, щоб додатний напрямосі абсцис збігався з напрямом вектора .

Тоді

Якщо  = 0° (мал. 77), тo  і тоді

Мал. 77

Нехай 0° <  < 90° (мал. 78). Тоді  а тому

Маємо:

Якщо  = 90° (мал. 79), то

Мал. 78

Мал. 79

Мал. 80

Якщо 90° <  < 180° (мал. 80), то

Оскільки друга координата вектора  дорівнює числу, протилежному довжині відрізка OK, то координатами вектора  є пара чисел  а тому

Якщо  = 180° (мал. 81), то координатами вектора  є пара чисел

Тому

Отже, для будь-яких значень 0° ≤  ≤ 180° маємо:

Мал. 81

Н а с л і д о к 1. Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Н а с л і д о к 2. Якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то вони перпендикулярні.

Домовимося кут між векторами  i  позначати так:

Задача 2. При якому значенні x вектори  взаємно перпендикулярні?

Р о з в’ я з а н н я. Щоб вектори були взаємно перпендикулярними, їх скалярний добуток має дорівнювати нулю. Маємо: 6х + (-3) ∙ 10 = 0, звідки х = 5.

В і д п о в і д ь. х = 5.

Скалярний добуток векторів дає змогу знайти косинус кута між ненульовими векторами

Оскільки  де  то

Оскільки

то

Косинус кута ф між ненульовими векторами   можна обчислити за формулою:

За косинусом кута між векторами можна знайти і градусну міру кута (за таблицями або за допомогою калькулятора).

Задача 3. Знайти градусну міру кута C трикутника ABC, якщо А(3; 5), B(3; 7), C(1; 5).

Р о з в’ я з а н н я. Кут C трикутника ABC збігається з кутом між векторами  (мал. 82), тобто

Маємо:

Тоді

звідки ∠C = 45°.

В і д п о в і д ь. 45°.

Мал. 82

Задача 4. Дано:

Знайти:

Р о з в’ я з а н н я. Оскільки

то

В і д п о в і д ь. 2.

1. Що називають скалярним добутком векторів?

2. Що називають скалярним квадратом вектора ? Чому він дорівнює?

3. Що називають кутом між векторами  i ?

4. Сформулюйте і доведіть теорему про скалярний добуток векторів.

5. Сформулюйте наслідки із цієї теореми.

6. Як знайти косинус кута між векторами?

1. Початковий рівень

394. Знайдіть скалярний добуток векторів:

395. Знайдіть скалярний добуток векторів:

396. Знайдіть  якщо:

397. Знайдіть  якщо:

398. Дано:  Який з векторів ,  або  перпендикулярний до вектора ?

399. Використовуючи транспортир, накресліть два вектори, що мають спільний початок і кут між якими дорівнює 140°.

400. Використовуючи транспортир, накресліть два вектори, які мають спільний початок і кут між якими дорівнює 50°.

2. Середній рівень

401. Дано вектори  

402. Дано вектори  При якому значенні у

403. Дано:  Знайдіть  якщо:

404. Дано:  Знайдіть  якщо:

405. Доведіть, що вектори  взаємно перпендикулярні.

406. Доведіть, що вектори  взаємно перпендикулярні.

407. Чи є взаємно перпендикулярними вектори  i , якщо:

408. Чи є взаємно перпендикулярними вектори  i , якщо:

3. Достатній рівень

409. При якому значенні x вектори  взаємно перпендикулярні ?

410. При якому значенні у вектори  взаємно перпендикулярні?

411. Дано вектори  Обчисліть кут між векторами  i .

412. Дано вектори  Знайдіть кут між векторами  i .

413. Знайдіть кути трикутника, вершинами якого є точки А(-3; 0), В(0; 4) і С(4; 1). З’ясуйте вид трикутника.

414. Знайдіть косинуси кутів трикутника KLM, де K(0; 6), L(-8; 0) і M(3; 2). З’ясуйте вид трикутника.

415.  i  - два ненульових вектори. Знайдіть кут між ними, якщо:

416. Знайдіть скалярний добуток векторів  i , зображених на малюнках 83 і 84.

Мал. 83

Мал. 84

417. Знайдіть скалярний добуток векторів  i , зображених на малюнках 85 і 86.

Мал. 85

Мал. 86

418. Дано:

Знайти:

419. Дано:

Знайти:

420. Дано:  Чи може  дорівнювати:

4. Високий рівень

421. Дано:  Знайти:

422. Дано:  Знайти:

423. Відомо, що  а вектори взаємно перпендикулярні. Знайдіть кут між векторами

424. Відомо, що  Доведіть, що вектори  i 2 -  взаємно перпендикулярні.

425. Знайдіть координати вектора , колінеарного вектору

426. Знайдіть координати вектора , колінеарного вектору

427. Знайдіть скалярний добуток векторів  i , зображених на малюнку 87.

Мал. 87

Мал. 88

428. Знайдіть скалярний добуток векторів  i , зображених на малюнку 88.

429. Знайдіть координати вектора , перпендикулярного до вектора

430. Знайдіть координати вектора , перпендикулярного до вектора d(1; -5), модуль якого дорівнює модулю вектора .

431. Відомо, що  Обчисліть скаляр ний добуток векторів

Вправи для повторення

432. Знайдіть координати вектора  та його модуль, якщо: 1) С(5; -2), D(-1; -10); 2) С(0; -5), D(7; 0).

433. При якому значенні т вектори  колінеарні?

434. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо А(3; 1), B(7; 4), С(4; 0), D(0; -3).

435. Чи лежать точки А(-2; 3), B(0; 4) і С(8; 8) на одній прямій? Цікаві задачі для учнів неледачих

436. Точки K і L - середини сторін AB і CD опуклого чотири кутника ABCD,  Доведіть, що AD || BC.