Доведемо одну з найважливіших теорем про співвідношення між сторонами і кутами трикутника.

Т е о р е м а к о с и н у с і в. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Д о в е д е н н я. Нехай у трикутнику ABC AB = с, AC = b, BC = а (мал. 98). Доведемо, що с² = а² + b² - 2ab cos C.

Очевидно, що ∠C може бути прямим, гострим або тупим. Розглянемо всі три випадки.

1) Нехай ∠C - прямий. Тоді cos C = 0 і формула, яку треба довести, набуває вигляду: с² = а² + b², тобто маємо теорему Піфагора для трикутника ABC.

Мал. 98

2) Нехай ∠C - гострий. Тоді у трикутнику ABC є ще хоча б один гострий кут, нехай це буде ∠В. Проведемо у трикутнику ABC висоту AD. Оскільки кути B і C - гострі, то точка D належить стороні BC. Тоді у прямокутному трикутнику ADC: AD = b sin C, CD = b cos C, а BD = BC - CD = a - b cos C.

У прямокутному трикутнику ADB (за теоремою Піфагора):

с² = AB²= AD² + DB² = (b sin C)² + (a - b cos C)² = b²sin² C + a² - 2ab cos C + b²cos ² C = a² + b² (sin² C + cos² C) - 2ab cos C. Але sin² C + cos² C = 1, тому c² = a² + b² - 2ab cos C.

3) Нехай кут ∠C - тупий (мал. 99). Позначимо ∠ACB = у. Проведемо у трикутнику ABC висоту AD. У цьому випадку точка D лежатиме на продовженні променя BC, тому ∠ACD = 180° - у.

Мал. 99

У прямокутному трикутнику ADC:

AD = b sin ACD = b sin (І80° - у) = b sin у;

DC = b cos ACD = b cos (180° - у) = -b cos у.

Маємо: BD = BC + CD = a - bcos у. Далі доводимо так, як у випадку, коли ∠C - гострий.

Зауважимо, що теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів для прямокутного трикутника, тому її інколи називають узагальненою теоремою Піфагора.

Отже, у довільному трикутнику ABC виконуються рівності:

с² = а² + b² - 2ab cos C,

b² = a² + с² - 2ac cos B,

a² = b² + с² - 2bc cos A.

За допомогою теореми косинусів можна, наприклад, знайти невідому сторону трикутника, якщо відомо дві його інші сторони й один з кутів.

Задача 1. Дано: ∆ABC, AC = 5 см, BC = 8 см, ∠C = 60°.

Знайти: AB.

P о з в’ я з а н н я. Нехай AC = b, BC = a, AB = с (мал. 98).

За теоремою косинусів маємо: с² = a² + b² - 2ab cos C. Тоді

В і д п о в і д ь. 7 см.

Задача 2. Дано: ∆ABC, AB = 7 см, BC = 5 см, ∠C = 120°. Знайти: AC.

P о з в’ я з а н н я. Нехай AB = c, BC = a, AB = с (мал. 99). За теоремою косинусів маємо: с² = a² + b² - 2ab cos C, тобто 7² = 5² + b² - 2 ∙ 5 ∙ b ∙ cos 120°.

Спростивши останню рівність, отримаємо квадратне рівняння b² + 5b - 24 = 0, розв’язавши яке, матимемо: b₁ = 3; b₂ = -8.

Число -8 не задовольняє змісту задачі, оскільки b > 0. Отже, AC = 3 см.

В і д п о в і д ь. 3 см.

Якщо відомо три сторони трикутника, то за теоремою косинусів можна знайти косинус будь-якого з його кутів, а отже, і сам кут.

Наприклад, косинус кута C можна знайти за формулою, виразивши cos C з формули теореми косинусів:

Задача 3. Знайти міру найбільшого з кутів трикутника, довжини сторін якого дорівнюють

Р о з в’ я з а н н я. Оскільки у трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, то найбільшим кутом трикутника буде кут, що лежить проти сторони завдовжки 4 см.

Нехай

Тоді за формулою косинуса кута маємо:

Використовуючи калькулятор (або таблиці), знайдемо, що ∠C ≈ 138°35'.

В і д п о в і д ь. 138°35'.

Отже, теорема косинусів допомагає розв’язувати трикутники.

Теорема косинусів є зручною і для визначення виду трикутника. Щоб установити, гострокутним, прямокутним або тупокутним є трикутник, досить знайти знак косинуса його найбільшого кута. З формули косинуса кута зрозуміло, що знак косинуса кута залежить від знака чисельника дробу, оскільки знаменник завжди додатний. Тому знак виразу а² + b² - с² дозволяє визначити знак косинуса кута трикутника, а отже, і вид цього кута (гострий, прямий чи тупий).

Якщо с - найбільша сторона трикутника, то для з’ясування виду трикутника достатньо порівняти з нулем значення виразу а² + b² - с². Таким чином, якщо с - найбільша сторона трикутника і а² + b² - с² > 0, то ∠C - гострий, а трикутник - гострокутний; a² + b² - с² = 0, то ∠C - прямий, а трикутник - прямокутний; а² + b² - с² < 0, то ∠C - тупий, а трикутник - тупокутний.

Задача 4. Визначити вид трикутника зі сторонами а = 4 см, b = 6 см, с = 7 см.

Р о з в’ я з а н н я. а² + b² - с² = 4² + 6² - 7² = 3 > 0, отже, трикутник гострокутний.

В і д п о в і д ь. Гострокутний.

Розглянемо важливу властивість діагоналей паралелограма.

Задача 5. Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Д о в е д е н н я. Нехай ABCD - паралелограм, AB = а, AD = b, AC = d₁, BD = d₂ (мал. 100).

Мал. 100

Мал. 101

З трикутника ABD за теоремою косинусів:

З трикутника ABC за теоремою косинусів:

Додавши почленно ці дві рівності, маємо:

Задача 6. AM - медіана трикутника ABC. Довести формулу медіани трикутника:

Р о з в’ я з а н н я. Продовжимо медіану AM на відрізок MD = AM (мал. 101). Оскільки в чотирикутнику ABDC AM = MD (за побудовою) і BM = MC(за умовою), то ABDC - паралелограм (за ознакою). Тоді AD = 2m_a.

За доведеною вище властивістю діагоналей паралелограма маємо:

AD² + BC² = 2(AB² + AC²), тобто (2m_а)² + а² = 2(с² + b²).

Звідки:

тоді

Отже,

Зауважимо, що в деяких задачах, зокрема тих, розв’язування яких зводиться до розв’язування рівнянь, доцільно використовувати формулу медіани трикутника у вигляді:

А ще раніше…

Можна вважати, що теорему косинусів було доведено ще в «Началах» Евкліда. У 12-му та 13-му реченнях другої книги Евклід узагальнює теорему Піфагора і виводить формулу, якою записує квадрат сторони, яка лежить проти гострого або тупого кута трикутника. Ці формули для кожної зі сторін, які довів Евклід, еквівалентні формулам теореми косинусів:

с² = а² + b² - 2ab cos С;

b² - а² + с² - 2ас cos В;

а² = b² + с² - 26с cos А.

Формули, подібні до цих, використовували також александрійські математики Герон (I ст.) і Пап (III ст.), учені Індії (Брахмагупта, Бхаскара) та країн Близького та Середнього Сходу (Ал-Біруні), а також деякі європейські математики XIII—XV ст., зокрема Леонардо Пізанський (Фібоначчі).

Уперше теорему косинусів сформулював словами видатний математик Франсуа Вієт у своїй праці «Математичні таблиці» (1579 р.). У сучасних же позначеннях відповідну формулу Вієта можна записати так:

Сучасного вигляду теоремі косинусів у 1801 р. надав французький математик Лазар Карно (1753-1823).

1. Сформулюйте і доведіть теорему косинусів.

2. Запишіть рівності, що випливають з теореми косинусів.

3. Як знайти косинус кута трикутника, якщо відомо три його сторони?

4. Як визначити вид трикутника, якщо відомо три його сторони?

1. Початковий рівень

491. Запишіть теорему косинусів для:

1) сторони MN трикутника MNL;

2) сторони PF трикутника PFT.

492. На малюнку 102 зображено Д KLM. Які з рівностей є правильними:

1) LM²= KL²+ KM²+ 2KL ∙ KM ∙ cos K;

2) KM²= KL²+ LM² - 2KL ∙ LM ∙ cos L;

3) KL² = KM² + ML² - 2KM ∙ ML ∙ cos K;

4) LM² = KL² + KM² - 2KL ∙ KM ∙ cos K?

Мал. 102

493. Запишіть формули для обчислення косинусів кутів K і M трикутника KLM (мал. 102), вважаючи, що його сторони відомо.

2. Середній рівень

494. Знайдіть сторону AB трикутника ABC, якщо:

495. Знайдіть сторону BC трикутника ABC, якщо:

496. Сторони паралелограма дорівнюють 4 см і 5 см, а кут між ними - 60°. Знайдіть діагоналі паралелограма.

497. Сторони паралелограма дорівнюють 3 см і 4 см, а кут між ними - 120°. Знайдіть діагоналі паралелограма.

498. Знайдіть косинуси кутів трикутника, сторони якого дорівнюють 5 см, 6 см і 7 см.

499. Знайдіть косинуси кутів трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см, 5 см і 8 см.

500. У трикутнику ABC AB = 1 см, BC = 2 см, AC = см. Знайдіть градусну міру кожного з кутів трикутника.

501. У трикутнику ABC AB = см, BC = 2 см, AC = см. Знайдіть градусну міру найбільшого кута трикутника.

502. Знайдіть градусну міру найменшого кута трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см, 8 см і 4 см.

503. Визначте вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний), якщо відомо три його сторони:

1) 4 см, 5 см і 6 см;

2) 6 см, 8 см і 10 см;

3) 7 см, 8 см і 13 см.

504. Визначте вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний), якщо відомо три його сторони:

1) 2 см, 8 см і 9 см;

2) 7 см, 24 см і 25 см;

3) 4 см, 7 см і 8 см.

505. Дві сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 7 см, а одна з діагоналей - 8 см. Знайдіть другу діагональ паралелограма.

506. Діагоналі паралелограма дорівнюють 6 см і 8 см, а одна зі сторін - 4 см. Знайдіть другу сторону паралелограма.

507. Сторони трикутника дорівнюють 10 см, 24 см і 26 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до більшої сторони.

508. Сторони трикутника дорівнюють 5 см, 6 см і 7 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до меншої сторони.

3. Достатній рівень

509. Одна зі сторін трикутника дорівнює 7 см. Дві інші його сторони утворюють кут 60°, а їх різниця дорівнює 3 см. Знайдіть периметр трикутника.

510. Сторони трикутника, одна з яких на 4 см більша за другу, утворюють кут 120°, а третя сторона дорівнює 14 см. Знайдіть периметр трикутника.

511. Дві сторони трикутника відносяться як 3 : 5, а кут між ними дорівнює 120°. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 30 см.

512. Периметр трикутника дорівнює 60 см. Дві його сторони відносяться як 5 : 8, а кут між ними дорівнює 60°. Знайдіть сторони трикутника.

513. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 8 см, а кут проти меншої з них - 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.

514. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 5 см, а кут проти більшої з них - 45°. Знайдіть третю сторону трикутника.

515. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо вони відносяться як 4 : 7, а сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 9 см.

516. Знайдіть сторони паралелограма, якщо вони відносяться як 2 : 3, а діагоналі паралелограма дорівнюють 17 см і 19 см.

517. Діагоналі паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а одна зі сторін на 1 см більша за другу. Знайдіть периметр паралелограма.

518. Одна з діагоналей паралелограма на 2 см більша за другу. Знайдіть ці діагоналі, якщо сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см.

519. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а медіана, проведена до неї, - 3 см. Знайдіть основу трикутника.

520. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 9 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює 4 см. Знайдіть третю сторону трикутника.

521. Доведіть, що коли для трикутника ABC справджується рівність а² = b² + с² - bc, то ∠A = 60°.

522. Доведіть, що коли для трикутника ABC справджується рівність b² = а² + с² + ас, то ∠B = 120°.

523. Одна зі сторін трикутника дорівнює 13 см. Сума двох інших сторін дорівнює 23 см. Знайдіть ці сторони, якщо вони утворюють кут 60°.

524. Середня за довжиною сторона трикутника на 1 см більша за меншу сторону і на 1 см менша за більшу сторону. Косинус середнього за величиною кута трикутника дорівнює . Знайдіть периметр трикутника.

4. Високий рівень

525. Дві сторони трикутника дорівнюють 10 см і 12 см, а синус кута між ними дорівнює 0,6. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

526. Дві сторони трикутника дорівнюють 10 см і 7 см, а синус кута між ними дорівнює 0,8. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

527. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 11 см, а медіана, проведена до третьої сторони, на 8 см менша за цю сторону. Знайдіть периметр трикутника.

528. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 9 см, а медіана, проведена до третьої сторони, відноситься до цієї сторони як 2 : 7. Знайдіть периметр трикутника.

529. У трикутнику ABC AB = 8 см, BC = 10 см, AC = 12 см. На сторонах AB і AC узято такі точки M і N відповідно, що AM = 3 см, AN = 5 см. Знайдіть довжину відрізка MN.

530. У трикутнику KLM KL = 7 cm, KM = 9 cm, LM = 11 см. На сторонах KL і KM узято такі точки A і B відповідно, що KA = 2 cm, KB = 3 см. Знайдіть довжину відрізка AB.

531. У трикутнику ABC AB = 20 cm, AP і BN - медіани трикутника; AP = 42 cm, BN = 36 см. Знайдіть третю медіану трикутника.

532. Більша діагональ ромба дорівнює d, а один з його кутів дорівнює 60°. Знайдіть периметр ромба.

Вправи для повторення

533. ∆ABC - прямокутний (∠C = 90°). Знайдіть невідомі сторони (з точністю до сотих сантиметра) та кути трикутника, якщо:

1) AB = 12 cm, ∠A = 37°; 2) BC = 16 cm, ∠B = 49°.

534. Знайдіть:

535. Хорда завдовжки 30 см перпендикулярна до діаметра і ділить його на відрізки у відношенні 1 : 9. Знайдіть радіус кола.

536. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 40 cм, а висота, проведена до основи, - 10 см. Знайдіть площу трикутника.

537. Кут між медіаною і висотою, проведеними з вершини прямого кута прямокутного трикутника, дорівнює а. Знайдіть катети трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює с.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

538. Чотирикутник ABCD вписано в коло (мал. 103). Знайдіть ∠A, якщо ∠C = 130°.

539. На малюнку 104 ∠AQB = 40°. Знайдіть ∠AMB.

Мал. 103

Мал. 104

Мал. 105

Мал. 106

540. AB - діаметр кола, ∠BAC = a, OB = R (мал. 105). Знайдіть BC.

541. Дано: ∆ABC, ∠C = 90°, AC = 3, BC = 4 (мал. 106). Знайти: 1) AB; 2) sin A, sin B; 3) радіус описаного кола R;

4) відношення

Переконайтеся, що

Цікаві задачі для учнів неледачих

542. На відрізку AB, як на діаметрі, побудовано півколо (мал. 107). Промені AK і BK перетинають півколо відповідно в точках M і N; AN і BMперетинаються в точці L. Знайдіть кут між прямими KL і AB.

Мал. 107

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити