Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 3 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

§12. ТЕОРЕМА СИНУСІВ

Л е м а. Якщо AB — хорда кола, радіус якого дорівнює R, a M — будь-яка точка кола, то

Д о в е д е н н я. 1) Якщо AB = 2R - діаметр кола (мал. 108), то Z AMB = 90° при будь-якому розташуванні точки M на колі. Тоді, ураховуючи співвідношення у прямокутному трикутнику,

Мал. 108

Мал. 109

2) Нехай AB - не є діаметром кола, а M - точка, що належить більшій дузі кола (мал. 109). Проведемо діаметр AK. Тоді AMB = AKB (як вписані, що спираються на одну й ту саму дугу). ABK = 90° (як кут, що спирається на діаметр).

У трикутнику ABK (B = 90°) sin AKB = , тому sin AMB = ,

звідки

3) Нехай AB - не є діаметром, а точка M1 належить меншій дузі кола, тоді M + M1 = 180°. Маємо:

AM1B = 180° - AMB, тому sin AM1B = sin (180° - AMB) = sin AMB.

Отже, у цьому випадку також справджується рівність

Тепер доведемо важливу теорему про співвідношення між сторонами і кутами трикутника.

Т е о р е м а с и н у с і в. Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних до них кутів.

Д о в е д е н н я. Нехай ABC - довільний трикутник, AB = с, AC = b, BC = а (мал. 110). Доведемо, що

Опишемо коло радіуса R навколо даного трикутника. За доведеною лемою:

Отже,

Мал. 110

Наслідок (узагальнена теорема синусів). У будь-якому трикутнику відношення сторони до синуса протилежного їй кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо цього трикутника:

Скориставшися теоремою синусів, можна довести відоме з курсу геометрії 7 класу твердження:

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти більшого кута лежить більша сторона.

Доведіть це твердження самостійно.

За допомогою теореми синусів можна розв’язувати трикутники. Наприклад, за двома даними кутами трикутника і стороною, що лежить проти одного з них, можна знайти сторону, що лежить проти другого кута.

Задача 1. Дано: ∆ABC BC = 7 см; A = 45°; B = 60°.

Знайти сторону AC.

Р о з в’ я з а н н я. За теоремою синусів маємо (мал. 110):

звідки

В і д п о в і д ь.

Також за двома сторонами трикутника і кутом, що лежить проти однієї з них, можна знайти кут, що лежить проти другої сторони.

Задача 2. У трикутнику ABC AB = 1 см, BC =  см. Знайти A, якщо:

1) C = 45°;     2) C = 30°.

Р о з в’ я з а н н я. Позначимо AB = c, BC = а.

1) За теоремою синусів маємо:

звідки sin А =  ∙ sin 45° = 1. Тоді A = 90°.

2) Аналогічно

звідки

Маємо: A = 45° або A = 135°. Зауважимо, що в обох випадках А + C < 180°, тому задача має два розв’язки.

В і д п о в і д ь. 1) 90°; 2) 45° або 135°.

Задачі, у яких треба знайти радіус кола, описаного навколо трикутника, часто можна розв’язати за допомогою наслідка з теореми синусів (узагальненої теореми синусів).

Задача 3. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 5 см,  см і 2 см.

Р о з в’ я з а н н я. Нехай а = 5 см, b =  см, с = 2  см.

Знайдемо косинус кута В:

Тому B = 30°.

За узагальненою теоремою синусів  тому

В і д п о в і д ь:  см.

Індійські вчені, як і вчені з мусульманських країн, у ІХ—Х ст. зводили розв'язування трикутників до розв'язування прямокутних трикутників, отже, не мали потреби в теоремі синусів, тому і не знали її. Теорему синусів довів лише в ХІ ст. математик і астроном Ал-Біруні. А вже з XVI ст. її починають використовувати європейські математики.

У 1799 р. французький математик Жан Луї Лагранж (1736-1813) вивів теорему синусів з теореми косинусів. Інший французький математик Огюстен Луї Коші (1789-1857) у своїй праці «Курс аналізу», що була опублікована в 1821 р., вивів теорему косинусів з теореми синусів.

Ал-Біруні (973-1048)

1. Сформулюйте і доведіть лему, подану в цьому параграфі.

2. Сформулюйте і доведіть теорему синусів.

3. Сформулюйте наслідок з теореми синусів.

1. Початковий рівень

543. У трикутнику проти сторони а лежить кут 50°, а проти сторони b - кут 40°. Які з рівностей правильні:

544. У трикутнику проти сторони b лежить кут 80°, а проти сторони с - кут 70°. Заповніть порожні клітинки:

545. У трикутнику ABC sin A = 0,2, sin В = 0,4, а = 10 см. Знайдіть b.

546. У трикутнику ABC а = 2 см, b = 6 см, sin А = 0,3. Знайдіть sin B.

2. Середній рівень

547. У трикутнику ABC A = 60°, B = 45°. Знайдіть відношення сторони BC до сторони AC.

548. У трикутнику ABC B = 30°, C = 60°. Знайдіть відношення сторони AC до сторони AB.

549. У трикутнику OKP OP = 3 см, K = 30°, P = 45°. Знайдіть OK.

550. У трикутнику OKP OK = 4 см, K = 60°, P = 30°. Знайдіть OP.

551. У трикутнику ABC AB =  см, A = 15°, C = 135°. Знайдіть AC.

552. У трикутнику ABC A = 120°, B = 15°, BC = 8  см. Знайдіть AB.

553. У трикутнику ABC AB = 7 см, C = 120°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

554. У трикутнику ABC BC = 6 см, A = 30°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

555. За допомогою наслідка з теореми синусів знайдіть радіус кола, описаного навколо:

1) рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює а;

2) прямокутного трикутника, гіпотенуза якого дорівнює с.

556. За допомогою наслідка з теореми синусів знайдіть сторони рівностороннього трикутника за радіусом R описаного кола.

557. Доведіть, що в будь-якому трикутнику сторона, що лежить проти кута 30°, дорівнює радіусу кола, описаного навколо цього трикутника.

558. Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, катет якого дорівнює 18 см, а прилеглий до нього кут - 30°.

3. Достатній рівень

559. У трикутнику ABC AB =  см, AC = 1 см, C = 45°. Знайдіть B.

560. У трикутнику ABC AB = 1 см, BC =  см, A = 135°. Знайдіть C.

561. У трикутнику ABC BC =  см, AB =  см, C = 45°. Знайдіть А.

562. У трикутнику ABC AC = 2 см, BC =  см, A = 30°. Знайдіть В.

563. Сторона трикутника відноситься до радіуса описаного навколо трикутника кола як  : 1. Знайдіть кут, що лежить проти цієї сторони.

564. Сторона трикутника дорівнює радіусу описаного навколо нього кола. Знайдіть кут, що лежить проти цієї сторони.

565. Радіус описаного навколо рівнобічної трапеції кола дорівнює 6 см. Знайдіть довжину діагоналі трапеції, якщо один з її кутів дорівнює 135°.

566. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 8 см, а кут між ними - 60°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

567. Дві сторони трикутника дорівнюють 2 см і 4 см, а кут між ними - 30°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

4. Високий рівень

568. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, у якого кут при основі дорівнює 30°, а основа більша за бічну сторону на 2 см.

569. Сторона AB трикутника ABC на 1 см більша за сторону AC. Знайдіть сторони AB і AC, якщо C = 60°, B = 45°.

570. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 8 см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса описаного кола як  : 1. Скільки розв’язків має задача?

571. Одна з діагоналей паралелограма дорівнює d і ділить його кут на частини, міри яких дорівнюють а і р. Знайдіть периметр паралелограма.

572. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює т, а кут при основі - а. Знайдіть довжину бісектриси кута при основі.

573. У прямокутному трикутнику довжина гіпотенузи дорівнює с, а градусна міра одного з гострих кутів - а. Знайдіть довжину бісектриси трикутника, що виходить з вершини прямого кута.

Вправи для повторення

574. Два кути трикутника дорівнюють 37° і 62°. Знайдіть усі зовнішні кути трикутника.

575. Один з кутів паралелограма вдвічі менший за інший. Знайдіть меншу діагональ паралелограма, якщо його сторони дорівнюють 5 см і 8 см.

576. Знайдіть площу ромба, сторона якого дорівнює а, а одна з діагоналей - d.

577. Катети прямокутного трикутника дорівнюють а см і b см. Знайдіть відношення площ, на які ділить трикутник висота, проведена до гіпотенузи.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

578. У трикутнику ABC C = 90°. Розв’яжіть трикутник, якщо:

1) AB = 8 см, A = 30°;

2) AC = 4 см, B = 45°;

3) AC = 10 см, A = 60°;

4) AC = 2 см, BC = см;

5) AB = 2 см, BC = см;

6) AC = 3 см, AB = 6 см.

579. У трикутнику ABC AC = 90°. Розв’яжіть цей трикутник (сторони у завданнях 1-3 знайдіть із точністю до сотих сантиметра, гострі кути у завданнях 4-6 - із точністю до градуса).

1) AB = 10 см, B = 37°;

2) BC = 7 см, A = 83°;

3) BC = 6 см, B = 18°;

4) AC = 10 см, BC = 6 см;

5) AB = 8 см, AC = 5 см;

6) BC = 3 см, AB = 7 см.

Цікаві задачі для учнів неледачих

580. (Всеукраїнська математична олімпіада, 1965 р.) З деякої точки кола, описаного навколо прямокутника, проведено перпендикуляри до його діагоналей. Довести, що відстань між основами цих перпендикулярів не залежить від положення точки на колі.

Мал. 107









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.