Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 3 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

§13. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ. ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ

Нагадаємо, що розв’язати трикутник - означає знайти невідомі його сторони і кути за якими-небудь відомими сторонами і кутами. Раніше мирозв’язували прямокутні трикутники.

Під час розв’язування довільного трикутника ABC, де AB = c, AC = b, BC = а (мал. 111), використовують такі співвідношення:

A + B + C = 180°;

а2= b2 + с2 - 2bc cos A;

b2 = а2+ с2- 2ас cos B;

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C (теорема косинусів);

Мал. 111

Розглянемо чотири види задач на розв’язування трикутників. Невідомі сторони будемо знаходити з точністю до сотих, а невідомі кути - із точністю до мінути.

1. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом між ними

Задача 1. Дано сторони трикутника а і b та кут C між ними. Знайти сторону с та кути A і B.

2. Розв’язування трикутників за стороною і двома кутами

Задача 2. Дано сторону трикутника а і кути B і C. Знайти сторони трикутника b і c і кут А.

3. Розв’язування трикутників за трьома сторонами

Задача 3. Дано три сторони a, b і с трикутника (|b - с| < a < b + с). Знайти три кути А, В і C трикутника.

4. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них

Задача 4. Дано сторони трикутника a, b і кут А. Знайти сторону с трикутника та кути B і C.

Ця задача, на відміну від трьох попередніх, які завжди мають єдиний розв’язок, може мати один, два або не мати жодного розв’язку.

Уміння розв’язувати трикутники допоможе і для розв’язування прикладних задач.

Задача 5 (Вимірювання відстані до недоступної точки). Знайти відстань від точки спостереження А до недоступної точки C (мал. 112).

Мал. 112

Р о з в’ я з а н н я. Цю задачу ми вже розв’язували у 8-му класі за допомогою подібності трикутників. Розглянемо тепер інший спосіб - за допомогою теореми синусів.

1) Позначимо на місцевості точку В і виміряємо довжину відрізка AB. Нехай AB = с. Потім виміряємо (наприклад, за допомогою астролябії) кути А і В, нехай А = a, B = .

2) За теоремою синусів:

3) C = 180° - (A + B), тому sin C = sin (180° - (а + )) = = sin (а + ). Остаточно отримаємо:

Задача 6 (Вимірювання висоти предмета, основа якого недоступна). Знайти висоту дерева CH, якщо точка H - недоступна (мал. 113).

Мал. 113

Р о з в’ я з а н н я. Цю задачу ми також розв’язували у 8-му класі за допомогою співвідношень між сторонами і кутами в прямокутних трикутниках CHA і CHB. Розглянемо ще один спосіб розв’язування.

1) На прямій, що проходить через основу предмета - точку H, виберемо дві точки А і B, відстань між якими дорівнює а. Виміряємо кути САН і CBH, нехай САН = а, CBH = .

2) Із трикутника ABC:

Оскільки CAB = 180° - а, то ACB = 180° - ( + 180° - а) = = а - .

Тоді

3) Із трикутника CHA: CH = AC sin а. Тоді

1. Які співвідношення між сторонами і кутами трикутника використовуємо під час розв’язування трикутників?

2. Як розв’язати трикутник: 1) за двома сторонами і кутом між ними; 2) за стороною і двома кутами; 3) за трьома сторонами; 4) за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них?

2. Середній рівень

У задачах № 581-586, 592, 593 невідомі сторони знайдіть з точністю до сотих сантиметра, кути в разі використання калькулятора - з точністю до мінути або з точністю до градуса у разі використання таблиць.

581. Розв’яжіть ∆ABC за двома сторонами і кутом між ними:

1) AB = 7 см, AC = 5 см, A = 60°;

2) AC = 8 см, BC = 9 см, C = 46°;

3) BC = 10 см, AB = 6 см, B = 117°;

4) AB = 3 см, AC = 8 см, A = 129°.

582. Розв’яжіть ∆ABC за двома сторонами і кутом між ними:

1) AC = 5 см, BC = 7 см, C = 42°;

2) BC = 8 см, AB = 9 см, B = 62°;

3) AB = 9 см, AC = 5 см, A = 120°;

4) AC = 8 см, BC = 4 см, C = 147°.

583. Розв’яжіть ∆ABC за стороною і двома кутами:

1) AB = 8 см, A = 37°, B = 30°;

2) AC = 10 см, A = 45°, C = 92°;

3) BC = 6 см, B = 12°, A = 18°;

4) AB = 7 см, A = 57°, C = 62°.

584. Розв’яжіть ∆ABC за стороною і двома кутами:

1) AC = 5 см, A = 150°, C = 8°;

2) BC = 4 см, B = 108°, A = 23°;

3) AB = 12 см, B = 56°, C = 94°;

4) AC = 9 см, A = 63°, C = 67°.

585. Розв’яжіть ∆ABC за трьома сторонами:

1) AB = 3 см, AC = 8 см, BC = 7 см;

2) AB = 9 см, AC = 8 см, BC = 13 см.

586. Розв’яжіть ∆ABC за трьома сторонами:

1) AB = 3 см, AC = 5 см, BC = 7 см;

2) AB = 10 см, AC = 6 см, BC = 7 см.

587. Сторона паралелограма дорівнює 7 см і утворює з його діагоналлю завдовжки 8 см кут 67°. Знайдіть другу сторону паралелограма та його кути.

588. Діагональ паралелограма дорівнює 8 см і утворює кути 37° і 42° зі сторонами паралелограма. Знайдіть кути та сторони паралелограма.

589.  Щоб знайти відстань AB до млина (мал. 114), виміряли відстань AC = 36 м, A = 60° і C = 95°. Знайдіть відстань AB з точністю до сотих метра.

Мал. 114

590. Футбольний м’яч знаходиться в точці А футбольного поля на відстанях 18 м і 20 м від основ B і C стійок воріт (мал. 115). Футболіст спрямовує м’яч у ворота. Знайдіть кут а (з точністю до градуса), під яким м’яч влучає у ворота, якщо ширина воріт дорівнює 7,32 м.

Мал. 115

591. Дальномір - прилад для знаходження відстані до об’єкта без безпосередніх вимірювань на місцевості. Використовується у фотографії, геодезії, військовій справі, астрономії. За допомогою дальноміра було виміряно відстані AC = 30 м і BC = 45 м, а за допомогою астролябії ACB = 40° (мал. 116). Більшою чи меншою за 30 м є відстань між двома недоступними точками A і B?

Мал. 116

3. Достатній рівень

592. Розв’яжіть ∆ABC за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:

1) AC = 5 см, BC = 8 см, A = 80°;

2) AC = 10 см, AB = 7 см, B = 60°;

3) ВС = 2 см, AC =  4 см, A = 61°;

4) AC = 3 см, ВС =  4 см, B = 30°.

593. Розв’яжіть ∆АВС за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:

1) AB = 12 см, BC   = 5 см, C = 120°;

2) AC = 8 см, ВС =  9 см, A = 40°;

3) AC = 4 см, ВС =  8 см, B = 50°;

4) ВС = 6 см, AC =  5 см, B = 17°.

594. Сторона паралелограма дорівнює 6 см і утворює з діагоналями паралелограма кути 27° і 48°. Знайдіть другу сторону і кути паралелограма.

595. Діагоналі паралелограма дорівнюють 8 см і 10 см і перетинаються під кутом 70°. Знайдіть сторони і кути паралелограма.

596. AD і BC - основи рівнобічної трапеції ABCD, AC = 6 см, BAC = 52°, CAD = 20°. Знайдіть сторони і кути трапеції.

597. AD і ВС - основи рівнобічної трапеції ABCD, BD = 8 см, ABD = 49°, DBC = 62°. Знайдіть сторони і кути трапеції.

4. Високий рівень

598.  О 8:00 порушник правил дорожнього руху повернув з головної дороги і помчав уздовж шосе зі швидкістю 150 км/год. O 8:01 екіпаж патрульної поліції отримав наказ затримати порушника й помчав йому напереріз ґрунтовою дорогою зі швидкістю 80 км/год (мал. 117). Чи встигнуть патрульні зупинити порушника на перехресті шосе i ґрунтової дороги?

Мал. 117

599. З точки до прямої проведено дві похилі, які утворюють з прямою кути 50° і 70°. Відстань між основами похилих дорівнює 6 см. Знайдіть кут між похилими та довжини похилих із точністю до сотих сантиметра. Скільки випадків слід розглянути?

600. З точки до прямої проведено дві похилі, відстань між основами яких 7 см. Одна з них дорівнює 5 см і утворює з прямою кут 60°. Знайдіть другу похилу (з точністю до сотих см), кут між похилими та кут, що утворює друга похила з прямою (з точністю до градуса). Скільки випадків слід розглянути?

601. Щоб за відсутності дальноміра знайти відстань між двома недоступними точками А і В, вибрали дві доступні точки C і D, провели вимірювання й отримали, що CD = 50 м, ADB = 50°, ADC = 80°, ACB = 40°, BCD = 45° (мал. 118). Знайдіть відстань AB (з точністю до метра).

Мал. 118

Вправи для повторення

602. Знайдіть діагональ квадрата, площа якого дорівнює 36 см2.

603. Одна зі сторін прямокутника вдвічі більша за іншу, а його діагональ дорівнює 10 см. Знайдіть площу й периметр прямокутника.

604. Сусідні сторони паралелограма дорівнюють а і b, а його гострий кут дорівнює а. Знайдіть модуль різниці квадратів діагоналей паралелограма.

605. Складіть рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром до відрізка AB, якщо А(-3; 2), B(5; 0).

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

606. Знайдіть площу трикутника, сторона якого довжини а, а висота, проведена до неї, дорівнює ha, якщо:

1) а = 5 см, ha = 8 см; 2) а = 4 см, ha = 22 мм.

607. Знайдіть площу паралелограма, сторона якого довжини а, а висота, проведена до неї, дорівнює ha, якщо:

1) а = 2 см, ha = 3 см; 2) а = 8 см, ha = 0,5 дм.

Цікаві задачі для учнів неледачих

608. У трикутнику ABC C = 120°, H - ортоцентр трикутника, O - центр описаного кола. Точка M - середина дуги ACB. Доведіть, що HM = MO.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.