Розділ 3 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

§13. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ. ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ

Нагадаємо, що розв’язати трикутник - означає знайти невідомі його сторони і кути за якими-небудь відомими сторонами і кутами. Раніше мирозв’язували прямокутні трикутники.

Під час розв’язування довільного трикутника ABC, де AB = c, AC = b, BC = а (мал. 111), використовують такі співвідношення:

∠A + ∠B + ∠C = 180°;

а²= b² + с² - 2bc cos A;

b² = а²+ с²- 2ас cos B;

c² = a² + b² - 2ab cos C (теорема косинусів);

Мал. 111

Розглянемо чотири види задач на розв’язування трикутників. Невідомі сторони будемо знаходити з точністю до сотих, а невідомі кути - із точністю до мінути.

1. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом між ними

Задача 1. Дано сторони трикутника а і b та кут C між ними. Знайти сторону с та кути A і B.

2. Розв’язування трикутників за стороною і двома кутами

Задача 2. Дано сторону трикутника а і кути B і C. Знайти сторони трикутника b і c і кут А.

3. Розв’язування трикутників за трьома сторонами

Задача 3. Дано три сторони a, b і с трикутника (|b - с| < a < b + с). Знайти три кути А, В і C трикутника.

4. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них

Задача 4. Дано сторони трикутника a, b і кут А. Знайти сторону с трикутника та кути B і C.

Ця задача, на відміну від трьох попередніх, які завжди мають єдиний розв’язок, може мати один, два або не мати жодного розв’язку.

Уміння розв’язувати трикутники допоможе і для розв’язування прикладних задач.

Задача 5 (Вимірювання відстані до недоступної точки). Знайти відстань від точки спостереження А до недоступної точки C (мал. 112).

Мал. 112

Р о з в’ я з а н н я. Цю задачу ми вже розв’язували у 8-му класі за допомогою подібності трикутників. Розглянемо тепер інший спосіб - за допомогою теореми синусів.

1) Позначимо на місцевості точку В і виміряємо довжину відрізка AB. Нехай AB = с. Потім виміряємо (наприклад, за допомогою астролябії) кути А і В, нехай ∠А = a, ∠B = .

2) За теоремою синусів:

3) ∠C = 180° - (∠A + ∠B), тому sin C = sin (180° - (а + )) = = sin (а + ). Остаточно отримаємо:

Задача 6 (Вимірювання висоти предмета, основа якого недоступна). Знайти висоту дерева CH, якщо точка H - недоступна (мал. 113).

Мал. 113

Р о з в’ я з а н н я. Цю задачу ми також розв’язували у 8-му класі за допомогою співвідношень між сторонами і кутами в прямокутних трикутниках CHA і CHB. Розглянемо ще один спосіб розв’язування.

1) На прямій, що проходить через основу предмета - точку H, виберемо дві точки А і B, відстань між якими дорівнює а. Виміряємо кути САН і CBH, нехай ∠САН = а, ∠CBH = .

2) Із трикутника ABC:

Оскільки ∠CAB = 180° - а, то ∠ACB = 180° - ( + 180° - а) = = а - .

Тоді

3) Із трикутника CHA: CH = AC ∙ sin а. Тоді

1. Які співвідношення між сторонами і кутами трикутника використовуємо під час розв’язування трикутників?

2. Як розв’язати трикутник: 1) за двома сторонами і кутом між ними; 2) за стороною і двома кутами; 3) за трьома сторонами; 4) за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них?

2. Середній рівень

У задачах № 581-586, 592, 593 невідомі сторони знайдіть з точністю до сотих сантиметра, кути в разі використання калькулятора - з точністю до мінути або з точністю до градуса у разі використання таблиць.

581. Розв’яжіть ∆ABC за двома сторонами і кутом між ними:

1) AB = 7 см, AC = 5 см, ∠A = 60°;

2) AC = 8 см, BC = 9 см, ∠C = 46°;

3) BC = 10 см, AB = 6 см, ∠B = 117°;

4) AB = 3 см, AC = 8 см, ∠A = 129°.

582. Розв’яжіть ∆ABC за двома сторонами і кутом між ними:

1) AC = 5 см, BC = 7 см, ∠C = 42°;

2) BC = 8 см, AB = 9 см, ∠B = 62°;

3) AB = 9 см, AC = 5 см, ∠A = 120°;

4) AC = 8 см, BC = 4 см, ∠C = 147°.

583. Розв’яжіть ∆ABC за стороною і двома кутами:

1) AB = 8 см, ∠A = 37°, ∠B = 30°;

2) AC = 10 см, ∠A = 45°, ∠C = 92°;

3) BC = 6 см, ∠B = 12°, ∠A = 18°;

4) AB = 7 см, ∠A = 57°, ∠C = 62°.

584. Розв’яжіть ∆ABC за стороною і двома кутами:

1) AC = 5 см, ∠A = 150°, ∠C = 8°;

2) BC = 4 см, ∠B = 108°, ∠A = 23°;

3) AB = 12 см, ∠B = 56°, ∠C = 94°;

4) AC = 9 см, ∠A = 63°, ∠C = 67°.

585. Розв’яжіть ∆ABC за трьома сторонами:

1) AB = 3 см, AC = 8 см, BC = 7 см;

2) AB = 9 см, AC = 8 см, BC = 13 см.

586. Розв’яжіть ∆ABC за трьома сторонами:

1) AB = 3 см, AC = 5 см, BC = 7 см;

2) AB = 10 см, AC = 6 см, BC = 7 см.

587. Сторона паралелограма дорівнює 7 см і утворює з його діагоналлю завдовжки 8 см кут 67°. Знайдіть другу сторону паралелограма та його кути.

588. Діагональ паралелограма дорівнює 8 см і утворює кути 37° і 42° зі сторонами паралелограма. Знайдіть кути та сторони паралелограма.

589.  Щоб знайти відстань AB до млина (мал. 114), виміряли відстань AC = 36 м, ∠A = 60° і ∠C = 95°. Знайдіть відстань AB з точністю до сотих метра.

Мал. 114

590. Футбольний м’яч знаходиться в точці А футбольного поля на відстанях 18 м і 20 м від основ B і C стійок воріт (мал. 115). Футболіст спрямовує м’яч у ворота. Знайдіть кут а (з точністю до градуса), під яким м’яч влучає у ворота, якщо ширина воріт дорівнює 7,32 м.

Мал. 115

591. Дальномір - прилад для знаходження відстані до об’єкта без безпосередніх вимірювань на місцевості. Використовується у фотографії, геодезії, військовій справі, астрономії. За допомогою дальноміра було виміряно відстані AC = 30 м і BC = 45 м, а за допомогою астролябії ∠ACB = 40° (мал. 116). Більшою чи меншою за 30 м є відстань між двома недоступними точками A і B?

Мал. 116

3. Достатній рівень

592. Розв’яжіть ∆ABC за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:

1) AC = 5 см, BC = 8 см, ∠A = 80°;

2) AC = 10 см, AB = 7 см, ∠B = 60°;

3) ВС = 2 см, AC =  4 см, ∠A = 61°;

4) AC = 3 см, ВС =  4 см, ∠B = 30°.

593. Розв’яжіть ∆АВС за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:

1) AB = 12 см, BC   = 5 см, ∠C = 120°;

2) AC = 8 см, ВС =  9 см, ∠A = 40°;

3) AC = 4 см, ВС =  8 см, ∠B = 50°;

4) ВС = 6 см, AC =  5 см, ∠B = 17°.

594. Сторона паралелограма дорівнює 6 см і утворює з діагоналями паралелограма кути 27° і 48°. Знайдіть другу сторону і кути паралелограма.

595. Діагоналі паралелограма дорівнюють 8 см і 10 см і перетинаються під кутом 70°. Знайдіть сторони і кути паралелограма.

596. AD і BC - основи рівнобічної трапеції ABCD, AC = 6 см, ∠BAC = 52°, ∠CAD = 20°. Знайдіть сторони і кути трапеції.

597. AD і ВС - основи рівнобічної трапеції ABCD, BD = 8 см, ∠ABD = 49°, ∠DBC = 62°. Знайдіть сторони і кути трапеції.

4. Високий рівень

598.  О 8:00 порушник правил дорожнього руху повернув з головної дороги і помчав уздовж шосе зі швидкістю 150 км/год. O 8:01 екіпаж патрульної поліції отримав наказ затримати порушника й помчав йому напереріз ґрунтовою дорогою зі швидкістю 80 км/год (мал. 117). Чи встигнуть патрульні зупинити порушника на перехресті шосе i ґрунтової дороги?

Мал. 117

599. З точки до прямої проведено дві похилі, які утворюють з прямою кути 50° і 70°. Відстань між основами похилих дорівнює 6 см. Знайдіть кут між похилими та довжини похилих із точністю до сотих сантиметра. Скільки випадків слід розглянути?

600. З точки до прямої проведено дві похилі, відстань між основами яких 7 см. Одна з них дорівнює 5 см і утворює з прямою кут 60°. Знайдіть другу похилу (з точністю до сотих см), кут між похилими та кут, що утворює друга похила з прямою (з точністю до градуса). Скільки випадків слід розглянути?

601. Щоб за відсутності дальноміра знайти відстань між двома недоступними точками А і В, вибрали дві доступні точки C і D, провели вимірювання й отримали, що CD = 50 м, ∠ADB = 50°, ∠ADC = 80°, ∠ACB = 40°, ∠BCD = 45° (мал. 118). Знайдіть відстань AB (з точністю до метра).

Мал. 118

Вправи для повторення

602. Знайдіть діагональ квадрата, площа якого дорівнює 36 см².

603. Одна зі сторін прямокутника вдвічі більша за іншу, а його діагональ дорівнює 10 см. Знайдіть площу й периметр прямокутника.

604. Сусідні сторони паралелограма дорівнюють а і b, а його гострий кут дорівнює а. Знайдіть модуль різниці квадратів діагоналей паралелограма.

605. Складіть рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром до відрізка AB, якщо А(-3; 2), B(5; 0).

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

606. Знайдіть площу трикутника, сторона якого довжини а, а висота, проведена до неї, дорівнює h_a, якщо:

1) а = 5 см, h_a = 8 см; 2) а = 4 см, h_a = 22 мм.

607. Знайдіть площу паралелограма, сторона якого довжини а, а висота, проведена до неї, дорівнює h_a, якщо:

1) а = 2 см, h_a = 3 см; 2) а = 8 см, h_a = 0,5 дм.

Цікаві задачі для учнів неледачих

608. У трикутнику ABC ∠C = 120°, H - ортоцентр трикутника, O - центр описаного кола. Точка M - середина дуги ACB. Доведіть, що HM = MO.