Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік
Розділ 3 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ
§13. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ. ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ
Нагадаємо, що розв’язати трикутник - означає знайти невідомі його сторони і кути за якими-небудь відомими сторонами і кутами. Раніше мирозв’язували прямокутні трикутники.
Під час розв’язування довільного трикутника ABC, де AB = c, AC = b, BC = а (мал. 111), використовують такі співвідношення:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
а2= b2 + с2 - 2bc cos A;
b2 = а2+ с2- 2ас cos B;
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C (теорема косинусів);
Мал. 111
Розглянемо чотири види задач на розв’язування трикутників. Невідомі сторони будемо знаходити з точністю до сотих, а невідомі кути - із точністю до мінути.
1. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом між ними
Задача 1. Дано сторони трикутника а і b та кут C між ними. Знайти сторону с та кути A і B.
2. Розв’язування трикутників за стороною і двома кутами
Задача 2. Дано сторону трикутника а і кути B і C. Знайти сторони трикутника b і c і кут А.
3. Розв’язування трикутників за трьома сторонами
Задача 3. Дано три сторони a, b і с трикутника (|b - с| < a < b + с). Знайти три кути А, В і C трикутника.
4. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них
Задача 4. Дано сторони трикутника a, b і кут А. Знайти сторону с трикутника та кути B і C.
Ця задача, на відміну від трьох попередніх, які завжди мають єдиний розв’язок, може мати один, два або не мати жодного розв’язку.
Уміння розв’язувати трикутники допоможе і для розв’язування прикладних задач.
Задача 5 (Вимірювання відстані до недоступної точки). Знайти відстань від точки спостереження А до недоступної точки C (мал. 112).
Мал. 112
Р о з в’ я з а н н я. Цю задачу ми вже розв’язували у 8-му класі за допомогою подібності трикутників. Розглянемо тепер інший спосіб - за допомогою теореми синусів.
1) Позначимо на місцевості точку В і виміряємо довжину відрізка AB. Нехай AB = с. Потім виміряємо (наприклад, за допомогою астролябії) кути А і В, нехай ∠А = a, ∠B = 
.
2) За теоремою синусів:
3) ∠C = 180° - (∠A + ∠B), тому sin C = sin (180° - (а + )) = = sin (а + ). Остаточно отримаємо:
Задача 6 (Вимірювання висоти предмета, основа якого недоступна). Знайти висоту дерева CH, якщо точка H - недоступна (мал. 113).
Мал. 113
Р о з в’ я з а н н я. Цю задачу ми також розв’язували у 8-му класі за допомогою співвідношень між сторонами і кутами в прямокутних трикутниках CHA і CHB. Розглянемо ще один спосіб розв’язування.
1) На прямій, що проходить через основу предмета - точку H, виберемо дві точки А і B, відстань між якими дорівнює а. Виміряємо кути САН і CBH, нехай ∠САН = а, ∠CBH = .
2) Із трикутника ABC:
Оскільки ∠CAB = 180° - а, то ∠ACB = 180° - ( + 180° - а) = = а - .
Тоді 
3) Із трикутника CHA: CH = AC ∙ sin а. Тоді 
1. Які співвідношення між сторонами і кутами трикутника використовуємо під час розв’язування трикутників?
2. Як розв’язати трикутник: 1) за двома сторонами і кутом між ними; 2) за стороною і двома кутами; 3) за трьома сторонами; 4) за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них?
2. Середній рівень
У задачах № 581-586, 592, 593 невідомі сторони знайдіть з точністю до сотих сантиметра, кути в разі використання калькулятора - з точністю до мінути або з точністю до градуса у разі використання таблиць.
581. Розв’яжіть ∆ABC за двома сторонами і кутом між ними:
1) AB = 7 см, AC = 5 см, ∠A = 60°;
2) AC = 8 см, BC = 9 см, ∠C = 46°;
3) BC = 10 см, AB = 6 см, ∠B = 117°;
4) AB = 3 см, AC = 8 см, ∠A = 129°.
582. Розв’яжіть ∆ABC за двома сторонами і кутом між ними:
1) AC = 5 см, BC = 7 см, ∠C = 42°;
2) BC = 8 см, AB = 9 см, ∠B = 62°;
3) AB = 9 см, AC = 5 см, ∠A = 120°;
4) AC = 8 см, BC = 4 см, ∠C = 147°.
583. Розв’яжіть ∆ABC за стороною і двома кутами:
1) AB = 8 см, ∠A = 37°, ∠B = 30°;
2) AC = 10 см, ∠A = 45°, ∠C = 92°;
3) BC = 6 см, ∠B = 12°, ∠A = 18°;
4) AB = 7 см, ∠A = 57°, ∠C = 62°.
584. Розв’яжіть ∆ABC за стороною і двома кутами:
1) AC = 5 см, ∠A = 150°, ∠C = 8°;
2) BC = 4 см, ∠B = 108°, ∠A = 23°;
3) AB = 12 см, ∠B = 56°, ∠C = 94°;
4) AC = 9 см, ∠A = 63°, ∠C = 67°.
585. Розв’яжіть ∆ABC за трьома сторонами:
1) AB = 3 см, AC = 8 см, BC = 7 см;
2) AB = 9 см, AC = 8 см, BC = 13 см.
586. Розв’яжіть ∆ABC за трьома сторонами:
1) AB = 3 см, AC = 5 см, BC = 7 см;
2) AB = 10 см, AC = 6 см, BC = 7 см.
587. Сторона паралелограма дорівнює 7 см і утворює з його діагоналлю завдовжки 8 см кут 67°. Знайдіть другу сторону паралелограма та його кути.
588. Діагональ паралелограма дорівнює 8 см і утворює кути 37° і 42° зі сторонами паралелограма. Знайдіть кути та сторони паралелограма.
589. Щоб знайти відстань AB до млина (мал. 114), виміряли відстань AC = 36 м, ∠A = 60° і ∠C = 95°. Знайдіть відстань AB з точністю до сотих метра.
Мал. 114
590. Футбольний м’яч знаходиться в точці А футбольного поля на відстанях 18 м і 20 м від основ B і C стійок воріт (мал. 115). Футболіст спрямовує м’яч у ворота. Знайдіть кут а (з точністю до градуса), під яким м’яч влучає у ворота, якщо ширина воріт дорівнює 7,32 м.
Мал. 115
591. Дальномір - прилад для знаходження відстані до об’єкта без безпосередніх вимірювань на місцевості. Використовується у фотографії, геодезії, військовій справі, астрономії. За допомогою дальноміра було виміряно відстані AC = 30 м і BC = 45 м, а за допомогою астролябії ∠ACB = 40° (мал. 116). Більшою чи меншою за 30 м є відстань між двома недоступними точками A і B?
Мал. 116
3. Достатній рівень
592. Розв’яжіть ∆ABC за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:
1) AC = 5 см, BC = 8 см, ∠A = 80°;
2) AC = 10 см, AB = 7 см, ∠B = 60°;
3) ВС = 2 см, AC = 4 см, ∠A = 61°;
4) AC = 3 см, ВС = 4 см, ∠B = 30°.
593. Розв’яжіть ∆АВС за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:
1) AB = 12 см, BC = 5 см, ∠C = 120°;
2) AC = 8 см, ВС = 9 см, ∠A = 40°;
3) AC = 4 см, ВС = 8 см, ∠B = 50°;
4) ВС = 6 см, AC = 5 см, ∠B = 17°.
594. Сторона паралелограма дорівнює 6 см і утворює з діагоналями паралелограма кути 27° і 48°. Знайдіть другу сторону і кути паралелограма.
595. Діагоналі паралелограма дорівнюють 8 см і 10 см і перетинаються під кутом 70°. Знайдіть сторони і кути паралелограма.
596. AD і BC - основи рівнобічної трапеції ABCD, AC = 6 см, ∠BAC = 52°, ∠CAD = 20°. Знайдіть сторони і кути трапеції.
597. AD і ВС - основи рівнобічної трапеції ABCD, BD = 8 см, ∠ABD = 49°, ∠DBC = 62°. Знайдіть сторони і кути трапеції.
4. Високий рівень
598. О 8:00 порушник правил дорожнього руху повернув з головної дороги і помчав уздовж шосе зі швидкістю 150 км/год. O 8:01 екіпаж патрульної поліції отримав наказ затримати порушника й помчав йому напереріз ґрунтовою дорогою зі швидкістю 80 км/год (мал. 117). Чи встигнуть патрульні зупинити порушника на перехресті шосе i ґрунтової дороги?
Мал. 117
599. З точки до прямої проведено дві похилі, які утворюють з прямою кути 50° і 70°. Відстань між основами похилих дорівнює 6 см. Знайдіть кут між похилими та довжини похилих із точністю до сотих сантиметра. Скільки випадків слід розглянути?
600. З точки до прямої проведено дві похилі, відстань між основами яких 7 см. Одна з них дорівнює 5 см і утворює з прямою кут 60°. Знайдіть другу похилу (з точністю до сотих см), кут між похилими та кут, що утворює друга похила з прямою (з точністю до градуса). Скільки випадків слід розглянути?
601. Щоб за відсутності дальноміра знайти відстань між двома недоступними точками А і В, вибрали дві доступні точки C і D, провели вимірювання й отримали, що CD = 50 м, ∠ADB = 50°, ∠ADC = 80°, ∠ACB = 40°, ∠BCD = 45° (мал. 118). Знайдіть відстань AB (з точністю до метра).
Мал. 118
Вправи для повторення
602. Знайдіть діагональ квадрата, площа якого дорівнює 36 см2.
603. Одна зі сторін прямокутника вдвічі більша за іншу, а його діагональ дорівнює 10 см. Знайдіть площу й периметр прямокутника.
604. Сусідні сторони паралелограма дорівнюють а і b, а його гострий кут дорівнює а. Знайдіть модуль різниці квадратів діагоналей паралелограма.
605. Складіть рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром до відрізка AB, якщо А(-3; 2), B(5; 0).
Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
606. Знайдіть площу трикутника, сторона якого довжини а, а висота, проведена до неї, дорівнює ha, якщо:
1) а = 5 см, ha = 8 см; 2) а = 4 см, ha = 22 мм.
607. Знайдіть площу паралелограма, сторона якого довжини а, а висота, проведена до неї, дорівнює ha, якщо:
1) а = 2 см, ha = 3 см; 2) а = 8 см, ha = 0,5 дм.
Цікаві задачі для учнів неледачих
608. У трикутнику ABC ∠C = 120°, H - ортоцентр трикутника, O - центр описаного кола. Точка M - середина дуги ACB. Доведіть, що HM = MO.