Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 1 МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ

У цьому розділі ви:

•  пригадаєте все, що вивчали раніше про координатну площину;

•  дізнаєтеся, як знаходити синус, косинус і тангенс кутів від 0° до 180°, координати середини відрізка та відстань між двома точками координатної площини, рівняння кола і прямої;

•  навчитеся розв’язувати геометричні задачі на площині за допомогою методу координат.

§1. КООРДИНАТНА ПЛОЩИНА

З поняттям координатної площини ми ознайомилися в курсі математики 6-го класу, а в курсі алгебри використовували його для побудови графіків функцій.

Пригадаємо, як задають координатну площину.

Нехай на площині вибрано дві взаємно перпендикулярні прямі x і у, що перетинаються в точці O (мал. 1). Ці прямі називають осями координат, а точку їх перетину - початком координат. Вісь x (зазвичай вона горизонтальна) називають віссю абсцис, вісь у - віссю ординат.

Початок координат розбиває кожну з осей на дві півосі. Одну з них прийнято називати додатною та зображати зі стрілочкою, а другу - від’ємною. На кожній з осей координат вибирають одиничний відрізок. Початок відліку кожної з осей - число 0 - збігається з точкою O. У такому випадку кажуть, що на площині задано прямокутну систему координат.

Мал. 1

Площину, на якій задано прямокутну систему координат, називають координатною площиною.

Кожній точці А координатної площини можна поставити у відповідність пару чисел - координати точки. Для цього через точку А треба провести пряму, паралельну осі у, і пряму, паралельну осі х, які перетнуть осі х і у в деяких точках Ах і Ау відповідно (мал. 2). Абсцисою точки А називають число х, модуль якого дорівнює відстані від точки O до точки Ах. Причому, якщо Ax належить додатній півосі, то х > 0, а якщо Ах належить від’ємній півосі, то х < 0. Якщо ж точка А лежить на осі у, то її абсциса дорівнює нулю. Ординатою точки А називають число у, модуль якого дорівнює відстані від точки O до точки Ау. Причому, якщо Ау належить додатній півосі, то у > 0, а якщо Ау належить від’ємній півосі, то у < 0. Якщо ж точка А лежить на осі х, то її ордината дорівнює нулю.

Мал. 2

Координати точки записують у дужках поряд з назвою точки: А(х; у). На першому місці завжди пишуть абсцису, на другому - ординату. Абсцису точки А можна позначати хА, а ординату - уА. Ці позначення зручно використовувати під час розв’язування задач, де кожну координату знаходять окремо. Якщо, наприклад, А(-2; 3), то хА = -2, уА = 3.

Введені на площині координати х і у називають декартовими на честь французького математика Рене Декарта (15961650), якому належить ідея введення і застосування координат у математиці.

Задача 1. Сторони прямокутника ABCD паралельні осям координат. Знайти координати точок В і D, якщо А(-1; 2), С(3; -2).

Р о з в’ я з а н н я. Розглянемо малюнок 3. Оскільки пряма AB паралельна осі абсцис, то ординати точок А і В однакові: уВ = уА = 2. Аналогічно, оскільки пряма BC паралельна осі ординат, то абсциси точок В і C однакові: хB - хC = 3.

Отже, В(3; 2).

Міркуючи у той самий спосіб, отримаємо: D(-1; -2).

В і д п о в і д ь. В(3; 2), D(-1; -2).

Мал. 3

Осі координат розбивають площину на чотири частини, кожну з яких називають координатною чвертю або координатним кутом (мал. 4). У межах однієї координатної чверті знаки кожної з координат не змінюються. Знаки координат та загальноприйняту нумерацію координатних кутів показано на малюнку 4.

Мал. 4

На малюнку 5 вказано координати точок, які належать осям координат, та координати точки O.

Мал. 5

Задача 2. У яких координатних чвертях може лежати точка В, якщо добуток її абсциси й ординати є числом:

1) додатним; 2) від’ємним?

Р о з в’ я з а н н я. Нехай маємо точку В(х; у).

1) ху > 0, отже, х і у —     числа одного знака, тобто х > 0 і у >              0 або х < 0 і у < 0. Тому точка Влежить у першій або третій чверті.

2) ху < 0, отже, х і у - числа різних знаків, тобто х > 0 і у < 0 або х < 0 і у > 0. Тому точка Влежить у другій або четвертій чверті.

В і д п о в і д ь. 1) У першій або третій чверті; 2) у другій або четвертій чверті.

Ідея введення координат на площині прийшла до нас із давнини. Перші застосування координат були пов'язані з астрономією і географією, тобто з необхідністю визначати положення світил на небі й точок на поверхні Землі, що використовувалося для складання календарів, зоряних та географічних карт. Відомий давньогрецький астроном, географ та математик Клавдій Птолемей уже на той час використовував довготу та широту як географічні координати. Ідеї прямокутних координат у вигляді прямокутної сітки (палетки) було знайдено у гробниці батька Рамзеса II - фараона Сеті I (який помер близько 1279 р. до н. е.). За допомогою палетки можна було переносити зображення у збільшеному вигляді. Починаючи з XV ст., прямокутну сітку також використовували й художники епохи Відродження.

Термін абсциса походить від латинського abscissus - той, що відсікається (відрізок на осі х), ордината - від латинського ordinatus - упорядкований, оскільки ординатами спочатку називали відрізки, паралельні осі у. Ці терміни були вперше застосовані в латинському перекладі робіт відомого давньогрецького математика Аполлонія і які запропонував в 70-80-х роках XVII ст. Готфрід Лейбніц, після чого стали загальновживаними. Лейбніц запропонував абсцису разом з ординатою називати координатами.

1. Що називають осями координат? Початком координат?

2. Як знаходять координати точки?

3. Назвіть абсцису й ординату точки P(-2; 5).

4. Які знаки в координат точки, якщо вона лежить у першій (другій, третій, четвертій) координатній чверті?

5. Чому дорівнює абсциса точки, яка належить осі у?

6. Чому дорівнює ордината точки, яка належить осі х?

1. Початковий рівень

1. Знайдіть координати точок А, В, C, D на малюнку 6.

2. Знайдіть координати точок K, L, M, N на малюнку 6.

3. Позначте на координатній площині точки Р(-2; 1), F(0; -3), Р(4; -2), Р(-5; -1).

4. Позначте на координатній площині точки А(2; -3), В(5; 0), С(4; 1), D(-2; 4).

5. Які з точок А(0; -2), В(4; -3), С(2; 0), D(0; 19), Е(2; 2), F(-14; 0) належать осі абсцис, а які - осі ординат?

Мал. 6

6. Які з точок Р(2; -17), Т(5; 0), F(0; -2), N(-4; 0), М(-1; -1), K(0; 17) належать осі абсцис, а які - осі ординат?

7. Не виконуючи побудови, укажіть, у яких чвертях лежать точки М(2; -3), N(-4; -5), L(1; 2), K(-9; 4).

8. Не виконуючи побудови, укажіть, у яких чвертях лежать точки А(-2; -3), 5(4; 5), С(1; -5), D(-4; 1).

2. Середній рівень

9. (Усно.) На малюнку 6 знайдіть точки, у яких однакові:

1) абсциси;              2) ординати.

10. На прямій, паралельній осі х, узято дві точки. Одна з них має ординату у = -3. Яка ордината у другої точки?

11. На прямій, паралельній осі у, узято дві точки. Одна з них має абсцису х = 2. Яка абсциса у другої точки?

12. З точки М(-5; 3) проведено перпендикуляри до осей координат. Знайдіть координати основ перпендикулярів.

13. З точки N(2; -3) проведено перпендикуляри до осей координат. Знайдіть координати основ цих перпендикулярів.

3. Достатній рівень

14. Сторони прямокутника KLMN паралельні осям координат, K(4; 5), М(-2; -3). Знайдіть координати вершин L і N прямокутника.

15. Катети прямокутного трикутника ABC (ZC = 90°) паралельні осям координат. Знайдіть координати вершини C, якщо А(2; -3), 5(7; 4).

16. Що можна сказати про координати точки А, якщо вона належить бісектрисі:

1) першого координатного кута;

2) другого координатного кута?

17. 1) Знайдіть відстані від точок A(2; -3) і 5(-2; -5) до координатних осей.

2) Зробіть узагальнення щодо відстаней від точки М(х; у) до координатних осей.

18. Знайдіть відстані від точок С(-1; 5) і D(3; 4) до координатних осей.

19. Точка перетину діагоналей ромба збігається з початком координат, а діагоналі ромба лежать на осях координат.

Довжина однієї діагоналі дорівнює 10 одиниць, а другої - 8 одиниць. Знайдіть координати вершин ромба. Скільки розв’язків має задача?

20. Центр кола, радіус якого дорівнює 3 одиниці, збігається з початком координат. Які координати мають точки перетину кола з осями координат?

4.  Високий рівень

21. Сторона квадрата ABCD дорівнює 2 одиниці, а його сторони паралельні осям координат. Знайдіть координати вершин квадрата, якщо А(3; 3). Розгляньте всі можливі випадки.

22. Знайдіть геометричне місце точок (x; у) координатної площини, для яких |x| = 3.

23. Знайдіть геометричне місце точок (x; у) координатної площини, для яких |у| = 2.

Вправи для повторення

24. Знайдіть площу трапеції, середня лінія якої дорівнює 7 см, а висота - 8 см.

25. Дві сторони трикутника дорівнюють 4,3 см і 1,2 см, а довжина третьої сторони дорівнює цілому числу сантиметрів. Якого найменшого та якого найбільшого значень може набувати периметр цього трикутника?

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

26. Знайдіть за допомогою калькулятора, таблиць або комп’ютера:

1) sin 18°;           2) sin 26°30';   3) cos 83°;

4) cos 30°15';      5) tg 70°;         6) tg 19°45'.

27. Відомо, що a - гострий кут прямокутного трикутника. Знайдіть a, якщо:

28. У прямокутному трикутнику ABC (C = 90°) AC = 6 см, BC = 8 см. Знайдіть:

1) sin A;              2) cos A;          3) tg A;

4) sin B;              5) cos B;          6) tg B.

Цікаві задачі для учнів неледачих

29. (Зовнішнє незалежне оцінювання, 2015 рік). З вершини тупого кута B паралелограма ABCD проведено перпендикуляр BO до сторони AD. Коло із центром у точці A проходить через вершину B і перетинає сторону AD у точці K. Відомо, що AK = 8 см, KD = 6 см, AO = 7 см.

1. Знайдіть периметр паралелограма ABCD (у см).

2. Обчисліть довжину діагоналі BD (у см).









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.