Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 3 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

§14. ФОРМУЛИ ДЛЯ ЗНАХОДЖЕННЯ ПЛОЩІ ТРИКУТНИКА

Нагадаємо, що у 8-му класі ми знаходили площу S трикутника за формулою

де a - сторона трикутника; ha - висота, проведена до неї.

Доведемо ще кілька формул для знаходження площі трикутника.

Т е о р е м а 1 (формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними). Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними.

Д о в е д е н н я. Нехай у трикутнику ABC BC = a, AC = b, C = y, S - площа трикутника. Доведемо, що

Проведемо у трикутнику висоту AK, AK = h. Тоді

Якщо кут C - гострий (мал. 119), то із трикутника ACK маємо: h = AK = AC sin C = b sin y.

Якщо кут C - тупий (мал. 120), то із трикутника ACK маємо: h = AK = AC sin ACK = b sin (180 - y) = b sin y.

Якщо кут C - прямий (мал. 121), то h = AK = AC = b = b ∙ 1 = = b sin 90° = b sin y.

Отже, в усіх випадках h = b sin y, тобто

Мал. 119

Мал. 120

Мал. 121

На слідок. Площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними.

Д о в е д е н н я. У паралелограмі ABCD проведемо діагональ BD (мал. 122). Оскільки ∆ABD = ∆CDB (за трьома сторонами), то SABD = SCDB. Тому

Мал. 122

Задача 1. Знайти площу рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює а.

Р о з в’ я з а н н я. Нагадаємо, що ми вже знаходили площу рівностороннього трикутника у 8-му класі за формулою

Знайдемо тепер площу цього трикутника й іншим способом, тобто за доведеною вище формулою.

Оскільки всі кути рівностороннього трикутника дорівнюють по 60°, маємо:

В і д п о в і д ь.

Задача 2. Знайти площу трикутника, сторони якого дорівнюють 5 см,

Р о з в’ я з а н н я. Нехай а = 5 см, b =  м, с =  см, C = у (мал. 119).

В і д п о в і д ь.

Зауважимо, що коли по косинусу кута неможливо знайти точне значення міри кута, тобто якщо кут у виявиться не табличним, то знаходити сам кут у не потрібно. Адже для знаходження площі достатньо знайти значення синуса кута, скориставшися формулою

Задача 3. Довести, що площа будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку діагоналей чотирикутника на синус кута між ними.

Д о в е д е н н я. Нехай у чотирикутнику ABCD AC = d1, BD = d2, AOB = , де O - точка перетину діагоналей (мал. 123), S - площа чотирикутника.

Доведемо, що

1) Нехай AO = m1, OC = m2, BO = n1, OD = n2. Тоді AC = m1+ m2, BD = n1+ n2.

Мал. 123

Очевидно, що SABCD = SAOB + SBOC + SCOD + SDOA.

2) За доведеною вище формулою:

3) Маємо:

Т е о р е м а 2 (формула Герона). Площу S трикутника зі сторонами a, b і с можна знайти за формулою:

де

 — півпериметр трикутника.

Д о в е д е н н я. Скористаємося формулою

За теоремою косинусів:

Тоді

Аналогічно

Тоді

Отже,

Зауважимо, що формулою Герона зручно користуватися у випадку, коли довжини сторін a, b і с є раціональними числами.

Якщо ж серед сторін трикутника є хоч одна, довжина якої - ірраціональне число, то зручніше використовувати метод, запропонований для розв’язування задачі 2 у цьому параграфі.

За допомогою формули Герона, якщо відомо сторони, можна знаходити висоти трикутника, зокрема, використовуючи формулу:

де

a - сторона, до якої проведено

висоту.

Із цієї формули висоти приходимо до висновку, що найбільшою висотою трикутника є та, що проведена до найменшої сторони; найменшою висотою є та, що проведена до найбільшої сторони.

Задача 4. Знайти найбільшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 25 см, 29 см і 6 см.

Р о з в’ я з а н н я. Знайдемо площу S трикутника за формулою Герона. Оскільки

то

Найбільшою висотою даного трикутника є та, що проведена до сторони завдовжки 6 см. Отже,

В і д п о в і д ь. 20 см.

Т е о р е м а 3 (формула площі трикутника за радіусом описаного кола). Площу S трикутника можна знайти за формулою

де a, b, с — сторони трикутника; R — радіус кола, описаного навколо трикутника.

Д о в е д е н н я. Скористаємося формулою

За узагальненою теоремою синусів:

де у - кут, протилежний до сторони с трикутника. Звідси

Маємо:

З доведеної формули отримаємо формулу для обчислення радіуса кола, описаного навколо трикутника:

Зауважимо, що цю формулу доцільно використовувати, коли відомо довжини всіх трьох сторін трикутника.

Радіус R кола, описаного навколо прямокутного трикутника, зручно знаходити за вивченою раніше формулою:

де с - гіпотенуза трикутника.

Т е о р е м а 4 (формула площі трикутника за радіусом вписаного кола). Площу S трикутника можна знайти за формулою

S = rр,

де

— півпериметр трикутника; r — радіус кола, вписаного у трикутник.

Д о в е д е н н я. Нехай O - центр кола, вписаного у ДABC (мал. 124), а точка K - точка дотику кола до сторони BC, BC = a, AC = b, AB = c.

Оскільки OK і. BC, то OK є висотою трикутника OBC. Тоді

Мал. 124

Аналогічно

Тоді

Н а с л і д о к. Площу S будь-якого описаного многокутника можна знайти за формулою

S = rр,

де p — півпериметр многокутника; r — радіус кола, вписаного у многокутник.

З доведеної формули випливає формула для обчислення радіуса кола, вписаного у трикутник або в описаний многокутник:

Радіус r кола, вписаного у прямокутний трикутник, зручно знаходити за формулою

де а і b - катети трикутника, с - його гіпотенуза.

Доведіть цю формулу самостійно.

Задача 5. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см. Знайти радіус R кола, описаного навколо трикутника, та радіус r кола, вписаного у трикутник.

Р о з в’ я з а н н я. Знайдемо півпериметр трикутника:

та його площу за формулою Герона

Отже,

В і д п о в і д ь. R = 8,125 cm, r = 1,5 см.

А ще раніше...

Грецький математик Герон Александрійський, який жив у І ст. до н. е., багато уваги приділяв проблемам геодезії та практичному застосуванню геометрії і механіки. Хоча його праці мали більш енциклопедичний характер, Герона вважають видатним механіком того часу. Недарма за ним закріпилося прізвисько «Герон-механік».

Однією з праць Герона була «Геометрика», що є фактично збірником формул та відповідних їм завдань. У ній містилися вправи на обчислення площ квадратів, прямокутників і трикутників. У цій праці Герон наводить методику обчислення площі трикутника зі сторонами 13, 14 і 15, а в іншій своїй праці, яка має назву «Метрика», наводить доведення формули:

Саме тому цю формулу для обчислення площі трикутника за трьома його сторонами прийнято називати формулою Герона, проте вона була відома Архімеду ще у III ст. до н. е.

Відомі на той час правила для обчислення площ застосовували також грецькі, латинські й середньовічні землеміри і техніки.

Герон Александрійський

1. Сформулюйте і доведіть теорему про формулу площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

2. Сформулюйте і доведіть формулу Герона.

3. Які співвідношення між сторонами трикутника і висотами, проведеними до них, ви знаєте?

4. Сформулюйте і доведіть формули знаходження площ трикутників за його радіусами вписаного та описаного кіл.

5. Запишіть формули для обчислення радіуса кола, описаного навколо трикутника, і радіуса кола, вписаного у трикутник.

1. Початковий рівень

609. (Усно.) Укажіть формули, за якими можна знайти площу трикутника:

610. (Усно.) Укажіть формули, за якими можна знайти площу паралелограма:

611. а і b - сторони трикутника, у - кут між ними. Знайдіть площу трикутника, якщо:

1) а = 4 см, b = 5 см, у = 30°;

2) а = 7 см, b = 8 см, у = 120°.

612. а і b - сторони трикутника, у - кут між ними. Знайдіть площу трикутника, якщо:

1) а = 3 см, b =  4 см, у = 45°;

2) а = 6 см, b =  2 см, у = 150°.

613. а і b - сторони паралелограма, у - кут між ними. Знайдіть площу паралелограма, якщо:

1) а = 7 см, b = 6 см, у = 60°;

2) а = 6 см, b = 13 см, у = 135°.

614. Сторони паралелограма а і b, у - кут між ними. Знайдіть площу паралелограма, якщо:

1) а = 8 см, b = 6 см, у = 30°;

2) а = 9 см, b = 12 см, у = 120°.

2. Середній рівень

615. Доведіть, що площу S ромба, сторона якого дорівнює а, а один з кутів - а, можна знайти за формулою S = a2sin а.

616. Обчисліть площу ромба:

1) сторона якого дорівнює 4 см, а гострий кут - 45°;

2) сторона якого дорівнює 8 см, а тупий кут - 150°.

617. Обчисліть площу ромба:

1) сторона якого дорівнює 6 см, а гострий кут - 60°;

2) сторона якого дорівнює 10 см, а тупий кут - 135°.

618. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а кут при основі - 75°. Знайдіть площу трикутника.

619. Знайдіть площу рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 8 см.

620. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють 11 см, 25 см і 30 см.

621. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см, 51 см і 53 см.

622. Знайдіть площу прямокутника, діагональ якого дорівнює 10 см, а кут між діагоналями - 30°.

623. Знайдіть площу рівнобічної трапеції, діагональ якої дорівнює 8 см, а кут між діагоналями - 60°.

624. Знайдіть сторону BC трикутника ABC, якщо AB = 8 см, B = 45°, SABC =     см2.

625. Площа паралелограма дорівнює 24 см2, одна з його сторін - 8 см, а один з кутів - 30°. Знайдіть невідому сторону паралелограма.

626. Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють 7 см і 16 см, а його площа дорівнює 28 см2. Обчисліть кут між даними сторонами.

627. Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють 8 см і 10 см. Обчисліть кут між цими сторонами, якщо площа трикутника дорівнює 20 см2.

3. Достатній рівень

628. Знайдіть найменшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см.

629. Знайдіть найбільшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 5 см, 29 см і 30 см.

630. Висоти паралелограма дорівнюють 6 см і 8 см, а кут між сторонами дорівнює 30°. Знайдіть площу паралелограма.

631. Висота ромба дорівнює 8 см, а гострий кут - 60°. Знайдіть площу ромба.

632. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 150°, а його площа - 25 см2. Знайдіть сторони трикутника.

633. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 30°, а його площа - 9 см2. Знайдіть сторони трикутника.

634. Доведіть, що діагоналі паралелограма ділять його на чотири рівновеликих трикутники.

635. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 25 см, 29 см і 36 см.

636. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 13 см, 40 см і 51 см.

637. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 6 см.

638. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 8 см.

639. Відрізки AB і CD перетинаються в точці O (мал. 125), AO = 4 см, BO = 6 см, CO = 3 см, DO = 2 см. Знайдіть відношення площ трикутників AOD і СОВ.

Мал. 125

Мал. 126

640. Відрізки MN і KL перетинаються в точці O (мал. 126), MO = ON, KL = 5 см, LO = 10 см. Знайдіть відношення площ трикутників KON і MOL.

641. Кути ромба відносяться як 1 : 3. Знайдіть площу ромба, якщо його сторона дорівнює 10 см.

4.  Високий рівень

642. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює R, а два його кути - а і . Знайдіть площу трикутника.

643. Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 14 см і 22 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює 12 см.

644. Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 16 см і 30 см, а медіана, проведена до більшої із цих сторін, дорівнює 25 см.

645. Розгляньте рівнобедрений трикутник з кутом 2а при вершині і бічною стороною а. Знайдіть площу цього трикутника двома способами та доведіть формулу sin2a = 2sin а cos а.

646. У трикутнику ABC AB = 10 см, AC = 6 см. У якому відношенні бісектриса кута A ділить площу трикутника ABC?

647. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють

648. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють

649. На сторонах OB і OD кута O відкладено відрізки OA = 2 см, AB = 4 см, OC = 3 см і CD = 5 см (мал. 127). Знайдіть відношення площі трикутника OBD до площі чотирикутника ABDC.

Мал. 127

Мал. 128

650. На сторонах OM і ON кута O відкладено відрізки OL = 5 см, LM = 3 см, OP = 6 см і PN = 2 см (мал. 128). Знайдіть відношення площі трикутника OLP до площі чотирикутника MNPL.

Вправи для повторення

651. Дві сторони трикутника дорівнюють  см і 2 см, а кут між ними дорівнює 30°. Знайдіть третю сторону трикутника.

652. Розв’яжіть ∆ABC, якщо:

1) AB = 8 см, BC = 7 см, B = 82°;

2) AC = 5 см, A = 32°, C = 80°.

653. Одна зі сторін трикутника дорівнює 7 см, дві інші утворюють кут 60°, а їх різниця дорівнює 5 см. Знайдіть

периметр трикутника.

654. Дві сторони трикутника дорівнюють  см і 5 см.

Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

655. Знайдіть суму кутів опуклого:

1) дев’ятикутника; 2) двадцятикутника.

656. Усі кути опуклого восьмикутника між собою рівні. Знайдіть градусну міру одного із цих кутів.

657. Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює:

1) 1620°;              2) 2000°?

658. 1) Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 5 см. Знайдіть його периметр.

2) Периметр квадрата дорівнює 28 см. Знайдіть його сторону.

659. Побудуйте рівносторонній трикутник і квадрат. Навколо кожної із цих фігур опишіть коло і в кожну з них впишіть коло.

Цікаві задачі для учнів неледачих

660. Доведіть, що в будь-якому опуклому чотирикутнику сума довжин діагоналей менша від периметра.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.