Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік
Розділ 3 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ
§14. ФОРМУЛИ ДЛЯ ЗНАХОДЖЕННЯ ПЛОЩІ ТРИКУТНИКА
Нагадаємо, що у 8-му класі ми знаходили площу S трикутника за формулою
де a - сторона трикутника; ha - висота, проведена до неї.
Доведемо ще кілька формул для знаходження площі трикутника.
Т е о р е м а 1 (формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними). Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними.
Д о в е д е н н я. Нехай у трикутнику ABC BC = a, AC = b, ∠C = y, S - площа трикутника. Доведемо, що
Проведемо у трикутнику висоту AK, AK = h. Тоді
Якщо кут C - гострий (мал. 119), то із трикутника ACK маємо: h = AK = AC sin C = b sin y.
Якщо кут C - тупий (мал. 120), то із трикутника ACK маємо: h = AK = AC sin ACK = b sin (180 - y) = b sin y.
Якщо кут C - прямий (мал. 121), то h = AK = AC = b = b ∙ 1 = = b sin 90° = b sin y.
Отже, в усіх випадках h = b sin y, тобто
Мал. 119
Мал. 120
Мал. 121
На слідок. Площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними.
Д о в е д е н н я. У паралелограмі ABCD проведемо діагональ BD (мал. 122). Оскільки ∆ABD = ∆CDB (за трьома сторонами), то SABD = SCDB. Тому
Мал. 122
Задача 1. Знайти площу рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює а.
Р о з в’ я з а н н я. Нагадаємо, що ми вже знаходили площу рівностороннього трикутника у 8-му класі за формулою
Знайдемо тепер площу цього трикутника й іншим способом, тобто за доведеною вище формулою.
Оскільки всі кути рівностороннього трикутника дорівнюють по 60°, маємо:
В і д п о в і д ь.
Задача 2. Знайти площу трикутника, сторони якого дорівнюють 5 см,
Р о з в’ я з а н н я. Нехай а = 5 см, b = м, с =
см, ∠C = у (мал. 119).
В і д п о в і д ь.
Зауважимо, що коли по косинусу кута неможливо знайти точне значення міри кута, тобто якщо кут у виявиться не табличним, то знаходити сам кут у не потрібно. Адже для знаходження площі достатньо знайти значення синуса кута, скориставшися формулою
Задача 3. Довести, що площа будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку діагоналей чотирикутника на синус кута між ними.
Д о в е д е н н я. Нехай у чотирикутнику ABCD AC = d1, BD = d2, ∠AOB = , де O - точка перетину діагоналей (мал. 123), S - площа чотирикутника.
Доведемо, що
1) Нехай AO = m1, OC = m2, BO = n1, OD = n2. Тоді AC = m1+ m2, BD = n1+ n2.
Мал. 123
Очевидно, що SABCD = SAOB + SBOC + SCOD + SDOA.
2) За доведеною вище формулою:
3) Маємо:
Т е о р е м а 2 (формула Герона). Площу S трикутника зі сторонами a, b і с можна знайти за формулою:
де
— півпериметр трикутника.
Д о в е д е н н я. Скористаємося формулою
За теоремою косинусів:
Тоді
Аналогічно
Тоді
Отже,
Зауважимо, що формулою Герона зручно користуватися у випадку, коли довжини сторін a, b і с є раціональними числами.
Якщо ж серед сторін трикутника є хоч одна, довжина якої - ірраціональне число, то зручніше використовувати метод, запропонований для розв’язування задачі 2 у цьому параграфі.
За допомогою формули Герона, якщо відомо сторони, можна знаходити висоти трикутника, зокрема, використовуючи формулу:
де
a - сторона, до якої проведено
висоту.
Із цієї формули висоти приходимо до висновку, що найбільшою висотою трикутника є та, що проведена до найменшої сторони; найменшою висотою є та, що проведена до найбільшої сторони.
Задача 4. Знайти найбільшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 25 см, 29 см і 6 см.
Р о з в’ я з а н н я. Знайдемо площу S трикутника за формулою Герона. Оскільки
то
Найбільшою висотою даного трикутника є та, що проведена до сторони завдовжки 6 см. Отже,
В і д п о в і д ь. 20 см.
Т е о р е м а 3 (формула площі трикутника за радіусом описаного кола). Площу S трикутника можна знайти за формулою
де a, b, с — сторони трикутника; R — радіус кола, описаного навколо трикутника.
Д о в е д е н н я. Скористаємося формулою
За узагальненою теоремою синусів:
де у - кут, протилежний до сторони с трикутника. Звідси
Маємо:
З доведеної формули отримаємо формулу для обчислення радіуса кола, описаного навколо трикутника:
Зауважимо, що цю формулу доцільно використовувати, коли відомо довжини всіх трьох сторін трикутника.
Радіус R кола, описаного навколо прямокутного трикутника, зручно знаходити за вивченою раніше формулою:
де с - гіпотенуза трикутника.
Т е о р е м а 4 (формула площі трикутника за радіусом вписаного кола). Площу S трикутника можна знайти за формулою
S = rр,
де
— півпериметр трикутника; r — радіус кола, вписаного у трикутник.
Д о в е д е н н я. Нехай O - центр кола, вписаного у ДABC (мал. 124), а точка K - точка дотику кола до сторони BC, BC = a, AC = b, AB = c.
Оскільки OK і. BC, то OK є висотою трикутника OBC. Тоді
Мал. 124
Аналогічно
Тоді
Н а с л і д о к. Площу S будь-якого описаного многокутника можна знайти за формулою
S = rр,
де p — півпериметр многокутника; r — радіус кола, вписаного у многокутник.
З доведеної формули випливає формула для обчислення радіуса кола, вписаного у трикутник або в описаний многокутник:
Радіус r кола, вписаного у прямокутний трикутник, зручно знаходити за формулою
де а і b - катети трикутника, с - його гіпотенуза.
Доведіть цю формулу самостійно.
Задача 5. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см. Знайти радіус R кола, описаного навколо трикутника, та радіус r кола, вписаного у трикутник.
Р о з в’ я з а н н я. Знайдемо півпериметр трикутника:
та його площу за формулою Герона
Отже,
В і д п о в і д ь. R = 8,125 cm, r = 1,5 см.
А ще раніше…
Грецький математик Герон Александрійський, який жив у І ст. до н. е., багато уваги приділяв проблемам геодезії та практичному застосуванню геометрії і механіки. Хоча його праці мали більш енциклопедичний характер, Герона вважають видатним механіком того часу. Недарма за ним закріпилося прізвисько «Герон-механік».
Однією з праць Герона була «Геометрика», що є фактично збірником формул та відповідних їм завдань. У ній містилися вправи на обчислення площ квадратів, прямокутників і трикутників. У цій праці Герон наводить методику обчислення площі трикутника зі сторонами 13, 14 і 15, а в іншій своїй праці, яка має назву «Метрика», наводить доведення формули:
Саме тому цю формулу для обчислення площі трикутника за трьома його сторонами прийнято називати формулою Герона, проте вона була відома Архімеду ще у III ст. до н. е.
Відомі на той час правила для обчислення площ застосовували також грецькі, латинські й середньовічні землеміри і техніки.
Герон Александрійський
1. Сформулюйте і доведіть теорему про формулу площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.
2. Сформулюйте і доведіть формулу Герона.
3. Які співвідношення між сторонами трикутника і висотами, проведеними до них, ви знаєте?
4. Сформулюйте і доведіть формули знаходження площ трикутників за його радіусами вписаного та описаного кіл.
5. Запишіть формули для обчислення радіуса кола, описаного навколо трикутника, і радіуса кола, вписаного у трикутник.
1. Початковий рівень
609. (Усно.) Укажіть формули, за якими можна знайти площу трикутника:
610. (Усно.) Укажіть формули, за якими можна знайти площу паралелограма:
611. а і b - сторони трикутника, у - кут між ними. Знайдіть площу трикутника, якщо:
1) а = 4 см, b = 5 см, у = 30°;
2) а = 7 см, b = 8 см, у = 120°.
612. а і b - сторони трикутника, у - кут між ними. Знайдіть площу трикутника, якщо:
1) а = 3 см, b = 4 см, у = 45°;
2) а = 6 см, b = 2 см, у = 150°.
613. а і b - сторони паралелограма, у - кут між ними. Знайдіть площу паралелограма, якщо:
1) а = 7 см, b = 6 см, у = 60°;
2) а = 6 см, b = 13 см, у = 135°.
614. Сторони паралелограма а і b, у - кут між ними. Знайдіть площу паралелограма, якщо:
1) а = 8 см, b = 6 см, у = 30°;
2) а = 9 см, b = 12 см, у = 120°.
2. Середній рівень
615. Доведіть, що площу S ромба, сторона якого дорівнює а, а один з кутів - а, можна знайти за формулою S = a2sin а.
616. Обчисліть площу ромба:
1) сторона якого дорівнює 4 см, а гострий кут - 45°;
2) сторона якого дорівнює 8 см, а тупий кут - 150°.
617. Обчисліть площу ромба:
1) сторона якого дорівнює 6 см, а гострий кут - 60°;
2) сторона якого дорівнює 10 см, а тупий кут - 135°.
618. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а кут при основі - 75°. Знайдіть площу трикутника.
619. Знайдіть площу рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 8 см.
620. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють 11 см, 25 см і 30 см.
621. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см, 51 см і 53 см.
622. Знайдіть площу прямокутника, діагональ якого дорівнює 10 см, а кут між діагоналями - 30°.
623. Знайдіть площу рівнобічної трапеції, діагональ якої дорівнює 8 см, а кут між діагоналями - 60°.
624. Знайдіть сторону BC трикутника ABC, якщо AB = 8 см, ∠B = 45°, SABC = см2.
625. Площа паралелограма дорівнює 24 см2, одна з його сторін - 8 см, а один з кутів - 30°. Знайдіть невідому сторону паралелограма.
626. Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють 7 см і 16 см, а його площа дорівнює 28 см2. Обчисліть кут між даними сторонами.
627. Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють 8 см і 10 см. Обчисліть кут між цими сторонами, якщо площа трикутника дорівнює 20 см2.
3. Достатній рівень
628. Знайдіть найменшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см.
629. Знайдіть найбільшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 5 см, 29 см і 30 см.
630. Висоти паралелограма дорівнюють 6 см і 8 см, а кут між сторонами дорівнює 30°. Знайдіть площу паралелограма.
631. Висота ромба дорівнює 8 см, а гострий кут - 60°. Знайдіть площу ромба.
632. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 150°, а його площа - 25 см2. Знайдіть сторони трикутника.
633. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 30°, а його площа - 9 см2. Знайдіть сторони трикутника.
634. Доведіть, що діагоналі паралелограма ділять його на чотири рівновеликих трикутники.
635. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 25 см, 29 см і 36 см.
636. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 13 см, 40 см і 51 см.
637. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 6 см.
638. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 8 см.
639. Відрізки AB і CD перетинаються в точці O (мал. 125), AO = 4 см, BO = 6 см, CO = 3 см, DO = 2 см. Знайдіть відношення площ трикутників AOD і СОВ.
Мал. 125
Мал. 126
640. Відрізки MN і KL перетинаються в точці O (мал. 126), MO = ON, KL = 5 см, LO = 10 см. Знайдіть відношення площ трикутників KON і MOL.
641. Кути ромба відносяться як 1 : 3. Знайдіть площу ромба, якщо його сторона дорівнює 10 см.
4. Високий рівень
642. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює R, а два його кути - а і . Знайдіть площу трикутника.
643. Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 14 см і 22 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює 12 см.
644. Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 16 см і 30 см, а медіана, проведена до більшої із цих сторін, дорівнює 25 см.
645. Розгляньте рівнобедрений трикутник з кутом 2а при вершині і бічною стороною а. Знайдіть площу цього трикутника двома способами та доведіть формулу sin2a = 2sin а cos а.
646. У трикутнику ABC AB = 10 см, AC = 6 см. У якому відношенні бісектриса кута A ділить площу трикутника ABC?
647. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють
648. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють
649. На сторонах OB і OD кута O відкладено відрізки OA = 2 см, AB = 4 см, OC = 3 см і CD = 5 см (мал. 127). Знайдіть відношення площі трикутника OBD до площі чотирикутника ABDC.
Мал. 127
Мал. 128
650. На сторонах OM і ON кута O відкладено відрізки OL = 5 см, LM = 3 см, OP = 6 см і PN = 2 см (мал. 128). Знайдіть відношення площі трикутника OLP до площі чотирикутника MNPL.
Вправи для повторення
651. Дві сторони трикутника дорівнюють см і 2 см, а кут між ними дорівнює 30°. Знайдіть третю сторону трикутника.
652. Розв’яжіть ∆ABC, якщо:
1) AB = 8 см, BC = 7 см, ∠B = 82°;
2) AC = 5 см, ∠A = 32°, ∠C = 80°.
653. Одна зі сторін трикутника дорівнює 7 см, дві інші утворюють кут 60°, а їх різниця дорівнює 5 см. Знайдіть
периметр трикутника.
654. Дві сторони трикутника дорівнюють см і 5 см.
Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника. Скільки розв’язків має задача?
Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
655. Знайдіть суму кутів опуклого:
1) дев’ятикутника; 2) двадцятикутника.
656. Усі кути опуклого восьмикутника між собою рівні. Знайдіть градусну міру одного із цих кутів.
657. Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює:
1) 1620°; 2) 2000°?
658. 1) Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 5 см. Знайдіть його периметр.
2) Периметр квадрата дорівнює 28 см. Знайдіть його сторону.
659. Побудуйте рівносторонній трикутник і квадрат. Навколо кожної із цих фігур опишіть коло і в кожну з них впишіть коло.
Цікаві задачі для учнів неледачих
660. Доведіть, що в будь-якому опуклому чотирикутнику сума довжин діагоналей менша від периметра.