Розділ 3 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

§14. ФОРМУЛИ ДЛЯ ЗНАХОДЖЕННЯ ПЛОЩІ ТРИКУТНИКА

Нагадаємо, що у 8-му класі ми знаходили площу S трикутника за формулою

де a - сторона трикутника; h_a - висота, проведена до неї.

Доведемо ще кілька формул для знаходження площі трикутника.

Т е о р е м а 1 (формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними). Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними.

Д о в е д е н н я. Нехай у трикутнику ABC BC = a, AC = b, ∠C = y, S - площа трикутника. Доведемо, що

Проведемо у трикутнику висоту AK, AK = h. Тоді

Якщо кут C - гострий (мал. 119), то із трикутника ACK маємо: h = AK = AC sin C = b sin y.

Якщо кут C - тупий (мал. 120), то із трикутника ACK маємо: h = AK = AC sin ACK = b sin (180 - y) = b sin y.

Якщо кут C - прямий (мал. 121), то h = AK = AC = b = b ∙ 1 = = b sin 90° = b sin y.

Отже, в усіх випадках h = b sin y, тобто

Мал. 119

Мал. 120

Мал. 121

На слідок. Площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними.

Д о в е д е н н я. У паралелограмі ABCD проведемо діагональ BD (мал. 122). Оскільки ∆ABD = ∆CDB (за трьома сторонами), то S_ABD = S_CDB. Тому

Мал. 122

Задача 1. Знайти площу рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює а.

Р о з в’ я з а н н я. Нагадаємо, що ми вже знаходили площу рівностороннього трикутника у 8-му класі за формулою

Знайдемо тепер площу цього трикутника й іншим способом, тобто за доведеною вище формулою.

Оскільки всі кути рівностороннього трикутника дорівнюють по 60°, маємо:

В і д п о в і д ь.

Задача 2. Знайти площу трикутника, сторони якого дорівнюють 5 см,

Р о з в’ я з а н н я. Нехай а = 5 см, b =  м, с =  см, ∠C = у (мал. 119).

В і д п о в і д ь.

Зауважимо, що коли по косинусу кута неможливо знайти точне значення міри кута, тобто якщо кут у виявиться не табличним, то знаходити сам кут у не потрібно. Адже для знаходження площі достатньо знайти значення синуса кута, скориставшися формулою

Задача 3. Довести, що площа будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку діагоналей чотирикутника на синус кута між ними.

Д о в е д е н н я. Нехай у чотирикутнику ABCD AC = d₁, BD = d₂, ∠AOB = , де O - точка перетину діагоналей (мал. 123), S - площа чотирикутника.

Доведемо, що

1) Нехай AO = m₁, OC = m₂, BO = n₁, OD = n₂. Тоді AC = m₁+ m₂, BD = n₁+ n₂.

Мал. 123

Очевидно, що S_ABCD = S_AOB + S_BOC + S_COD + S_DOA.

2) За доведеною вище формулою:

3) Маємо:

Т е о р е м а 2 (формула Герона). Площу S трикутника зі сторонами a, b і с можна знайти за формулою:

де

 — півпериметр трикутника.

Д о в е д е н н я. Скористаємося формулою

За теоремою косинусів:

Тоді

Аналогічно

Тоді

Отже,

Зауважимо, що формулою Герона зручно користуватися у випадку, коли довжини сторін a, b і с є раціональними числами.

Якщо ж серед сторін трикутника є хоч одна, довжина якої - ірраціональне число, то зручніше використовувати метод, запропонований для розв’язування задачі 2 у цьому параграфі.

За допомогою формули Герона, якщо відомо сторони, можна знаходити висоти трикутника, зокрема, використовуючи формулу:

де

a - сторона, до якої проведено

висоту.

Із цієї формули висоти приходимо до висновку, що найбільшою висотою трикутника є та, що проведена до найменшої сторони; найменшою висотою є та, що проведена до найбільшої сторони.

Задача 4. Знайти найбільшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 25 см, 29 см і 6 см.

Р о з в’ я з а н н я. Знайдемо площу S трикутника за формулою Герона. Оскільки

то

Найбільшою висотою даного трикутника є та, що проведена до сторони завдовжки 6 см. Отже,

В і д п о в і д ь. 20 см.

Т е о р е м а 3 (формула площі трикутника за радіусом описаного кола). Площу S трикутника можна знайти за формулою

де a, b, с — сторони трикутника; R — радіус кола, описаного навколо трикутника.

Д о в е д е н н я. Скористаємося формулою

За узагальненою теоремою синусів:

де у - кут, протилежний до сторони с трикутника. Звідси

Маємо:

З доведеної формули отримаємо формулу для обчислення радіуса кола, описаного навколо трикутника:

Зауважимо, що цю формулу доцільно використовувати, коли відомо довжини всіх трьох сторін трикутника.

Радіус R кола, описаного навколо прямокутного трикутника, зручно знаходити за вивченою раніше формулою:

де с - гіпотенуза трикутника.

Т е о р е м а 4 (формула площі трикутника за радіусом вписаного кола). Площу S трикутника можна знайти за формулою

S = rр,

де

— півпериметр трикутника; r — радіус кола, вписаного у трикутник.

Д о в е д е н н я. Нехай O - центр кола, вписаного у ДABC (мал. 124), а точка K - точка дотику кола до сторони BC, BC = a, AC = b, AB = c.

Оскільки OK і. BC, то OK є висотою трикутника OBC. Тоді

Мал. 124

Аналогічно

Тоді

Н а с л і д о к. Площу S будь-якого описаного многокутника можна знайти за формулою

S = rр,

де p — півпериметр многокутника; r — радіус кола, вписаного у многокутник.

З доведеної формули випливає формула для обчислення радіуса кола, вписаного у трикутник або в описаний многокутник:

Радіус r кола, вписаного у прямокутний трикутник, зручно знаходити за формулою

де а і b - катети трикутника, с - його гіпотенуза.

Доведіть цю формулу самостійно.

Задача 5. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см. Знайти радіус R кола, описаного навколо трикутника, та радіус r кола, вписаного у трикутник.

Р о з в’ я з а н н я. Знайдемо півпериметр трикутника:

та його площу за формулою Герона

Отже,

В і д п о в і д ь. R = 8,125 cm, r = 1,5 см.

А ще раніше...

Грецький математик Герон Александрійський, який жив у І ст. до н. е., багато уваги приділяв проблемам геодезії та практичному застосуванню геометрії і механіки. Хоча його праці мали більш енциклопедичний характер, Герона вважають видатним механіком того часу. Недарма за ним закріпилося прізвисько «Герон-механік».

Однією з праць Герона була «Геометрика», що є фактично збірником формул та відповідних їм завдань. У ній містилися вправи на обчислення площ квадратів, прямокутників і трикутників. У цій праці Герон наводить методику обчислення площі трикутника зі сторонами 13, 14 і 15, а в іншій своїй праці, яка має назву «Метрика», наводить доведення формули:

Саме тому цю формулу для обчислення площі трикутника за трьома його сторонами прийнято називати формулою Герона, проте вона була відома Архімеду ще у III ст. до н. е.

Відомі на той час правила для обчислення площ застосовували також грецькі, латинські й середньовічні землеміри і техніки.

Герон Александрійський

1. Сформулюйте і доведіть теорему про формулу площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

2. Сформулюйте і доведіть формулу Герона.

3. Які співвідношення між сторонами трикутника і висотами, проведеними до них, ви знаєте?

4. Сформулюйте і доведіть формули знаходження площ трикутників за його радіусами вписаного та описаного кіл.

5. Запишіть формули для обчислення радіуса кола, описаного навколо трикутника, і радіуса кола, вписаного у трикутник.

1. Початковий рівень

609. (Усно.) Укажіть формули, за якими можна знайти площу трикутника:

610. (Усно.) Укажіть формули, за якими можна знайти площу паралелограма:

611. а і b - сторони трикутника, у - кут між ними. Знайдіть площу трикутника, якщо:

1) а = 4 см, b = 5 см, у = 30°;

2) а = 7 см, b = 8 см, у = 120°.

612. а і b - сторони трикутника, у - кут між ними. Знайдіть площу трикутника, якщо:

1) а = 3 см, b =  4 см, у = 45°;

2) а = 6 см, b =  2 см, у = 150°.

613. а і b - сторони паралелограма, у - кут між ними. Знайдіть площу паралелограма, якщо:

1) а = 7 см, b = 6 см, у = 60°;

2) а = 6 см, b = 13 см, у = 135°.

614. Сторони паралелограма а і b, у - кут між ними. Знайдіть площу паралелограма, якщо:

1) а = 8 см, b = 6 см, у = 30°;

2) а = 9 см, b = 12 см, у = 120°.

2. Середній рівень

615. Доведіть, що площу S ромба, сторона якого дорівнює а, а один з кутів - а, можна знайти за формулою S = a²sin а.

616. Обчисліть площу ромба:

1) сторона якого дорівнює 4 см, а гострий кут - 45°;

2) сторона якого дорівнює 8 см, а тупий кут - 150°.

617. Обчисліть площу ромба:

1) сторона якого дорівнює 6 см, а гострий кут - 60°;

2) сторона якого дорівнює 10 см, а тупий кут - 135°.

618. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а кут при основі - 75°. Знайдіть площу трикутника.

619. Знайдіть площу рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 8 см.

620. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють 11 см, 25 см і 30 см.

621. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см, 51 см і 53 см.

622. Знайдіть площу прямокутника, діагональ якого дорівнює 10 см, а кут між діагоналями - 30°.

623. Знайдіть площу рівнобічної трапеції, діагональ якої дорівнює 8 см, а кут між діагоналями - 60°.

624. Знайдіть сторону BC трикутника ABC, якщо AB = 8 см, ∠B = 45°, S_ABC =     см².

625. Площа паралелограма дорівнює 24 см², одна з його сторін - 8 см, а один з кутів - 30°. Знайдіть невідому сторону паралелограма.

626. Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють 7 см і 16 см, а його площа дорівнює 28 см². Обчисліть кут між даними сторонами.

627. Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють 8 см і 10 см. Обчисліть кут між цими сторонами, якщо площа трикутника дорівнює 20 см².

3. Достатній рівень

628. Знайдіть найменшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см.

629. Знайдіть найбільшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 5 см, 29 см і 30 см.

630. Висоти паралелограма дорівнюють 6 см і 8 см, а кут між сторонами дорівнює 30°. Знайдіть площу паралелограма.

631. Висота ромба дорівнює 8 см, а гострий кут - 60°. Знайдіть площу ромба.

632. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 150°, а його площа - 25 см². Знайдіть сторони трикутника.

633. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 30°, а його площа - 9 см². Знайдіть сторони трикутника.

634. Доведіть, що діагоналі паралелограма ділять його на чотири рівновеликих трикутники.

635. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 25 см, 29 см і 36 см.

636. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 13 см, 40 см і 51 см.

637. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 6 см.

638. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 8 см.

639. Відрізки AB і CD перетинаються в точці O (мал. 125), AO = 4 см, BO = 6 см, CO = 3 см, DO = 2 см. Знайдіть відношення площ трикутників AOD і СОВ.

Мал. 125

Мал. 126

640. Відрізки MN і KL перетинаються в точці O (мал. 126), MO = ON, KL = 5 см, LO = 10 см. Знайдіть відношення площ трикутників KON і MOL.

641. Кути ромба відносяться як 1 : 3. Знайдіть площу ромба, якщо його сторона дорівнює 10 см.

4.  Високий рівень

642. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює R, а два його кути - а і . Знайдіть площу трикутника.

643. Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 14 см і 22 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює 12 см.

644. Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 16 см і 30 см, а медіана, проведена до більшої із цих сторін, дорівнює 25 см.

645. Розгляньте рівнобедрений трикутник з кутом 2а при вершині і бічною стороною а. Знайдіть площу цього трикутника двома способами та доведіть формулу sin2a = 2sin а cos а.

646. У трикутнику ABC AB = 10 см, AC = 6 см. У якому відношенні бісектриса кута A ділить площу трикутника ABC?

647. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють

648. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють

649. На сторонах OB і OD кута O відкладено відрізки OA = 2 см, AB = 4 см, OC = 3 см і CD = 5 см (мал. 127). Знайдіть відношення площі трикутника OBD до площі чотирикутника ABDC.

Мал. 127

Мал. 128

650. На сторонах OM і ON кута O відкладено відрізки OL = 5 см, LM = 3 см, OP = 6 см і PN = 2 см (мал. 128). Знайдіть відношення площі трикутника OLP до площі чотирикутника MNPL.

Вправи для повторення

651. Дві сторони трикутника дорівнюють  см і 2 см, а кут між ними дорівнює 30°. Знайдіть третю сторону трикутника.

652. Розв’яжіть ∆ABC, якщо:

1) AB = 8 см, BC = 7 см, ∠B = 82°;

2) AC = 5 см, ∠A = 32°, ∠C = 80°.

653. Одна зі сторін трикутника дорівнює 7 см, дві інші утворюють кут 60°, а їх різниця дорівнює 5 см. Знайдіть

периметр трикутника.

654. Дві сторони трикутника дорівнюють  см і 5 см.

Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

655. Знайдіть суму кутів опуклого:

1) дев’ятикутника; 2) двадцятикутника.

656. Усі кути опуклого восьмикутника між собою рівні. Знайдіть градусну міру одного із цих кутів.

657. Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює:

1) 1620°;              2) 2000°?

658. 1) Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 5 см. Знайдіть його периметр.

2) Периметр квадрата дорівнює 28 см. Знайдіть його сторону.

659. Побудуйте рівносторонній трикутник і квадрат. Навколо кожної із цих фігур опишіть коло і в кожну з них впишіть коло.

Цікаві задачі для учнів неледачих

660. Доведіть, що в будь-якому опуклому чотирикутнику сума довжин діагоналей менша від периметра.