Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 4 ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ

У цьому розділі ви:

•   пригадаєте формули довжини кола і площі круга;

•   ознайомитеся з поняттями правильного многокутника, сектора і сегмента круга;

•   дізнаєтеся формули радіусів вписаних і описаних кіл для правильних многокутників, довжини дуги кола, площ сектора і сегмента;

•   навчитеся будувати правильні многокутники.

§15. ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ. ФОРМУЛИ РАДІУСІВ ВПИСАНИХ І ОПИСАНИХ КІЛ ПРАВИЛЬНИХ МНОГОКУТНИКІВ

Правильним многокутником називають опуклий многокутник, у якого всі сторони між собою рівні і всі кути між собою рівні.

Прикладами правильних многокутників є рівносторонній трикутник і квадрат. На малюнку 133 зображено правильні п’ятикутник, шестикутник, семикутник і восьмикутник.

Мал. 133

Оскільки сума кутів будь-якого опуклого n-кутника дорівнює 180°(n - 2), а всі кути правильного многокутника рівні між собою, то неважко знайти міру такого кута.

Якщо аn - кут правильного многокутника, то

Наприклад, кут правильного трикутника

правильного чотирикутника (квадрата)

це узгоджується з тим, що відомо з попередніх класів.

Задача 1. Знайти кількість вершин правильного многокутника, якщо його зовнішній кут дорівнює 45°.

Р о з в’ я з а н н я. Оскільки зовнішній кут правильного многокутника дорівнює 45°, то легко знайти його внутрішній кут: аn = 180° - 45° = 135°.

Маємо рівняння:

звідки n = 8.

В і д п о в і д ь. 8.

Задачу 1 можна було б розв’язати іншим способом, якщо знати формулу, яка пов’язує градусну міру зовнішнього кута правильного многокутника Рn з кількістю його вершин (сторін). Маємо:

Отже,

якщо n - зовнішній кут правильного n-кутника, то

За цією формулою задачу 1 можна розв’язати простіше.

Дійсно,

Нагадаємо, що

коло називають описаним навколо многокутника, якщо всі його вершини лежать на колі;

коло називають вписаним у многокутник, якщо всі його сторони дотикаються до кола.

Т е о р е м а (про коло, описане навколо правильного многокутника, і коло, вписане в нього). Якщо многокутник правильний, то навколо нього можна описати коло і в нього можна вписати коло.

Д о в е д е н н я. Нехай A1A2A3 ... Аn-1Аn - правильний n-кутник (мал. 134).

1)   3 вершин A1 і A2 проведемо бісектриси кутів n-кутника. Нехай вони перетнулися в точці O. Трикутник A1OA2 - рівнобедрений, бо OA1A2 = OA2A1 =

Мал. 134

2) Сполучимо точку O з вершиною A3, OA2A3 =  (бо A2O - бісектриса кута A1A2A3). Тоді ∆A1A2O = ∆A3A2O (за двома сторонами і кутом між ними). Отже, A1O = A2O = A3O.

3) Сполучаючи всі вершини даного га-кутника з точкою O і встановлюючи послідовно рівність кожної наступної пари трикутників, отримаємо, що A1O = A2O = A3O = ... = An-1O = AnO. Це означає, що всі вершини цього правильного n-кутника рівновіддалені від точки O, а тому точка O є центром описаного навколо нього кола, а OA1 - радіусом цього кола.

4) Проведемо висоти OK1 і OK2 в рівних між собою рівно- бедрених трикутниках A1A2O і A3A2O до основ A1A2 і A2A3 відповідно. ∆OK1A1 = ∆OK2A2(за гіпотенузою і гострим кутом). Тому OK1 = OK2.

5) Аналогічно доводимо, що рівними між собою є висоти всіх рівнобедрених трикутників, вершиною яких є точка O, а основою - сторона правильного многокутника. Усі сторони даного правильного многокутника рівновіддалені від точки O, а тому точка O - центр кола, вписаного в цей многокутник, а OK1 - радіус цього кола.

Н а с л і д о к 1. Центри вписаного і описаного кіл правильного многокутника збігаються.

Цю точку називають центром правильного многокутника. На малюнку 134 точка O - центр многокутника.

Наслідок 2. Коло, вписане у правильний многокутник, дотикається до сторін многокутника у їх серединах.

Кут між двома радіусами описаного кола, кінцями яких є сусідні вершини правильного многокутника, називають центральним кутом правильного многокутника.

На малюнку 134 центральними кутами правильного n-кутника є кути A1OA2, A2OA3, A3OA4, ..., An-1OAn, AnOA1. Усі вони рівні між собою (за доведеною теоремою) і дорівнюють по

Нехай уn - центральний кут правильного n-кутника, тоді  де уn - центральний кут правильного n-кутника.

Задача 2. Знайти площу правильного n-кутника, якщо радіус кола, описаного навколо нього, дорівнює R.

Р о з в’ я з ан н я. Нехай Sn - площа правильного n-кутника, S1 - площа трикутника A1OA2 (мал. 134).

Тоді Sn= n S1. Знайдемо S1:

Маємо:

В і д п о в і д ь.

Оскільки в правильний многокутник можна вписати коло, то його площу Sn за наслідком з теореми про площу трикутника за радіусом вписаного кола можна знайти і так:

Sn = pr,

де p - півпериметр n-кутника; r- радіус вписаного в нього кола.

Нехай A1A2 = аn - сторона правильного n-кутника, OA1 = R - радіус описаного навколо нього кола, OK1 = r - радіус вписаного в нього кола (мал. 134).

Тоді

Із трикутника A1OK1:

1)

2)

3)

Систематизуємо отримані формули в таблицю та подамо в ній також формули радіусів вписаного й описаного кіл правильного трикутника, чотирикутника (квадрата), шестикутника.

Запам’ятовувати ці формули необов’язково, але треба вміти їх виводити.

Задача 3. Знайти радіуси вписаного й описаного кіл правильного трикутника, якщо їх різниця дорівнює 6 см. Чому дорівнює сторона цього трикутника?

Р о з в’ я з а н н я. Нехай R = х см, тоді r = (х - 6) см.

Оскільки в правильному трикутнику r = , то маємо рівняння: х - 6 = , звідки x = 12 (см).

Отже,

В і д п о в і д ь.

Розглянемо, як за допомогою циркуля і лінійки без поділок побудувати правильні трикутник, чотирикутник і шестикутник, вписані в коло.

Задача 4. Побудувати правильний шестикутник, вписаний в коло.

Р о з в’ я з а н н я. Ураховуючи, що а6 = R, побудову виконаємо у такій послідовності.

1) Проведемо довільне коло (мал. 135).

2) Позначимо на колі довільну точку A1 - одну з вершин правильного шестикутника.

3) З точки A1, як із центра радіусом, що дорівнює радіусу кола, зробимо на колі по обидва боки від точки A1 засічки й отримаємо точки A2 і A6.

Мал. 135

4) Продовжуємо робити засічки від отриманих точок тим самим радіусом, отримуючи вершини A3, A4, A5, і сполучаємо їх.

Отримаємо правильний шестикутник A1A2A3A4A5A6.

Задача 5. Побудувати правильний трикутник, вписаний в коло.

Р о з в’ я з а н н я. Для побудови правильного вписаного трикутника треба відрізками сполучити вершини правильного вписаного шестикутника через одну (мал. 136). Отримаємо правильний трикутник A1A3A5.

Мал. 136

Мал. 137

Задача 6. Побудувати правильний чотирикутник (квадрат), вписаний у коло.

Р о з в’ я з а н н я. Для побудови вписаного чотирикутника (квадрата) достатньо через центр кола провести дві взаємно перпендикулярні прямі. Вони перетнуть коло у вершинах квадрата (мал. 137). Маємо квадрат С1С2С3С4.

У стародавніх єгипетських та вавилонських пам'ятках зустрічаються правильні чотирикутники, п'ятикутники і восьмикутники у вигляді зображень на стінах та прикрас, які висічено з каменя.

Давньогрецькі математики виявляли цікавість до правильних многокутників та їх побудови ще із часів Піфагора. Поділ кола на деяку кількість рівних частин для побудови правильних многокутників мав важливе значення для піфагорійців.

Учення про правильні многокутники, що розпочалося у школі Піфагора та продовжило розвиватися у V-IV ст. до н. е., було систематизовано Евклідом у четвертій книзі «Начал». За допомогою циркуля і лінійки Евклід умів будувати правильні n-кутники для n = 3, 4, 5, 6, 15. Крім того, Евклід визначив два критерії побудови правильних многокутників. Перший полягав у тому, що коли відомо, як побудувати правильний л-кутник, то можна побудувати і правильний 2n-кутник, для чого, очевидно, кожну з дуг, що міститься між двома сусідніми вершинами правильного n-кутника, треба ділити навпіл. Евклід указав і другий критерій. Якщо відомо, як будувати правильні многокутники з кількістю сторін j і s, а j і s - взаємно прості числа, то можна побудувати правильний многокутник з j х s сторонами. Таким чином, можна дійти висновку, що давні вчені вміли будувати многокутники з  сторонами, де m - ціле невід'ємне число, а k1 і к2 набувають значень 0 або 1.

Остаточне розв'язання задачі про те, як можна побудувати правильні n-кутники за допомогою тільки циркуля і лінійки, належить видатному німецькому математику Карлу Фрідріху Гаусу (1777-1855). У віці 19 років Гаус довів, що за допомогою циркуля і лінійки можна поділити коло на просте число N рівних частин, таке, що обчислюється за формулою  де n - натуральне число або нуль.

Після цього, у 1801 р., Гаус засобами алгебри довів, що за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати лише такі правильні n-кутники, де число n можна розкласти на множники у вигляді:

n = 2k p1 p2 ... ∙ pm,

де k - ціле невід'ємне число, а p1, р2, ..., рm - прості числа вигляду

(де t - ціле невід'ємне число)1.

Відкриття Гауса наблизило математиків до висновку, що, окрім раніше відомих правильних многокутників, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки, з кількістю вершин, що дорівнює 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, ..., за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати й правильні многокутники, кількість вершин яких дорівнює 17, 34, 68, 126, 252, 257, ... . Натомість неможливо за допомогою лише циркуля і лінійки побудувати правильний многокутник, у якого 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21,22, 23, 25, 27, 28, ... вершин.

1. Що називають правильним многокутником?

2. Чому дорівнює кут правильного n-кутника?

3. Сформулюйте і доведіть теорему про коло, описане навколо правильного многокутника, і коло, вписане в нього.

4. Сформулюйте наслідки із цієї теореми.

5. Що називають центром правильного многокутника, центральним кутом правильного многокутника?

6. Доведіть формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

1. Початковий рівень

718. (Усно.) Які з наведених многокутників є правильними:

1) паралелограм;            2) рівносторонній трикутник;

3) ромб;                         4) рівнобедрений трикутник;

5) квадрат;                     6) рівнобічна трапеція?

1 Ці числа називають простими числами Ферма. На сьогодні відомо лише пять простих чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537.

719. Знайдіть центральний кут правильного:

1) шестикутника;               2) двадцятикутника.

720. Знайдіть центральний кут правильного:

1) трикутника;                   2) десятикутника.

721. Центральний кут правильного многокутника дорівнює 15°. Знайдіть кількість сторін многокутника.

722. Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, якщо його центральний кут дорівнює 10°.

3. Середній рівень

723. (Усно.) Чи правильне твердження:

1) будь-який правильний многокутник опуклий;

2) будь-який опуклий многокутник є правильним?

724. (Усно.) Які з тверджень правильні, а які - неправильні:

1) якщо чотирикутник не є квадратом, то він не може бути правильним;

2) многокутник є правильним, якщо він опуклий і всі його сторони між собою рівні;

3) серед прямокутників є правильні чотирикутники;

4) трикутник є правильним, якщо всі його кути між собою рівні?

725. Чи правильне твердження:

1) серед трапецій є правильні чотирикутники;

2) терміни «рівносторонній трикутник» і «правильний трикутник» означають одне й те саме;

3) будь-який чотирикутник, у якого всі сторони між собою рівні, є правильним;

4) якщо многокутник не є опуклим, то він не може бути правильним?

726. Знайдіть міру кута правильного n-кутника, якщо:

1) n = 8;                2) n = 15.

727. Знайдіть міру кута правильного:

1) дев’ятикутника;                2) дванадцятикутника.

728. Знайдіть міру зовнішнього кута правильного:

1) п’ятикутника;                   2) тридцятикутника.

729. Знайдіть міру зовнішнього кута правильного n-кутника, якщо:

1) n = 10; 2) n = 36.

730. Скільки сторін має правильний многокутник, якщо його кут дорівнює 165°?

731. Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, якщо його кут дорівнює 108°.

732. Який найбільший центральний кут може бути у правильного многокутника?

733. Сторона правильного трикутника дорівнює 4 см. Знайдіть радіуси вписаного та описаного навколо нього кіл.

734. Сторона квадрата дорівнює 2 см. Знайдіть радіуси вписаного та описаного навколо нього кіл.

735. Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного навколо кола з радіусом 2 см.

736. Знайдіть сторону правильного трикутника, вписаного в коло з радіусом 8 см.

737. Знайдіть сторону квадрата, вписаного в коло з радіусом 7 см.

738. Накресліть коло, радіус якого 4 см. Впишіть в коло правильний шестикутник.

739. Накресліть коло, радіус якого 3 см. Впишіть в коло правильний трикутник.

740. Накресліть коло, діаметр якого 5 см. Впишіть в коло квадрат.

741. Скільки сторін має правильний многокутник, якщо його зовнішній кут дорівнює 30°?

742. Зовнішній кут правильного многокутника дорівнює 20°. Знайдіть, скільки у многокутника вершин.

3. Достатній рівень

743. Зовнішній кут правильного многокутника становить  від внутрішнього. Скільки вершин у цього многокутника?

744. Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, зовнішній кут якого на 108° менший за внутрішній.

745. Сторона правильного трикутника, вписаного в коло, дорівнює 2 см. Знайдіть сторону квадрата, вписаного в це коло.

746. Сторона квадрата, описаного навколо кола, дорівнює 8 см. Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного навколо цього кола.

747. Впишіть у коло правильний восьмикутник.

748. Впишіть у коло правильний дванадцятикутник.

4. Високий рівень

749.   Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює 12 см, а радіус вписаного в нього кола - 6 см. Знайдіть кількість сторін многокутника та його сторону.

750. Радіус кола, вписаного у правильний многокутник, дорівнює 2 см, а радіус кола, описаного навколо нього, - 4 см. Знайдіть кількість вершин многокутника та його сторону.

751. Сторона правильного восьмикутника   дорівнює  см. Знайдіть його площу.

752. Сторона правильного дванадцятикутника дорівнює  см. Знайдіть його площу.

753. Кути квадрата, сторона якого дорівнює  см, зрізали так, що утворився правильний восьмикутник. Знайдіть його сторону.

Вправи для повторення

754. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють:

1) 7 см і 24 см; 2) 6а см і 8а см.

755. Знайдіть косинуси кутів трикутника, сторони якого дорівнюють 7 см, 8 см і 10 см.

756. Дві хорди перетинаються всередині круга. Відрізки, на які точка перетину хорд ділить одну з них, дорівнюють 4 см і 9 см. Знайдіть відрізки, на які ця точка ділить другу хорду, якщо:

1) вони між собою рівні;

2) один з них на 16 см більший за інший.

757. Периметр трапеції дорівнює 108 см, а точка дотику вписаного в неї кола ділить бічну сторону на відрізки завдовжки 4 см і 16 см. Знайдіть площу трапеції.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

758. Практичне завдання. 1) Візьміть стакан (циліндр, підставку для ручок циліндричної форми тощо) та за допомогою нитки обведіть цей предмет. Знайдіть довжину C нитки.

2) Поставте цей предмет на аркуш паперу й обведіть олівцем. Знайдіть центр отриманого кола, а потім його діаметр d (або знайдіть діаметр за допомогою штангенциркуля).

3) Знайдіть відношення C : d з точністю до тисячних. Систематизуйте дані, що отримали, в таблицю:

досліду

Довжина нитки C, см

Діаметр d, см

Відношення C : d

1

     

2

     

3

     

Цікаві задачі для учнів неледачих

759.  Відстані від точки перетину медіан до вершин гострих кутів прямокутного трикутника дорівнюють 6 і 12 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.