Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 4 ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ

§16. ДОВЖИНА КОЛА. ДОВЖИНА ДУГИ КОЛА

Наочне уявлення про довжину кола можна отримати таким чином. Уявімо, що коло виготовлено з тонкої нитки, яка не розтягується. Розріжемо нитку в деякій точці А і вирівняємо її (мал. 138). Матимемо відрізок AA1, довжина якого є довжиною кола.

Мал. 138

Мал. 139

Периметр будь-якого правильного многокутника, вписаного в коло, є наближеним значенням довжини цього кола. Що більшою є кількість сторін многокутника, то точнішим буде це наближене значення (мал. 139). Так, наприклад, периметр правильного вписаного в коло дванадцятикутника менше відрізняється від довжини кола, ніж периметр правильного шестикутника, вписаного в те саме коло. Якщо кількість сторін правильного многокутника збільшувати необмежено, то його периметр буде необмежено наближатися до довжини кола.

Доведемо важливу властивість довжини кола.

Т е о р е м а (про відношення довжини кола до його діаметра). Відношення довжини кола до його діаметра є сталим для всіх кіл.

Мал. 140

Д о в е д е н н я. Розглянемо два довільних кола, радіуси яких R і R', а довжини кіл C і C' (мал. 140).

1) У кожне з кіл впишемо правильний n-кутник з однаковою кількістю сторін. Нехай сторони цих n-кутників  їх периметри

2) Маємо:

3) Тоді:

4) Ця рівність є пропорцією при будь-якому значенні . Якщо  збільшувати необмежено, то периметри многокутників Рn і Pn' необмежено наближатимуться до довжин кіл С і С .

Тому:

Отже, відношення довжини кола до його діаметра є числом, сталим для всіх кіл.

Відношення довжини кола до його діаметра прийнято позначати грецькою літерою % (читають «пі»):

Число % ірраціональне, його наближене значення   ≈ 3,1416. Для практичних потреб наближене значення найчастіше використовують з точністю до сотих:  ≈ 3,14.

З рівності  отримаємо, що довжина кола, радіус якого дорівнює R, обчислюється за формулою

С = 2 R.

А враховуючи, що діаметр кола дорівнює 2R, маємо формулу довжини кола: C =  d, де d - діаметр.

Задача 1. Знайти довжину кола, радіус якого дорівнює:

1) 5 см; 2) 0,8 дм.

Р о з в’ я з а н н я. 1) C = 2 ∙ 5 = 10 (см);

2) C = 2 ∙ 0,8 = 1,6 (дм).

В і д п о в і д ь. 1) 10 см; 2) 1,6 дм.

Задача 2. Знайти радіус кола, довжина якого дорівнює:

1) 12% см; 2) 8 дм.

Р о з в’ я з а н н я. 1)

2)

В і д п о в і д ь.

Задача 3. Вантаж піднімають за допомогою блока (мал. 141). На скільки підніметься вантаж за 10 обертів блока, якщо діаметр блока 15 см?

Р о з в’ я з а н н я. Оскільки d = 15 см, то довжина кола блока: C =  d = 15 см.

Якщо блок зробить 10 обертів, то підніме вантаж на висоту:

10 ∙ 15 = 150 ≈ 150 ∙ 3,14 = 471 (см) = 4,71 (м).

В і д п о в і д ь. 4,71 м.

Мал. 141

Знайдемо формулу для обчислення довжини дуги кола, що відповідає центральному куту а, якщо радіус кола дорівнює R (мал. 142).

Оскільки довжина кола дорівнює 2R, то довжина дуги, що відповідає центральному куту 1°, складає  від довжини кола, тобто

Тоді довжину дуги lа можна обчислити за формулою:

де а - градусна міра дуги.

Мал. 142

Задача 4. Радіус кола дорівнює 4 см. Знайти довжину дуги, що відповідає центральному куту: 1) 20°; 2) 270°.

Р о з в’ я з а н н я. 1)

2)

В і д п о в і д ь.

Задача 5. Довжина дуги кола дорівнює 3п см, а її градусна міра - 36°. Знайти радіус кола.

Р о з в’ я з а н н я.

 звідки R = 15 см.

В і д п о в і д ь. 15 см.

А ще раніше...

І в далекому минулому людям доводилося розв'язувати задачі на обчислення довжини кола.

У різні часи значення відношення довжини кола C до його діаметра d, які використовували під час обчислень, різнилися. Наприклад, у Стародавньому Єгипті (~ 3500 років тому) це значення дорівнювало 3,16, а стародавні римляни вважали, що 3,12. Досить точно значення цього відношення визначив давньогрецький учений Архімед (бл. 287-212 р. до н. e.). Він довів, що

тобто що

Першим використовувати грецьку літеру п для значення відношення довжини кола до його діаметра запропонував англійський математик

Вільям Джонс у 1706 p., але загальновживаним це позначення стало завдяки працям видатного німецького математика Леонарда Ейлера (1707-1783), який обчислив число п з точністю до 153 десяткових знаків.

У наш час за допомогою сучасних комп'ютерів обчислено понад 200 мільярдів десяткових знаків числа п.

1. Як можна отримати уявлення про довжину кола?

2. Сформулюйте і доведіть теорему про відношення довжини кола до його діаметра.

3. Чому дорівнює це відношення?

4. Як обчислити довжину кола?

5. Як обчислити довжину дуги кола градусної міри а, якщо радіус кола дорівнює R?

1. Початковий рівень

760. Знайдіть довжину кола, радіус якого дорівнює:

1) 5 см;          2) 12 см;   3) 2,3 дм;    4) 0,4 м.

761. Знайдіть довжину кола, радіус якого дорівнює:

1) 7 см;          2) 1,5 см; 3) 4 дм;         4) 0,2 м.

762. Знайдіть довжину кола, діаметр якого дорівнює:

1) 4 см;          2) 8 дм;     3) 3,5 см;    4) 1,6 м.

763. Знайдіть довжину кола, діаметр якого дорівнює:

1) 6 дм;         2) 14 см;   3) 2,8 см;    4) 0,7 м.

764. У скільки разів збільшиться довжина кола, якщо його радіус збільшити у:

1) 2 рази; 2) 5 разів?

765. У скільки разів зменшиться довжина кола, якщо його радіус зменшити у:

1) 3 рази; 2) 10 разів?

2. Середній рівень

766. Знайдіть довжину кола, діаметр якого на 6 см більший за радіус.

767. Знайдіть довжину кола, радіус якого на 8 см менший за діаметр.

768. Знайдіть радіус кола, довжина якого дорівнює:

1) 4 см;       2) 7 дм;   3) 6 см;    4) 4 2 дм.

769. Знайдіть радіус кола, довжина якого дорівнює:

1) 6 дм;       2)  см;      3) 8 дм;    4) 6 2 см.

770. Радіус кола дорівнює 20 см. Знайдіть довжину дуги градусної міри а, якщо а дорівнює:

1) 1°;      2) 10°; 3) 45°;  4) 120°; 5) 225°; 6) 300°.

771. Радіус кола дорівнює 10 см. Знайдіть довжину дуги градусної міри , якщо  дорівнює:

1) 1°;      2) 20°; 3) 90°;  4) 135°; 5) 240°; 6) 330°.

772. На котушку радіуса 2 см намотано 10 витків нитки. Знайдіть довжину нитки.

773. На котушку діаметром 1 м намотано 15 витків дроту. Знайдіть довжину дроту.

3. Достатній рівень

774. Радіус кола зменшили на 4 см. На скільки зменшиться довжина кола?

775. Радіус кола збільшили на 5 см. На скільки збільшиться довжина кола?

776. Знайдіть радіус кола, у якому дуга, що відповідає центральному куту 20°, має довжину 2 см.

777. Довжина дуги дорівнює 18 см, а її градусна міра - 120°. Знайдіть радіус кола.

778. Довжина дуги кола радіуса 18 см дорівнює 4 см. Знайдіть градусну міру дуги.

779. Знайдіть градусну міру дуги кола, якщо її довжина дорівнює 6% см, а радіус кола - 15 см.

780. Хвилинна стрілка годинника, установленого на вежі, має довжину 2,5 м. Дугу якої довжини описує кінець стрілки за 25 хв? (Округліть з точністю до сотих метра.)

781. Діаметр вала колодязя 30 см, а глибина колодязя 7,6 м. Скільки повних обертів корби треба зробити, щоб витягти відро води?

782. На котушку радіуса 3,6 см намотано 1,4 м мотузки. Скільки зроблено повних витків?

783. Хорда завдовжки 6 см стягує дугу кола, градусна міра якої 90°. Знайдіть довжину кола.

784. Хорда завдовжки 8 см стягує дугу кола, градусна міра якої 60°. Знайдіть довжину кола.

785. Знайдіть довжину кола, вписаного в ромб, сторона якого дорівнює 8 см, а гострий кут - 30°.

786. Знайдіть довжину кола, описаного навколо прямокутного трикутника з катетами 6 см і 8 см.

4. Високий рівень

787. За даною хордою а знайдіть довжину її дуги, якщо градусна міра дуги дорівнює:

1) 60°; 2) 90°;             3) 120°.

788. За даною довжиною дуги, що дорівнює 2 см, знайдіть її хорду, якщо градусна міра дуги:

1) 60°;           2) 90°;    3) 120°.

789. Знайдіть довжину кола, описаного навколо трапеції, сторони якої дорівнюють 6 см, 6 см, 6 см і 12 см.

790. У колі проведено дві паралельні хорди, довжини яких 12 см і 16 см. Відстань між хордами 14 см. Знайдіть довжину кола.

791. Три кола з радіусами 2 см, 3 см і 27 см попарно дотикаються одне до одного. Знайдіть довжину кола, що проходить через центри даних кіл.

Вправи для повторення

792. Чи подібні трикутники ABC і A1B1C1, якщо:

1) AB : BC : CA = 3 : 4 : 5, A1B1= 6 см, B1C1= 8 см, C1A1= 10 см;

2) A: B : Z C =1 : 2 : 3, A1 = 20°, B1 = 70°, C1 = 90°?

793. Розв’яжіть трикутник ABC, у якого C = 90°:

1) AC = 6 см, BC = 4 см; 2) AB = 7 см, BC = 2 см.

Гострі кути трикутника знайдіть з точністю до мінути.

794.    Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 26 см і 30 см.

Знайдіть:

1) площу трикутника;            2) висоти трикутника;

3) радіус кола, вписаного у трикутник;

4) радіус кола, описаного навколо трикутника.

795. Кути правильного трикутника зрізали так, що отримали правильний шестикутник. Знайдіть сторону трикутника, якщо сторона шестикутника дорівнює а см.

Цікаві задачі для учнів неледачих

796. (Олімпіада Нью-Йорка, 1977 р.) Нехай a, b, c - сторони трикутника, P - його периметр. Доведіть, що






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.