Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 4 ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ

§17. ПЛОЩА КРУГА ТА ЙОГО ЧАСТИН

Нагадаємо, що кругом називають частину площини, обмежену колом, об’єднану із самим колом.

Т е о р е м а (про площу круга). Площа S круга, радіус якого дорівнює r, обчислюється за формулою:

S =  г2.

Д о в е д е н н я. Опишемо навколо кола правильний n-кутник, нехай Pn - периметр n-кутника, Sn - його площа (мал. 143).

1) За наслідком з теореми про площу трикутника за радіусом вписаного кола маємо:

2) Якщо n збільшувати необмежено, то периметр многокутника необмежено наближатиметься до довжини C кола, а площа многокутника необмежено наближатиметься до площі S круга. Тоді:

Мал. 143

Задача 1. Знайти площу круга, радіус якого дорівнює:

Р о з в’ я з а н н я. 1) S =  ∙ 32 = 9 (см2);

2)

В і д п о в і д ь. 1) 9 см2; 2) 49 дм2.

Задача 2. Знайти радіус круга, площа якого дорівнює:

1) 16 см2;         2) 7 дм2.

Р о з в’ я з а н н я. 1)

отже, r = 4 см.

2)

В і д п о в і д ь.

Задача 3. Дві водопровідні труби, діаметр яких 10 см, треба замінити однією трубою тієї самої пропускної спроможності. Яким має бути діаметр цієї труби?

Р о з в’ я з а н н я. 1) Радіус кожної з двох труб r = 5 см.

2) Переріз кожної з труб S =  r2 =  ∙ 52 = 25 (см2).

3) Переріз нової труби має дорівнювати сумі перерізів двох

старих, тобто 25 ∙ 2 = 50 (см2).

4) Нехай R - радіус нової труби. Тоді 50 =  R2, R = 5 - 7,07 (см).

Тоді діаметр цієї труби 14,14 см.

В і д п о в і д ь. 14,14 см.

Частину круга, обмежену двома його радіусами, називають сектором. На малюнку 144 зображено два сектори, один з яких зафарбований, а другий - ні. Знайдемо формулу площі сектора кола радіуса r, що відповідає центральному куту градусної міри а. Оскільки площа круга дорівнює  r2, то площа сектора, що відповідає центральному куту 1°, складає  від площі круга і дорівнює

Тому площа сектора, що відповідає центральному куту градусної міри а, обчислюється за формулою

Мал. 144

Задача 4. Знайдіть площу сектора круга радіуса 6 см, якщо відповідний сектору центральний кут дорівнює:

1) 30°;          2) 225°.

Р о з в’ я з а н н я. 1)

2)

В і д п о в і д ь. 1) 3% см2; 2) 22,5% см2.

Частину круга, обмежену хордою і відповідною їй дугою, називають сегментом. На малюнку 145 зображено два сегменти, один з яких обмежено хордою AB і дугою AB, а другий - хордою AB і дугою AMB. Якщо градусна міра центрального кута, що відповідає сегменту, менша за 180°, то площу сегмента знаходимо як різницю площ відповідного сектора і трикутника AOB. Якщо градусна міра центрального кута, що відповідає сегменту, більша за 180°, то площу сегмента знаходимо як суму площ відповідного сектора і трикутника AOB (мал. 145). Сегмент, якому відповідає розгорнутий

кут, є півкругом, і його площа дорівнює  де r – радіус круга.

Мал. 145

Отже,

площа сегмента, що не є півкругом, обчислюється за формулою

Задача 5. Кінці хорди ділять коло у відношенні 1 : 2. Знайдіть площі двох сегментів, що утворилися, якщо радіус круга дорівнює 12 см.

Р о з в’ я з а н н я. Нехай на малюнку 145 менша з дуг, що утворилися, дорівнює х°, тоді більша дорівнює (2х)°. Маємо х° + (2х)° = 360°, звідси x= 120°. Отже, меншому із сегментів відповідає центральний кут 120°, а більшому - 240°.

Позначимо площі сегментів S1 і S2. Матимемо:

В і д п о в і д ь.

А ще раніше...

Задачі щодо обчислення площі круга, як і задачі щодо знаходження довжини кола, виникли в давнину.

У папірусі Ахмеса (≈ 2 тис. років до н. е.) указано, що площею S круга слід вважати площу квадрата, сторона якого дорівнює   діаметра, тобто:

Це означає, що на той час значенням відношення довжини кола до його діаметра (у сучасних позначеннях - число ) вважали число

У творах Герона «Метрика» і «Геометрика» є багато вправ на обчислення діаметра і довжини кола, площі круга, сегмента і сектора круга.

Термін сегмент латинського походження (segmentum - відрізок) і є дослівним перекладом відповідного грецького терміна, який використовував ще Евклід. Термін сектор також латинського походження (sector - резець).

Крім задачі на знаходження площі круга, видатні геометри Давньої Греції намагалися розв'язати також і задачу про квадратуру круга, тобто за допомогою циркуля і лінійки побудувати квадрат, площа якого дорівнює площі даного круга. Лише в XIX ст. було доведено, що задачу про квадратуру круга неможливо розв'язати, тому під виразом квадратура круга мають на увазі задачу, яку неможливо розв'язати.

1. Сформулюйте і доведіть теорему про площу круга.

2. Що називають сектором?

3. За якою формулою обчислюють площу сектора?

4. Що називають сегментом?

5. За якою формулою обчислюють площу сегмента?

1. Початковий рівень

797. (Усно.) На якому з малюнків 146-149 зафарбована фігура є сектором, а на якому - сегментом?

Мал. 146

Мал. 147

Мал. 148

Мал. 149

798. Знайдіть площу круга, радіус якого дорівнює:

799. Знайдіть площу круга, радіус якого дорівнює:

800. Знайдіть площу круга, діаметр якого дорівнює:

1) 6 см; 2) 1,4 дм.

801. Знайдіть площу круга, діаметр якого дорівнює:

1) 12 дм; 2) 1,6 дм.

2. Середній рівень

802. Знайдіть площу круга, радіус якого на 10 см менший за діаметр.

803. Знайдіть площу круга, діаметр якого на 12 дм більший за радіус.

804. Площа одного круга в 9 разів більша за площу другого. Знайдіть відношення їх радіусів.

805. Радіус круга збільшили втричі. У скільки разів збільшиться площа круга?

806. Площа круга дорівнює 25 см2. Знайдіть радіус круга.

807. Площа круга дорівнює 121 см2. Знайдіть радіус круга.

808. Знайдіть площу круга, довжина кола якого дорівнює 20 см.

809. Знайдіть площу круга, довжина кола якого дорівнює 18 дм.

810. Знайдіть площу сектора круга радіуса 8 см, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює:

1) 36°;         2) 60°;

3) 135°;       4) 225°.

811. Знайдіть площу сектора круга радіуса 6 см, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює:

1) 18°;         2) 75°;

3) 150°;       4) 240°.

812. Площа круга чисельно дорівнює довжині кола, що його обмежує. Знайдіть радіус круга.

3.  Достатній рівень

813. (Усно.) 1) Чи може сегмент круга бути водночас сектором?

2) За якої умови сегмент круга можна розрізати на сектори?

814. Знайдіть площу круга, описаного навколо правильного трикутника зі стороною 4 см.

815. Знайдіть площу круга, вписаного у правильний трикутник зі стороною 2 см.

816. Знайдіть площу круга, вписаного у квадрат, площа якого дорівнює 8 см2.

817. Знайдіть площу круга, описаного навколо квадрата, площа якого дорівнює 12 см2.

818. Знайдіть площу кільця, розміщеного між двома концентричними колами, радіуси яких дорівнюють 2 см і 5 см.

819. Визначте площу тієї частини круга, що лежить поза вписаним у нього квадратом зі стороною 10 см.

820. Знайдіть площу тієї частини круга, що лежить поза вписаним у нього прямокутним трикутником з катетами 12 см і 16 см.

821. Знайдіть радіус круга, якщо площа сектора цього круга дорівнює 180 см2, а центральний кут, що відповідає цьому сектору, дорівнює 72°.

822. Знайдіть радіус круга, якщо площа сектора цього круга дорівнює 12 см2, а центральний кут, що відповідає цьому сектору, дорівнює 120°.

823. Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює 12 см, а центральний кут, що відповідає сегменту, дорівнює:

1) 30°;        2) 120°;    3) 225°.

824. Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює 6 см, а центральний кут, що відповідає сегменту, дорівнює:

1) 45°;        2) 90°;      3) 210°.

4. Високий рівень

825. Кінці хорди завдовжки 6 см ділять коло у відношенні 1 : 2. Знайдіть площі двох утворених сегментів.

826. Кінці хорди завдовжки 12 см ділять коло у відношенні 1 : 5. Знайдіть площі двох утворених сегментів.

827. Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобічну трапецію, основи якої дорівнюють 5 см і 3 см.

828. У рівнобічну трапецію вписано круг, площа якого дорівнює 48 см2. Знайдіть площу трапеції, якщо її гострий кут дорівнює 60°.

829. Знайдіть площі зафарбованих фігур на малюнках 150152, якщо сторона квадрата дорівнює а.

Мал. 150

Мал. 151

Мал. 152

Вправи для повторення

830. Розв’яжіть прямокутний трикутник ABC (C = 90°). Невідомі сторони знайдіть з точністю до сотих:

1) AB = 5 см, A = 72°;     2) BC = 4 см, B = 15°.

831. Скільки вершин має правильний многокутник, якщо різниця його внутрішнього і зовнішнього кутів дорівнює 100°?

832. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 8 см, а кут між ними - 60°. Знайдіть найменшу висоту трикутника.

833. Побудуйте трапецію з основами а і b та діагоналями d1 і d2.

Цікаві задачі для учнів неледачих

834. (Всеукраїнська математична олімпіада, 1985 р.) Точки A, B, C і D є вершинами опуклого чотирикутника. П’ять із шести можливих відстаней між парами цих точок дорівнюють 1, 1, , , 3. Знайдіть шосту відстань.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.