Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 5 ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

У цьому розділі ви:

• пригадаєте поняття подібності трикутників та рівності фігур;

• дізнаєтеся про переміщення (рух) і його властивості, симетрію відносно точки і прямої, поворот, паралельне перенесення, перетворення подібності;

• навчитеся виконувати перетворення фігур, знаходити площі подібних фігур.

§18. ПЕРЕМІЩЕННЯ (РУХ) ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ. РІВНІСТЬ ФІГУР

Перетворення фігур

Будь-яку геометричну фігуру можна розглядати як множину точок. Наприклад, відрізок - це множина точок прямої, що лежать між двома її точками, разом із цими точками.

Іноді між точками двох геометричних фігур можна встановлювати певну відповідність.

Нехай А'В' - середня лінія трикутника ABC, що паралельна стороні AB (мал. 155).

Уважатимемо, що кожній точці X сторони AB трикутника ABC відповідає точка X середньої лінії A'B', що лежить на промені CX. Наприклад, точці А відповідає точка А', точці В - точка В'. Точку X', яка відповідає точці X, називають образом точки X, точку X при цьому називають прообразом точки X’.

За встановленою відповідністю кожній точці X відрізка AB відповідає певна точка X' відрізка АВ'. При цьому кожна точка відрізка А'В' є відповідною деякій точці відрізка AB. Окрім цього, різним точкам відрізка AB відповідають різні точки відрізка А В'. Множиною всіх точок, які відповідають точкам відрізка AB, є відрізок А’В’. Таким чином, отримали перетворення відрізка AB у відрізок А В .

Мал. 155

Перетворенням фігури F у фігуру F' називають таку відповідність, при якій:

1) кожній точці фігури F відповідає певна точка фігури F';

2) кожна точка фігури F' є образом деякої точки фігури F;

3) різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F

Кажуть, що фігура Fє образом фігури F для даного перетворення, а фігура F є прообразом фігури F'.

Зауважимо, що не кожна відповідність між точками двох фігур є перетворенням.

Задача 1. Чи є перетворенням відповідність, при якій кожній точці X ромба ABCD ставиться у відповідність точка X' - точка перетину діагоналі ромба AC з перпендикуляром, проведеним через точку X до прямої, що містить AC?

Р о з в’ я з а н н я. Для даної відповідності кожній точці X ромба ABCD відповідає єдина точка X’ діагоналі ромба AC (мал. 156). Але водночас кожній точці Y' діагоналі AC (за винятком точок А і C) відповідають дві точки ромба Y і Y1. Тому дана відповідність не є перетворенням.

В і д п о в і д ь. Ні.

Переміщення (рух) та його властивості

Мал. 156

Перетворення однієї фігури в іншу називають переміщенням (рухом), якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки X і Y першої фігури в точки X' і Y' другої так, що XY = X'Y' (мал. 157).

Мал. 157

Розглянемо основні властивості переміщення.

Т е о р е м а 1 (властивість переміщення). Точки, що лежать на прямій, під час переміщення переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розташування.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай точки А, В і C лежать на одній прямій. Тоді одна з них лежить між двома іншими, наприклад, точка C лежить між точками А і В (мал. 158). Тоді:

AB = AC + CB.

2) Деяке переміщення переводить точку А в точку А', точку B - у точку В', точку С - у точку C . Оскільки переміщення зберігає відстані між будь-якими двома точками, то:

А'В' = АВ, A'C' = AC, C'B' = CB.

Мал. 158

Тому:

А'В' = А'С' + С'В'.

3) 3 останньої рівності випливає, що точки А', В' і C лежать на одній прямій, причому точка C' лежить між точками А' і В'.

Наслідок. Під час переміщення прямі переходять у прямі, промені — у промені, відрізки — у відрізки.

Т е о р е м а 2 (властивість переміщення). Під час переміщення кут переходить у рівний йому кут.

Д о в е д е н н я. Нехай маємо нерозгорнутий кут ВАС. Під час переміщення два промені AB і AC, що виходять із спільної точки і не лежать на одній прямій, переходять у деякі два промені АВ' і АС (мал. 159).

Оскільки переміщення зберігає відстані між будь-якими двома точками, то AB = А'В', AC = А'С’, BC = B'С'.

Тоді ∆АВС = ∆А'В'С' (за трьома сторонами).

3 рівності трикутників випливає, що BAC = B'A'C'.

Мал. 159

Рівність фігур

Використовуючи поняття переміщення, можна сформулювати загальне означення рівності геометричних фігур.

Дві фігури називають рівними, якщо при переміщенні вони переходять одна в одну.

Відомі нам з попередніх класів означення рівності відрізків, кутів і трикутників не суперечать наведеному загальному означенню рівних фігур.

Із цього означення випливає, що:

1) якщо фігура F дорівнює фігурі F1, то і F1 дорівнює F;

2) якщо фігура F дорівнює фігурі F1, а F1 дорівнює F2, то F дорівнює F2;

3) якщо фігура F дорівнює фігурі F1, то існує деяке переміщення, що переводить фігуру F у фігуру F1.

Які саме види переміщень існують, ми розглянемо у наступних параграфах.

Задача 2. ∆ABC - рівнобедрений з основою AB. Чи існує переміщення, при якому: 1) відрізок AC переходить у відрізок BC; 2) кут А переходить у кут В?

Р о з в’ я з а н н я. Оскільки трикутник рівнобедрений з основою AB, то AC = BC і A = B. Тому існує переміщення, що переводить відрізок AC у відрізок BC, і існує переміщення, що переводить кут А в кут В.

В і д п о в і д ь. 1) Так; 2) так.

1. Що називають перетворенням фігури F у фігуру F'?

2. Яке перетворення фігури називають переміщенням?

3. Сформулюйте і доведіть властивості переміщення.

4. Які фігури називають рівними?

5. Які висновки можна зробити із загального означення рівності фігур?

1. Початковий рівень

885. Чи існує переміщення, яке переводить відрізок AB у відрізок А'В', якщо:

1) AB = 5 см; А’В’ = 5 см; 2) AB = 4 см; A'B' = 7 см?

886. Чи існує переміщення, яке переводить відрізок MN у відрізок M'N', якщо:

1) MN = 6 см; M'N= 4 см; 2) MN = 7 см; M'N' = 7 см?

887. Чи існує переміщення, яке переводить кут D в кут D', якщо:

1) D = 60°; D' = 62°;     2) D = 30°; D' = 30°?

888. Чи існує переміщення, яке переводить кут А в кут A', якщо:

1) A = 100°; A = 100°;   2) A = 98°; A = 85°?

2. Середній рівень

889. При переміщенні трикутник ABC перейшов у трикутник AB'C'. Знайдіть кути трикутника А'В'С', якщо трикутник ABC - рівнобедрений з кутом А при вершині і А = 20°.

890. При переміщенні прямокутний трикутник ABC з катетами AC = 3 см і BC = 4 см перейшов у трикутник А'В'С. Знайдіть сторони трикутника А'В'С.

891. ABCD - паралелограм. Чи існує переміщення, при якому:

1) сторона AB переходить у сторону CD;

2) кут BAD переходить у кут BCD?

892. KLMN - ромб. Чи існує переміщення, при якому:

1) сторона KL переходить у сторону KN;

2) кут KLN переходить у кут MNL?

3. Достатній рівень

893. Нехай маємо два кола зі спільним центром O. Кожній точці X першого кола відповідає точка X' другого кола, яка лежить на промені OX. Чи буде ця відповідність між точками двох кіл перетворенням?

894. Коло із центром у точці O вписано у квадрат. Кожній точці X кола відповідає точка X’ квадрата, яка лежить на промені OX. Чи буде ця відповідність між точками кола і квадрата перетворенням?

895. Чи існує переміщення, при якому відрізок MN переходить у відрізок KL, якщо М(-2; 3), N(2; 0), K(5; 1), L(0; 2)?

896. Чи існує переміщення, при якому відрізок AB переходить у відрізок CD, якщо A(0; 5), B(6; -3), C(4; 5), D(-1; 0)?

4. Високий рівень

897. Чи існує переміщення, яке переводить коло х2 + у2 - 2х -4у - 11 = 0 у коло х2 + у2 + 6х - 2у - 6 = 0?

898. Чи існує переміщення, яке переводить коло х2 + у2 -  4х + 2у - 4 = 0 у коло х2 + у2 + 8х = 0?

899. Розділіть фігуру, зображену на малюнку 160, на дві рівні частини.

900. Розділіть фігуру, зображену на малюнку 161, на дві рівні частини.

Мал. 160

Мал. 161

Вправи для повторення

901. Знайдіть кути паралелограма, якщо один з них на 30° більший за інший.

902. Одна зі сторін трикутника дорівнює 7 см, дві інші утворюють кут 60°, а їх різниця дорівнює 3 см. Знайдіть площу трикутника.

903. Два кола з радіусами 4 см і 9 см мають зовнішній дотик. Спільна зовнішня дотична дотикається до кіл у точках А і В. Знайдіть AB.

904. У правильному п’ятикутнику ABCDE діагоналі AD і BE перетинаються в точці O. Знайдіть кут DOE.

Цікаві задачі для учнів неледачих

905. На колі навмання розташували 5 точок. Доведіть, що:

1) існує принаймні три трійки точок, що є вершинами тупокутних трикутників;

2) існує таке розташування точок, при якому тупокутних трикутників буде точно три.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.