Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік
Розділ 1 МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ
§2. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС КУТІВ ВІД 0 ДО 180. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ТОТОЖНОСТІ
Досі ми розглядали синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника як відношення певних його сторін. Тепер сформулюємо означення синуса, косинуса і тангенса для будь-якого кута від 0° до 180°.
Уведемо на площині прямокутну систему координат і проведемо в її першому і другому координатних кутах півколо радіуса 1, центр якого збігається з початком координат (мал. 7). Назвемо його одиничним півколом. Позначимо буквою А точку перетину цього півкола з додатним напрямом осі х і домовимося відкладати від променя ОА кути проти руху годинникової стрілки. Нехай ∠АОВ = а - гострий кут, точка В належить півколу. Проведемо з точки В перпендикуляр ВС до осі х. Утворився прямокутний трикутник ОВС з гіпотенузою OB, де OB = 1.
Мал. 7
Значення синуса, косинуса, тангенса гострого кута а виразимо через координати точки В:
Так само будемо знаходити синус, косинус і тангенс інших кутів від 0° до 180°. Нехай В1(х1; у1) - точка одиничного півкола, що лежить у другій чверті (мал. 8).
Мал. 8
Тоді ∠В1ОА - тупий. Маємо:
Оскільки координати (х; у) точок одиничного півкола змінюються в межах 0 ≤ у ≤ 1, -1 ≤ х ≤ 1, то для довільного а такого, що 0° ≤ а ≤ 180°, справджуються нерівності:
0 ≤ sin а ≤ 1, -1 ≤ cos а ≤ 1.
Але якщо:
а - гострий, то sin а = у > 0; cos а = х > 0; tg а = > 0;
а - тупий, то sin а = у > 0; cos а = х < 0; tg а = < 0.
Окрім того, якщо кут а збільшується від 0° до 90°, то його синус збільшується від 0 до 1, а косинус зменшується від 1 до 0. Якщо кут а збільшується від 90° до 180°, то його синус зменшується від 1 до 0, а косинус зменшується від 0 до -1.
Знайдемо значення синуса, косинуса і тангенса кутів 0°, 90° і 180°.
На малюнку 8 куту 0° відповідає точка А(1; 0). Тому sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0. Куту 90° відповідає точка М(0; 1), тому sin 90° = 1, cos 90° = 0, але tg 90° - не існує, оскільки на нуль ділити не можна. Куту 180° відповідає точка А(-1; 0), тому sin 180° = 0, cos 180° = -1, tg 180° = 0.
Отже,
якщо В(х; у) - точка одиничного кола, яка відповідає куту а (мал. 7), то
sin а = у, cos а = х; tg а = .
Із цього означення випливає, що .
Очевидно, що для а = 90° tg а не існує.
Оскільки кожному куту а від 0° до 180° відповідає єдине значення синуса, косинуса і тангенса, то можна вважати синус, косинус і тангенс функціями з аргументом а. Ці функції (у = sin x, у = cos х, у = tg x) називають тригонометричними і вивчають у курсі алгебри старших класів.
Розглянемо деякі залежності між функціями одного й того самого аргументу, які називають тригонометричними тотожностями.
sin2a + cos2a = 1. (1)
Д о в е д е н н я. Розглянемо ДВОС (див. мал. 7). За теоремою Піфагора: ВС2+ ОС2 = ОВ2, тобто у2 + х2 = 1. Тому (sin а)2 + (cos а)2 = 1. Вираз (sin а)2 та аналогічні йому для зручності прийнято записувати без дужок, наприклад sin2a. Отже, sin2a + cos2a = 1.
Рівність sin2a + cos2a = 1 називають основною тригонометричною тотожністю. Із цієї тотожності можна виразити синус кута через його косинус:
та косинус кута через його синус:
В останній формулі знак «-» пишуть, якщо кут а - тупий.
sin (180˚ - a) = sin a, cos (180˚ - а) =-cos а. (2)
Д о в е д е н н я. Розглянемо точки В(х; у) і В(х1; y1) одиничного півкола, що відповідають кутам а і 180° - а (мал. 9).
Мал. 9
Оскільки ∠B1OA = 180° - а, то ∠В1ОС1 = 180° - (180° - а) = а. Отже, ∆ОВС = ∆ОВ1С1 (за гіпотенузою і гострим кутом). Тому ВС = В1С1 і ОС = ОС1. Звідки випливає, що абсциси точок В і В1 є протилежними, а їх ординати - однаковими: х = - x1, у = у1.
Ураховуючи, що sin а = у, cos а = x, sin (180° - а) = у1, cos (180° - а) = x1, матимемо:
sin (180° - а) = sin а, cos (180° - а) = -cos а.
tg (180˚ - а) = -tga. (3)
Д о в е д е н н я. Ураховуючи тотожність (2), маємо:
Використовуючи формули (2) і (3), можна виразити синус, косинус і тангенс тупого кута 180° - а через синус, косинус і тангенс гострого кута а.
Задача 1. Знайти синус, косинус і тангенс кутів 120°, 135° і 150°.
Р о з в’ я з а н н я.
Систематизуємо відомості з 8 класу та отримані в цьому параграфі у вигляді таблиці.
Синус, косинус і тангенс інших кутів можна знаходити за допомогою таблиць або калькулятора. Для обчислень використовуємо клавіші калькулятора (на деяких калькуляторах
Наприклад, sin 124° ≈ 0,8290; cos 157° ≈ -0,9205; tg 178° ≈« -0,0349.
За допомогою таблиць або калькулятора можна за даними значеннями sin а, cos а або tg а знаходити значення кута а. Для обчислення на калькуляторі використовуємо клавіші (на деяких калькуляторах
або послідовне натискання клавіші
і однієї з клавіш
Задача 2. Знайти а, якщо:
1) cos а = -0,3584; 2) sin а = 0,2588.
Р о з в’ я з а н н я. 1) cos а = -0,3584. За допомогою калькулятора знаходимо значення кута а у градусах: а = 111°.
2) sin а = 0,2588. За допомогою калькулятора знаходимо значення кута а у градусах: а = 15°. Але sin (180° - а) = sin а, тому sin (180° - 15°) = 0,2588, тобто sin 165° = 0,2588. Отже, існують два таких кути, синус яких дорівнює 0,2588, а саме: а = 15° і а = 165°.
В і д п о в і д ь. 1) 111°; 2) 15° або 165°.
sin (90° - а) = cos а, cos (90° - а) = sin а. (4)
Д о в е д е н н я. Розглянемо точки В(х; у) і В1(х1; у1) одиничного півкола, що відповідають кутам а і 90° - а (мал. 10).
Оскільки ∠B1OA = 90° - а, то ∠B1OC1 = 90° - (90° - а) = а. Тому ∆OBC = ∆OB1C1 (за гіпотенузою і гострим кутом). Маємо OC = OC1, BC = B1C1, тобто х = у1 і у = x1.
Мал. 10
Ураховуючи, що sin а = у, cos а = х, sin (90° - а) = y1, cos (90° - а) = x1, матимемо:
sin (90° - а) = cos а, cos (90° - а) = sin а.
Задача 3. Спростити:
Р о з в’ я з а н н я.
В і д п о в і д ь. 1) 1; 2) 0.
1. Поясніть, як знаходять синус, косинус і тангенс кутів від 0° до 180°.
2. Сформулюйте і доведіть основну тригонометричну тотожність.
3. Доведіть, що sin (180° - а) = sin а; cos (180° - а) = -cos а;
tg (180° - а) = -tg а; sin (90° - а) = cos а; cos (90° - а) = sin а.
1. Початковий рівень
30. Знайдіть за допомогою калькулятора:
1) sin 92°; 2) cos 108°; 3) tg 157°;
4) sin 118°6'; 5) cos 175°30'; 6) tg 129°24'.
31. Знайдіть за допомогою калькулятора:
1) cos 110°; 2) sin 116°; 3) tg 138°;
4) cos 120°30'; 5) sin 125°18'; 6) tg 120°6'.
32. (Усно.) Який із записів правильний:
1) sin 140° = sin 40° чи sin 140° = -sin 40°;
2) cos 140° = cos 40° чи cos 140° = -cos 40°?
33. (Усно.) 1) Чи може абсциса точки одиничного кола дорівнювати числу
2) Чи може ордината точки одиничного кола дорівнювати числу 0,2; 5; 2,03; -0,3; ?
34. Обчисліть:
1) sin 150° + tg 135°; 2) cos 150° ∙ sin 120°.
35. Обчисліть:
1) tg 135° - cos 120°; 2) sin 135° : cos 135°.
2. Середній рівень
36. Чи існує кут а, де 0° ≤ а ≤ 180°, для якого:
37. Чи існує кут , де 0° ≤
≤ 180°, для якого:
38. Кут - гострий. Знайдіть:
39. Кут а - гострий. Знайдіть:
1) sin а, якщо cos а = 0,6; 2) cos а, якщо sin а = .
40. Знайдіть за допомогою калькулятора або таблиць гострий кут а, якщо:
1) sin а = 0,2756; 2) tgа = 0,5498.
41. Знайдіть за допомогою калькулятора або таблиць гострий кут , якщо:
1) cos = 0,6691; 2) tg
= 2,0965.
42. Спростіть вираз:
43. Спростіть вираз:
3. Достатній рівень
44. Побудуйте гострий кут:
1) синус якого дорівнює ;
2) тангенс якого дорівнює .
45. Побудуйте гострий кут:
1) косинус якого дорівнює ;
2) тангенс якого дорівнює .
46. Запишіть у порядку зростання:
1) cos 137°; cos 125°; cos 142°;
2) sin 118°; sin 127°; sin 119°.
47. Запишіть у порядку спадання:
1) sin 142°; sin 148°; sin 138°;
2) cos 119°; cos 137°; cos 109°.
48. Знайдіть:
1) sin a і tg a, якщо cos a = -0,6;
2) cos a і tg a, якщо sin a = .
49. Знайдіть:
50. Доведіть тригонометричну тотожність:
1) cos2a + tg2a ∙ cos 2a = 1;
2) (sin a + cos a)(sin a - cos a) = 1 - 2cos2a.
51. Обчисліть:
1) cos2150° - sin2120° + tg135°;
2) tg120° ∙ cos120° + sin120°.
52. Знайдіть значення виразу:
53. Знайдіть за допомогою калькулятора або таблиць значення кута а, якщо:
1) tg а = -1,8807; 2) sin а = 0,9272.
54. Знайдіть за допомогою калькулятора або таблиць значення кута р, якщо:
1) tg р = -0,7002; 2) sin р = 0,9848.
4. Високий рівень
55. Побудуйте кут а, якщо:
56. Побудуйте кут а, якщо:
57. Знайдіть суму косинусів усіх кутів трапеції.
58. Обчисліть: 1) sin237° + sin253°; 2) 5 - cos 137° - cos 43°.
59. Обчисліть: 1) cos212° + cos278°; 2) 6 + sin42° - sin 138°.
Вправи для повторення
60. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 6 см, а висота, проведена до другої сторони, - 3 см. Знайдіть периметр паралелограма, якщо його площа дорівнює 24 см2.
61. Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця яких 2 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо дві його інші сторони дорівнюють 9 см і 6 см.
62. Коло, вписане у трапецію, ділить точкою дотику бічну сторону на відрізки довжиною а см і b см. Знайдіть висоту трапеції.
Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
63. Знайдіть відстань між точками A і B координатної прямої, якщо:
1) A(7); B(4); 2) A(-2); B(9);
3) A(-9); B(-12); 4) A(x1); B(x2)?
64. 1) Побудуйте точки A(1; 4); B(5; 1); C(1; 1) на координатній площині, одиничний відрізок якої дорівнює 1 см.
2) Знайдіть довжини відрізків AB; AC; BC за допомогою лінійки.
3) Як за допомогою обчислень знайти довжину відрізка AB, якщо довжини відрізків AC і BC відомі?
65. 1) Побудуйте на координатній площині точки A(-2; 4) і B(6; 2).
2) Знайдіть, використовуючи лінійку з поділками, координати точки M - середини відрізка AB.
3) Порівняйте координати точки M із середнім арифметичним відповідних координат точок A і B.
Цікаві задачі для учнів неледачих
66. Бічні сторони трапеції дорівнюють 6 см і 8 см, а відстань між серединами її діагоналей дорівнює 5 см. Знайдіть відстань між серединами основ трапеції.