Розділ 1 МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ

§2. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС КУТІВ ВІД 0 ДО 180. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ТОТОЖНОСТІ

Досі ми розглядали синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника як відношення певних його сторін. Тепер сформулюємо означення синуса, косинуса і тангенса для будь-якого кута від 0° до 180°.

Уведемо на площині прямокутну систему координат і проведемо в її першому і другому координатних кутах півколо радіуса 1, центр якого збігається з початком координат (мал. 7). Назвемо його одиничним півколом. Позначимо буквою А точку перетину цього півкола з додатним напрямом осі х і домовимося відкладати від променя ОА кути проти руху годинникової стрілки. Нехай ∠АОВ = а - гострий кут, точка В належить півколу. Проведемо з точки В перпендикуляр ВС до осі х. Утворився прямокутний трикутник ОВС з гіпотенузою OB, де OB = 1.

Мал. 7

Значення синуса, косинуса, тангенса гострого кута а виразимо через координати точки В:

Так само будемо знаходити синус, косинус і тангенс інших кутів від 0° до 180°. Нехай В₁(х₁; у₁) - точка одиничного півкола, що лежить у другій чверті (мал. 8).

Мал. 8

Тоді ∠В₁ОА - тупий. Маємо:

Оскільки координати (х; у) точок одиничного півкола змінюються в межах 0 ≤ у ≤ 1, -1 ≤ х ≤ 1, то для довільного а такого, що 0° ≤ а ≤ 180°, справджуються нерівності:

0 ≤ sin а ≤ 1, -1 ≤ cos а ≤ 1.

Але якщо:

а - гострий, то sin а = у > 0; cos а = х > 0; tg а =  > 0;

а - тупий, то sin а = у > 0; cos а = х < 0; tg а =  < 0.

Окрім того, якщо кут а збільшується від 0° до 90°, то його синус збільшується від 0 до 1, а косинус зменшується від 1 до 0. Якщо кут а збільшується від 90° до 180°, то його синус зменшується від 1 до 0, а косинус зменшується від 0 до -1.

Знайдемо значення синуса, косинуса і тангенса кутів 0°, 90° і 180°.

На малюнку 8 куту 0° відповідає точка А(1; 0). Тому sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0. Куту 90° відповідає точка М(0; 1), тому sin 90° = 1, cos 90° = 0, але tg 90° - не існує, оскільки на нуль ділити не можна. Куту 180° відповідає точка А(-1; 0), тому sin 180° = 0, cos 180° = -1, tg 180° = 0.

Отже,

якщо В(х; у) - точка одиничного кола, яка відповідає куту а (мал. 7), то

sin а = у, cos а = х; tg а = .

Із цього означення випливає, що .

Очевидно, що для а = 90° tg а не існує.

Оскільки кожному куту а від 0° до 180° відповідає єдине значення синуса, косинуса і тангенса, то можна вважати синус, косинус і тангенс функціями з аргументом а. Ці функції (у = sin x, у = cos х, у = tg x) називають тригонометричними і вивчають у курсі алгебри старших класів.

Розглянемо деякі залежності між функціями одного й того самого аргументу, які називають тригонометричними тотожностями.

sin²a + cos²a = 1.                                                    (1)

Д о в е д е н н я. Розглянемо ДВОС (див. мал. 7). За теоремою Піфагора: ВС²+ ОС² = ОВ², тобто у² + х² = 1. Тому (sin а)² + (cos а)² = 1. Вираз (sin а)² та аналогічні йому для зручності прийнято записувати без дужок, наприклад sin2a. Отже, sin²a + cos²a = 1.

Рівність sin²a + cos²a = 1 називають основною тригонометричною тотожністю. Із цієї тотожності можна виразити синус кута через його косинус:

та косинус кута через його синус:

В останній формулі знак «-» пишуть, якщо кут а - тупий.

sin (180˚ - a) = sin a, cos (180˚ - а) =-cos а.          (2)

Д о в е д е н н я. Розглянемо точки В(х; у) і В(х₁; y₁) одиничного півкола, що відповідають кутам а і 180° - а (мал. 9).

Мал. 9

Оскільки ∠B₁OA = 180° - а, то ∠В₁ОС₁ = 180° - (180° - а) = а. Отже, ∆ОВС = ∆ОВ₁С₁ (за гіпотенузою і гострим кутом). Тому ВС = В₁С₁ і ОС = ОС₁. Звідки випливає, що абсциси точок В і В₁ є протилежними, а їх ординати - однаковими: х = - x₁, у = у₁.

Ураховуючи, що sin а = у, cos а = x, sin (180° - а) = у₁, cos (180° - а) = x₁, матимемо:

sin (180° - а) = sin а, cos (180° - а) = -cos а.

tg (180˚ - а) = -tga.                                            (3)

Д о в е д е н н я. Ураховуючи тотожність (2), маємо:

Використовуючи формули (2) і (3), можна виразити синус, косинус і тангенс тупого кута 180° - а через синус, косинус і тангенс гострого кута а.

Задача 1. Знайти синус, косинус і тангенс кутів 120°, 135° і 150°.

Р о з в’ я з а н н я.

Систематизуємо відомості з 8 класу та отримані в цьому параграфі у вигляді таблиці.

Синус, косинус і тангенс інших кутів можна знаходити за допомогою таблиць або калькулятора. Для обчислень використовуємо клавіші калькулятора  (на деяких калькуляторах

Наприклад, sin 124° ≈ 0,8290; cos 157° ≈ -0,9205; tg 178° ≈« -0,0349.

За допомогою таблиць або калькулятора можна за даними значеннями sin а, cos а або tg а знаходити значення кута а. Для обчислення на калькуляторі використовуємо клавіші  (на деяких калькуляторах  або послідовне натискання клавіші  і однієї з клавіш  

Задача 2. Знайти а, якщо:

1)   cos а = -0,3584; 2) sin а = 0,2588.

Р о з в’ я з а н н я. 1) cos а = -0,3584. За допомогою калькулятора знаходимо значення кута а у градусах: а = 111°.

2)   sin а = 0,2588. За допомогою калькулятора знаходимо значення кута а у градусах: а = 15°. Але sin (180° - а) = sin а, тому sin (180° - 15°) = 0,2588, тобто sin 165° = 0,2588. Отже, існують два таких кути, синус яких дорівнює 0,2588, а саме: а = 15° і а = 165°.

В і д п о в і д ь. 1) 111°; 2) 15° або 165°.

sin (90° - а) = cos а, cos (90° - а) = sin а.             (4)

Д о в е д е н н я. Розглянемо точки В(х; у) і В₁(х₁; у₁) одиничного півкола, що відповідають кутам а і 90° - а (мал. 10).

Оскільки ∠B₁OA = 90° - а, то ∠B₁OC₁ = 90° - (90° - а) = а. Тому ∆OBC = ∆OB₁C₁ (за гіпотенузою і гострим кутом). Маємо OC = OC₁, BC = B₁C₁, тобто х = у₁ і у = x₁.

Мал. 10

Ураховуючи, що sin а = у, cos а = х, sin (90° - а) = y₁, cos (90° - а) = x1, матимемо:

sin (90° - а) = cos а, cos (90° - а) = sin а.

Задача 3. Спростити:

Р о з в’ я з а н н я.

В і д п о в і д ь. 1) 1; 2) 0.

1. Поясніть, як знаходять синус, косинус і тангенс кутів від 0° до 180°.

2. Сформулюйте і доведіть основну тригонометричну тотожність.

3. Доведіть, що sin (180° - а) = sin а; cos (180° - а) = -cos а;

tg (180° - а) = -tg а; sin (90° - а) = cos а; cos (90° - а) = sin а.

1. Початковий рівень

30. Знайдіть за допомогою калькулятора:

1) sin 92°;                2) cos  108°;     3) tg  157°;

4) sin 118°6';           5) cos  175°30'; 6) tg  129°24'.

31. Знайдіть за допомогою калькулятора:

1) cos 110°;             2) sin  116°;     3) tg  138°;

4) cos 120°30';         5) sin  125°18'; 6) tg  120°6'.

32. (Усно.) Який із записів правильний:

1) sin 140° = sin 40° чи sin 140° = -sin 40°;

2) cos 140° = cos 40° чи cos 140° = -cos 40°?

33. (Усно.) 1) Чи може абсциса точки одиничного кола дорівнювати числу

2) Чи може ордината точки одиничного кола дорівнювати числу 0,2; 5; 2,03; -0,3; ?

34. Обчисліть:

1) sin 150° + tg 135°;       2) cos 150° ∙ sin 120°.

35. Обчисліть:

1) tg 135° - cos 120°;        2) sin 135° : cos 135°.

   2. Середній рівень

36. Чи існує кут а, де 0° ≤ а ≤ 180°, для якого:

37. Чи існує кут , де 0° ≤ ≤ 180°, для якого:

38. Кут  - гострий. Знайдіть:

39. Кут а - гострий. Знайдіть:

1) sin а, якщо cos а = 0,6;        2) cos а, якщо sin а = .

40. Знайдіть за допомогою калькулятора або таблиць гострий кут а, якщо:

1) sin а = 0,2756;          2) tgа = 0,5498.

41. Знайдіть за допомогою калькулятора або таблиць гострий кут , якщо:

1) cos  = 0,6691;         2) tg  = 2,0965.

42. Спростіть вираз:

43. Спростіть вираз:

3. Достатній рівень

44. Побудуйте гострий кут:

1) синус якого дорівнює ;

2) тангенс якого дорівнює .

45. Побудуйте гострий кут:

1) косинус якого дорівнює ;

2) тангенс якого дорівнює .

46. Запишіть у порядку зростання:

1) cos 137°; cos 125°; cos 142°;

2) sin 118°; sin 127°; sin 119°.

47. Запишіть у порядку спадання:

1) sin 142°; sin 148°; sin 138°;

2) cos 119°; cos 137°; cos 109°.

48. Знайдіть:

1) sin a і tg a, якщо cos a = -0,6;

2) cos a і tg a, якщо sin a = .

49. Знайдіть:

50. Доведіть тригонометричну тотожність:

1) cos²a + tg²a ∙ cos ²a = 1;

2) (sin a + cos a)(sin a - cos a) = 1 - 2cos²a.

51. Обчисліть:

1) cos²150° - sin²120° + tg135°;

2) tg120° ∙ cos120° + sin120°.

52. Знайдіть значення виразу:

53. Знайдіть за допомогою калькулятора або таблиць значення кута а, якщо:

1) tg а = -1,8807;         2) sin а = 0,9272.

54. Знайдіть за допомогою калькулятора або таблиць значення кута р, якщо:

1) tg р = -0,7002;         2) sin р = 0,9848.

4. Високий рівень

55. Побудуйте кут а, якщо:

56.    Побудуйте кут а, якщо:

57. Знайдіть суму косинусів усіх кутів трапеції.

58. Обчисліть: 1) sin²37° + sin²53°;      2) 5 - cos 137° - cos 43°.

59. Обчисліть: 1) cos²12° + cos²78°;    2) 6 + sin42° - sin 138°.

Вправи для повторення

60. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 6 см, а висота, проведена до другої сторони, - 3 см. Знайдіть периметр паралелограма, якщо його площа дорівнює 24 см².

61. Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця яких 2 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо дві його інші сторони дорівнюють 9 см і 6 см.

62. Коло, вписане у трапецію, ділить точкою дотику бічну сторону на відрізки довжиною а см і b см. Знайдіть висоту трапеції.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

63. Знайдіть відстань між точками A і B координатної прямої, якщо:

1) A(7); B(4);                2) A(-2); B(9);

3) A(-9); B(-12);           4) A(x1); B(x₂)?

64. 1) Побудуйте точки A(1; 4); B(5; 1); C(1; 1) на координатній площині, одиничний відрізок якої дорівнює 1 см.

2) Знайдіть довжини відрізків AB; AC; BC за допомогою лінійки.

3) Як за допомогою обчислень знайти довжину відрізка AB, якщо довжини відрізків AC і BC відомі?

65. 1) Побудуйте на координатній площині точки A(-2; 4) і B(6; 2).

2) Знайдіть, використовуючи лінійку з поділками, координати точки M - середини відрізка AB.

3) Порівняйте координати точки M із середнім арифметичним відповідних координат точок A і B.

Цікаві задачі для учнів неледачих

66. Бічні сторони трапеції дорівнюють 6 см і 8 см, а відстань між серединами її діагоналей дорівнює 5 см. Знайдіть відстань між серединами основ трапеції.