Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік
Розділ 5 ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
§21. ПОВОРОТ
Поворотом навколо точки О на кут а називають перетворення, при якому точка А переходить у точку А' так, що ОА = ОА' і ∠AOA’ = а (мал. 189).
Мал. 189
Після повороту точка O переходить у себе. Точку O називають центром повороту, а кут AOA - кутом повороту.
Поворот можна виконати у двох напрямах: за годинниковою стрілкою і проти годинникової стрілки.
На малюнку 189 виконано поворот точки А навколо точки O на кут а за годинниковою стрілкою.
Щоб побудувати точку А', у яку переходить точка А внаслідок повороту в заданому напрямі (за годинниковою стрілкою або проти) навколо центру повороту (точки O) на кут а:
1) проводимо промінь OA;
2) від променя OA в заданому напрямі відкладаємо кут AOM, що дорівнює куту а;
3) на промені OM позначаємо точку А', таку, що ОА = OA’ (мал. 190).
На малюнку 190 виконано поворот точки A навколо точки O на кут а проти годинникової стрілки.
Мал. 190
Мал. 191
Зауважимо, що поворот на 180° навколо точки O як за годинниковою стрілкою, так і проти годинникової стрілки є симетрією відносно точки O.
Якщо задано кут а, центр і напрям повороту, то навколо центра повороту можна виконати поворот будь-якої фігури F. Для цього кожну точку X фігури F треба повернути навколо центра повороту на заданий кут а, отримавши у такий спосіб точку X фігури F' (мал. 191). У такому разі кажуть, що поворот навколо точки O на кут а відображає фігуру F у фігуру F'.
Т е о р е м а (про поворот навколо точки). Перетворення повороту є переміщенням.
Д о в е д е н н я. Нехай при повороті навколо точки O на кут а точки A і B фігури F переходять відповідно в точки А' і В’ фігури F'. Тоді OA = OA', OB = OB' і ∠AOA = ∠BOB'.
1) Нехай точки A, B і O не лежать на одній прямій (мал. 192). Тоді ∠AOB = ∠A’OB' (бо кожний із цих кутів дорівнює різниці кутів а і BOA'). Тому ∆AOB = ∆А'ОВ' (за двома сторонами і кутом між ними), звідси AB = A'B'.
Мал. 192
Мал. 193
2) Нехай точки А, В і O лежать на одній прямій (мал. 193). Тоді AB = OB - OA = OB' - OA' = А'В'.
Отже, в обох випадках AB = А'В’.
Задача. Трикутник AOB - рівносторонній (мал. 194).
1) Побудувати відрізок А'В', у який переходить відрізок AB при повороті навколо точки O на кут 110° проти годинникової стрілки.
2) Знайти градусну міру кута AOB'.
Мал. 194
Мал. 195
Р о з в’ я з а н н я. 1) Побудову зображено на малюнку 195. 2) ∠AOB' = ∠B'OB - ∠AOB = 110° - 60° = 50°.
В і д п о в і д ь. 2) 50°.
1. Що називають поворотом навколо точки O на кут а?
2. Що називають центром повороту; кутом повороту?
3. Доведіть, що перетворення повороту є переміщенням.
1. Початковий рівень
949. У яку точку при повороті на кут 90° за годинниковою стрілкою навколо точки O (мал. 196) переходить точка:
1) B; 2) D; 3) А; 4) C?
950. У яку точку при повороті на кут 90° проти годинникової стрілки навколо точки O (мал. 196) переходить точка:
1) A; 2) D; 3) В; 4) C?
Мал. 196
951. Стрілки годинника показують 11 год. Який час покаже годинник, якщо хвилинна стрілка здійснить поворот на 120°?
952. Стрілки годинника показують 8 год. Який час покаже годинник, якщо хвилинна стрілка здійснить поворот на 60°?
2. Середній рівень
953. Дано точки A і O. Побудуйте точку А', у яку переходить точка А при повороті навколо точки O:
1) за годинниковою стрілкою на 80°;
2) проти годинникової стрілки на 130°.
954. Дано точки B і O. Побудуйте точку В', у яку переходить точка В при повороті навколо точки O:
1) проти годинникової стрілки на 70°;
2) за годинниковою стрілкою на 100°.
955. У яку точку переходить точка B(0; -3) при повороті відносно початку координат на:
1) 90° проти годинникової стрілки;
2) 90° за годинниковою стрілкою;
3) 180°?
956. У яку точку переходить точка А(2; 0) при повороті відносно початку координат на:
1) 90° за годинниковою стрілкою;
2) 90° проти годинникової стрілки;
3) 180°?
3. Достатній рівень
957. Накресліть трикутник ABC. Виконайте поворот трикутника на 60° за годинниковою стрілкою навколо вершини В.
4. Високий рівень
962. Точка А(m; -3) переходить у точку А'(n; 4) при повороті навколо початку координат на 90° за годинниковою стрілкою. Знайдіть m і n.
963. Точка B(4; m) переходить у точку B'(-3; n) при повороті навколо початку координат на 90° проти годинникової стрілки. Знайдіть m і n.
964. Знайдіть координати точки А', у яку переходить точка A(2; 0) при повороті навколо початку координат на кут 45° за годинниковою стрілкою.
965. Знайдіть координати точки B', у яку переходить точка B(0; 2) при повороті навколо початку координат на кут 45° проти годинникової стрілки.
966. Дано відрізок АВ. За допомогою циркуля і лінійки виконайте поворот навколо його середини на 120° за годинниковою стрілкою.
Вправи для повторення
967. Знайдіть площу прямокутного трикутника, гіпотенуза якого дорівнює 25 см, а один з катетів - 20 см.
968. Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 9 см і 13 см. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, у якого сума найбільшої і найменшої сторін дорівнює 84 см.
969. Кут між векторами 
i 
дорівнює 45°, || = 2
. || = 3. Знайдіть | - 2|.
958. Накресліть трикутник ABC. Виконайте поворот трикутника на 110° проти годинникової стрілки навколо вершини C.
959. Побудуйте точки, у які переходять точки А(3; -1), В(-2; 2), C(1; 2), D(-4; -4) при повороті на 90° проти годинникової стрілки навколо початку координат. Укажіть координати одержаних точок.
960. Побудуйте точки, у які переходять точки М(-4; 2), N(1; -1), K(4; 3), L(-2; -2) при повороті на 90° за годинниковою стрілкою навколо початку координат. Укажіть координати одержаних точок.
961. На який найменший кут треба повернути квадрат відносно його центра симетрії, щоб він перейшов сам у себе?
Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
970. 1) Вектор 
(-2; 3) відкладено від точки L(4; 5). Знайдіть координати кінця вектора,
2) Вектор (a; b) відкладено від точки K(x; у). Знайдіть координати кінця вектора.
971. 1) Точка М(4; -3) - кінець вектора 
(-5; 0). Знайдіть координати початку вектора.
2) Точка C(x'; у') - кінець вектора (a; b). Знайдіть координати початку вектора.
Цікаві задачі для учнів неледачих
972. Бісектриса кута A трикутника ABC перетинає описане навколо нього коло в точці D. Знайдіть довжини хорд DC і DB, якщо DI = l, де I - центр кола, вписаного у трикутник.