Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 5 ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

§21. ПОВОРОТ

Поворотом навколо точки О на кут а називають перетворення, при якому точка А переходить у точку А' так, що ОА = ОА' і AOA= а (мал. 189).

Мал. 189

Після повороту точка O переходить у себе. Точку O називають центром повороту, а кут AOA - кутом повороту.

Поворот можна виконати у двох напрямах: за годинниковою стрілкою і проти годинникової стрілки.

На малюнку 189 виконано поворот точки А навколо точки O на кут а за годинниковою стрілкою.

Щоб побудувати точку А', у яку переходить точка А внаслідок повороту в заданому напрямі (за годинниковою стрілкою або проти) навколо центру повороту (точки O) на кут а:

1) проводимо промінь OA;

2) від променя OA в заданому напрямі відкладаємо кут AOM, що дорівнює куту а;

3) на промені OM позначаємо точку А', таку, що ОА = OA’ (мал. 190).

На малюнку 190 виконано поворот точки A навколо точки O на кут а проти годинникової стрілки.

Мал. 190

Мал. 191

Зауважимо, що поворот на 180° навколо точки O як за годинниковою стрілкою, так і проти годинникової стрілки є симетрією відносно точки O.

Якщо задано кут а, центр і напрям повороту, то навколо центра повороту можна виконати поворот будь-якої фігури F. Для цього кожну точку X фігури F треба повернути навколо центра повороту на заданий кут а, отримавши у такий спосіб точку X фігури F' (мал. 191). У такому разі кажуть, що поворот навколо точки O на кут а відображає фігуру F у фігуру F'.

Т е о р е м а (про поворот навколо точки). Перетворення повороту є переміщенням.

Д о в е д е н н я. Нехай при повороті навколо точки O на кут а точки A і B фігури F переходять відповідно в точки А' і В’ фігури F'. Тоді OA = OA', OB = OB' і AOA = BOB'.

1) Нехай точки A, B і O не лежать на одній прямій (мал. 192). Тоді AOB = AOB' (бо кожний із цих кутів дорівнює різниці кутів а і BOA'). Тому ∆AOB = ∆А'ОВ' (за двома сторонами і кутом між ними), звідси AB = A'B'.

Мал. 192

Мал. 193

2) Нехай точки А, В і O лежать на одній прямій (мал. 193). Тоді AB = OB - OA = OB' - OA' = А'В'.

Отже, в обох випадках AB = А'В’.

Задача. Трикутник AOB - рівносторонній (мал. 194).

1) Побудувати відрізок А'В', у який переходить відрізок AB при повороті навколо точки O на кут 110° проти годинникової стрілки.

2) Знайти градусну міру кута AOB'.

Мал. 194

Мал. 195

Р о з в’ я з а н н я. 1) Побудову зображено на малюнку 195. 2) AOB' = B'OB - AOB = 110° - 60° = 50°.

В і д п о в і д ь. 2) 50°.

1. Що називають поворотом навколо точки O на кут а?

2. Що називають центром повороту; кутом повороту?

3. Доведіть, що перетворення повороту є переміщенням.

1. Початковий рівень

949.  У яку точку при повороті на кут 90° за годинниковою стрілкою навколо точки O (мал. 196) переходить точка:

1) B;        2) D;     3) А;    4) C?

950.  У яку точку при повороті на кут 90° проти годинникової стрілки навколо точки O (мал. 196) переходить точка:

1) A;        2) D;     3) В;    4) C?

Мал. 196

951. Стрілки годинника показують 11 год. Який час покаже годинник, якщо хвилинна стрілка здійснить поворот на 120°?

952. Стрілки годинника показують 8 год. Який час покаже годинник, якщо хвилинна стрілка здійснить поворот на 60°?

2. Середній рівень

953. Дано точки A і O. Побудуйте точку А', у яку переходить точка А при повороті навколо точки O:

1) за годинниковою стрілкою на 80°;

2) проти годинникової стрілки на 130°.

954. Дано точки B і O. Побудуйте точку В', у яку переходить точка В при повороті навколо точки O:

1) проти годинникової стрілки на 70°;

2) за годинниковою стрілкою на 100°.

955. У яку точку переходить точка B(0; -3) при повороті відносно початку координат на:

1) 90° проти годинникової стрілки;

2) 90° за годинниковою стрілкою;

3) 180°?

956. У яку точку переходить точка А(2; 0) при повороті відносно початку координат на:

1) 90° за годинниковою стрілкою;

2) 90° проти годинникової стрілки;

3) 180°?

3. Достатній рівень

957. Накресліть трикутник ABC. Виконайте поворот трикутника на 60° за годинниковою стрілкою навколо вершини В.

4. Високий рівень

962. Точка А(m; -3) переходить у точку А'(n; 4) при повороті навколо початку координат на 90° за годинниковою стрілкою. Знайдіть m і n.

963. Точка B(4; m) переходить у точку B'(-3; n) при повороті навколо початку координат на 90° проти годинникової стрілки. Знайдіть m і n.

964.  Знайдіть координати точки А', у яку переходить точка A(2; 0) при повороті навколо початку координат на кут 45° за годинниковою стрілкою.

965. Знайдіть координати точки B', у яку переходить точка B(0; 2) при повороті навколо початку координат на кут 45° проти годинникової стрілки.

966. Дано відрізок АВ. За допомогою циркуля і лінійки виконайте поворот навколо його середини на 120° за годинниковою стрілкою.

Вправи для повторення

967. Знайдіть площу прямокутного трикутника, гіпотенуза якого дорівнює 25 см, а один з катетів - 20 см.

968. Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 9 см і 13 см. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, у якого сума найбільшої і найменшої сторін дорівнює 84 см.

969. Кут між векторами  i  дорівнює 45°, || = 2. || = 3. Знайдіть | - 2|.

958. Накресліть трикутник ABC. Виконайте поворот трикутника на 110° проти годинникової стрілки навколо вершини C.

959. Побудуйте точки, у які переходять точки А(3; -1), В(-2; 2), C(1; 2), D(-4; -4) при повороті на 90° проти годинникової стрілки навколо початку координат. Укажіть координати одержаних точок.

960. Побудуйте точки, у які переходять точки М(-4; 2), N(1; -1), K(4; 3), L(-2; -2) при повороті на 90° за годинниковою стрілкою навколо початку координат. Укажіть координати одержаних точок.

961. На який найменший кут треба повернути квадрат відносно його центра симетрії, щоб він перейшов сам у себе?

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

970. 1) Вектор  (-2; 3) відкладено від точки L(4; 5). Знайдіть координати кінця вектора,

2) Вектор  (a; b) відкладено від точки K(x; у). Знайдіть координати кінця вектора.

971. 1) Точка М(4; -3) - кінець вектора  (-5; 0). Знайдіть координати початку вектора.

2) Точка C(x'; у') - кінець вектора  (a; b). Знайдіть координати початку вектора.

Цікаві задачі для учнів неледачих

972. Бісектриса кута A трикутника ABC перетинає описане навколо нього коло в точці D. Знайдіть довжини хорд DC і DB, якщо DI = l, де I - центр кола, вписаного у трикутник.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.