Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 5 ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

§22. ПАРАЛЕЛЬНЕ ПЕРЕНЕСЕННЯ

Нехай дано вектор . Паралельним перенесенням на вектор  називають таке перетворення, при якому кожній точці М відповідає така точка М', що  =  (мал. 197).

Якщо координати вектора відомі, то можна дати інше означення паралельного перенесення на вектор  (a; b).

Паралельним перенесенням називають таке перетворення фігури, при якому її довільна точка М(х; у) переходить у точку М'(х + а; у + b), де а і b- одні й ті самі для всіх точок фігури (мал. 198).

Мал. 197

Мал. 198

Якщо точка M' має координати (х'; у'), то отримаємо формули паралельного перенесення:

х = х + а, у' = у + b.

Задача 1. Паралельне перенесення задано формулами x' = х + 2, у' = у - 3. З’ясуйте:

1) у яку точку при цьому паралельному перенесенні переходить точка А(5; 4);

2) яка точка при цьому паралельному перенесенні переходить у точку В'(-7; -3).

Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай точка А(5; 4) переходить у точку А (х'; у'), тоді x' = 5 + 2, х' = 7, у' = 4 - 3, у' = 1. Отже, А (7; 1).

2) Нехай у точку В'(-7; -3) перейшла точка В(х; у), тоді -7 = х + 2, звідки х = -9 і -3 = у - 3, звідки у = 0. Отже, В(-9; 0).

В і д п о в і д ь. 1) А(7; 1); 2) В(-9; 0).

Задача 2. Знайти формули, що задають паралельне перенесення, при якому точка С(2; -5) переходить у точку С'(4; 9).

Р о з в’ я з а н н я. Щоб знайти значення а і b, у формули паралельного перенесення х' = х + а і у' = у + b підставимо значення відповідних координат точок C і C'. Матимемо:

4 = 2 + а і 9 = -5 + b; звідки а = 2 і b = 14.

Отже, формули паралельного перенесення мають вигляд: х’ = х + 2, у' = у + 14.

В і д п о в і д ь. х' = х + 2, у' = у + 14.

Т е о р е м а (про паралельне перенесення). Паралельне перенесення є переміщенням.

Д о в е д е н н я. Нехай при деякому паралельному перенесенні точки A1; y1) і B2; у2) фігури F переходять відповідно в точки А'(х1 + а; у1 + b) і В'(х2 + а; у2 + b) фігури F'.

Тоді за формулою відстані між двома точками:

AB2 = (х - х2)2 + (у1 - у2)2;

A'B'2 = (x1 + а - (x2 + а))2 + (у1 + b - (y + b))2 = (x - x2)2 + (y1 - y2)2.

Отже, AB2 = A'B'2, а тому AB = A'B'.

Однакові малюнки, що періодично повторюються на шпалерах, тканинах, вишитих рушниках, секції огорожі, паркетна підлога з малюнками, які повторюються, зовнішній вигляд поверхів багатоповерхівок є прикладами паралельного перенесення у повсякденному житті.

За допомогою паралельного перенесення будують графіки функцій в алгебрі. Наприклад, щоб побудувати графік функції у = х2 + 2, треба для графіка функції у = х2 виконати паралельне перенесення на дві одиниці вгору (мал. 199), а щоб побудувати графік функції y = , треба графік функції y =  паралельно перенести на три одиниці праворуч (мал. 200).

Мал. 199

Мал. 200

1. Що називають паралельним перенесенням (сформулюйте два означення)?

2. Які формули задають паралельне перенесення?

3. Доведіть, що паралельне перенесення є переміщенням.

4. Наведіть приклади паралельного перенесення з життя.

5. Наведіть приклади паралельного перенесення в алгебрі.

1. Початковий рівень

973.  (Усно.) Які з тверджень правильні:

1) існує паралельне перенесення, при якому більша основа трапеції переходить у меншу;

2) при паралельному перенесенні коло переходить у коло того самого радіуса;

3) при паралельному перенесенні прямокутний трикутник переходить у рівносторонній;

4) існує паралельне перенесення, при якому сторона паралелограма переходить у паралельну їй сторону?

974.  Паралельне перенесення задано формулами: х' = х - 2; у' = у + 5. У які точки при цьому паралельному перенесенні переходять точки:

1) 0(0; 0);      2) А(3; -1);  3) B(2; -5); 4)  С(10; 1)?

975.  Паралельне перенесення задано формулами: х' = х + 1, у' = у - 2. У які точки при цьому паралельному перенесенні переходять точки:

1) 0(0; 0);      2)  М(-2; 4); 3) N(-1; 2); 4)  K(-5; 8)?

2. Середній рівень

976.  Паралельне перенесення задано формулами: х' = х + 3, у' = у - 7. Які точки при цьому паралельному перенесенні переходять у точки:

1) K(2; 3);                      2) М(3; -7);

3) N(0; 0);                      4) L'(4; -5)?

977.  Паралельне перенесення задано формулами: x' = x - 3, y' = у + 7. Які точки при цьому паралельному перенесенні переходять у точки:

1) A(2; 4);                      2) B’(-3; 7);

3) C(0; 0);                      4) D'(-3; 17)?

978.  Запишіть формули паралельного перенесення, при якому точка А переходить у точку А’, якщо:

1) А(2; 7), А(-4; 5);        2) А(-1; 3), A(2; -5).

979.  Запишіть формули паралельного перенесення, при якому точка В переходить у точку В', якщо:

1) В(-1; 2), В’(0; -2);      2) В(2; 4), В’(5; 0).

980. При деякому паралельному перенесенні точка А перейшла в точку A (мал. 201). Перемалюйте малюнок у зошит та побудуйте фігуру, у яку при цьому паралельному перенесенні переходить відрізок CD.

Мал. 201

Мал. 202

981. При деякому паралельному перенесенні точка M перейшла в точку M' (мал. 202). Перемалюйте малюнок у зошит та побудуйте фігуру, у яку при цьому паралельному перенесенні переходить відрізок AB.

3. Достатній рівень

982. Чи існує паралельне перенесення, при якому:

1) точка А(2; -1) переходить у точку В(4; -7), а точка C(0; 2) - у точку D(2; -3);

2) точка М(4; -2) переходить у точку N(0; -3), а точка K(3; 0) - у точку L(-1; -1)?

983. Чи існує паралельне перенесення, при якому:

1) точка С(0; 0) переходить у точку D(4; 5), а точка А(-1; 2) - у точку В(2; 7);

2) точка K(-1; -1) переходить у точку L(2; -3), а точка M(0; 2) - у точку N(3; 0)?

984. Запишіть рівняння кола, у яке переходить коло (х + 3)2 + (у - 7)2 = 15 при паралельному перенесенні, заданому формулами: х' = х - 5, у' = у + 2.

985. Запишіть рівняння кола, у яке переходить коло (х - 5)2 + (у + 2)2 = 7 при паралельному перенесенні, заданому формулами: х' = х + 3, у' = у - 4.

4. Високий рівень

986. Запишіть рівняння прямої, у яку переходить пряма x + 2у - 4 = 0 при паралельному перенесенні, заданому формулами: х’ = x + 1; у’ = у - 2.

987. Запишіть рівняння прямої, у яку переходить пряма 3х - у - 6 = 0 при паралельному перенесенні, заданому формулами: х’ = х - 2, у’ = у + 3.

988. Виконали паралельне перенесення прямої 2х - 5у - 10 = 0. Запишіть рівняння прямої, що при цьому отримали, якщо вона проходить через точку:

1) 0(0; 0);        2) A(2; -1).

989. Виконали паралельне перенесення прямої 3х - 2у + 6 = 0. Запишіть рівняння прямої, що при цьому отримали, якщо вона проходить через точку:

1) 0(0; 0);        2) В(4; -1).

Вправи для повторення

990. Один з кутів прямокутного трикутника дорівнює 45°, а інший прямокутний трикутник є рівнобедреним. Чи подібні ці трикутники?

991. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 30°, а бічна сторона - 4 см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до бічної сторони.

992. Знайдіть площу трапеції з основами 20 см і 12 см, якщо центр кола, описаного навколо цієї трапеції, лежить на більшій основі.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

993. Доведіть, що ∆ABC ~ ∆А1B1C1, якщо:

1) A = 50°, B = B1 = 100°, C1 = 30°;

2) C = C1 = 20°, AC = 2 cм, BC = 5 cм, A1C1 = 4 cм, B1C1 = 10 cм

3) AB = 3 cм, BC = 4 cm, AC = 6 cм, A1B1 = 9 cм, B1C1 = 12 cм, A1C1 = 18  см.

994. ∆ABC ~ ∆A1B1C1, РАВС = 24 cм. Знайдіть PА1В1С1.

Цікаві задачі для учнів неледачих

995. Кожне з трьох рівних між собою кіл радіуса r дотикається до двох інших. Знайдіть площу трикутника, утвореного спільними дотичними до цих кіл.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.