Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 5 ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

§23. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДІБНОСТІ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ. ПОДІБНІСТЬ ФІГУР

Раніше ми вже розглядали подібність трикутників. Поняття подібності можна ввести не тільки для трикутників, але й для довільних фігур.

Перетворення фігури F у фігуру F' називають перетворенням подібності, або подібністю, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одну й ту саму кількість разів.

Це означає, що коли довільні точки M і N фігури F при перетворенні подібності переходять у точки M' і N' фігури F', то M'N' = kMN,

де k - одне й те саме додатне число для всіх пар точок M і N (мал. 203). Це число k називають коефіцієнтом подібності фігури F' по відношенню до фігури F, або просто коефіцієнтом подібності фігур.

Мал. 203

Розглянемо основні властивості перетворення подібності.

1. Переміщення можна розглядати як перетворення подібності з коефіцієнтом k = 1.

2. При перетворенні подібності точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розташування.

Д о в е д е н н я. Нехай точки А, В і C лежать на одній прямій, причому точка В лежить між точками А і C. Тоді AC = AB + BC.

При перетворенні подібності точки A, B і C переходять відповідно в точки A', В' і С', причому A'B' = k AB, BC = k BC, A'C' = k AC.

Маємо:

A'C' = k AC = k(AB + BC) = k AB + k BC = А'В’ + B'C.

З рівності А'С' = A'B' + B'C' випливає, що точки A, В' і С' лежать на одній прямій, причому точка В' лежить між точками A і С .

Н а с л і д о к. Перетворення подібності переводить прямі у прямі, промені — у промені, відрізки — у відрізки.

3. При перетворенні подібності кут переходить у рівний йому кут.

Д о в е д е н н я. Нехай ABC перетворенням подібності з коефіцієнтом переводиться в А'В'С' (мал. 204).

Тоді A'B' = k AB, B'C' = k BC, A'C' = k AC.

Тому ∆АВС ~ ∆А'В'С' (за трьома пропорційними сторонами).

Мал. 204

А отже, ABC = A'В’C.

Дві фігури називають подібними, якщо вони переходять одна в одну при перетворенні подібності.

Якщо перетворенням подібності точки M і N фігури F переходять у точки M' і N' фігури F' і M'N= k MN, то кажуть, що фігура F' подібна фігурі F з коефіцієнтом k, і записують так: F' ~ F (читають: «фігура F' подібна фігурі F»), або  коли треба вказати коефіцієнт (читають: «фігура F' подібна фігурі F з коефіцієнтом k»).

Зауважимо, що введене раніше означення подібності трикутників не суперечить загальному означенню подібності фігур.

Подібні фігури трапляються нам у повсякденному житті. Подібними є, наприклад, фотознімки, надруковані з одного негатива, але при різних збільшеннях; зображення на кіноплівці й зображення на екрані; карти однієї місцевості різних масштабів тощо.

Масштаб карти (креслення), добре відомий вам з молодших класів, є коефіцієнтом подібності карти (креслення) по відношенню до реальних розмірів. Так, наприклад, масштаб 1 : 1000 означає, що одному сантиметру на карті відповідає 1000 см (або 10 м) на місцевості.

Розглянемо основні властивості подібних фігур.

1. Кожна фігура подібна сама собі з коефіцієнтом 1.

2. Якщо фігура F' подібна фігурі F з коефіцієнтом k, то фігура F подібна фігурі F' з коефіцієнтом .

Д о в е д е н н я. Нехай фігура F' подібна фігурі F з коефіцієнтом k, а точки M і N фігури F переходять у точки M' і N' фігури F'.

Тоді M'N' = k MN, звідки MN =    M'N'.

Остання рівність означає, що фігура F подібна фігурі F' з коефіцієнтом .

3. Якщо фігура F' подібна фігурі F з коефіцієнтом k, а фігура F" подібна фігурі F' з коефіцієнтом k2, то фігура F" подібна фігурі F з коефіцієнтом k1k2.

Д о в е д е н н я. Нехай фігура F' подібна фігурі F з коефіцієнтом k1, і довільні точки M і N фігури F переходять у точки M і N фігури F . Тоді M N = k1 MN.

Нехай фігура F" подібна фігурі F' з коефіцієнтом k2, і точки M' і N фігури F' переходять у точки M" і N" фігури F". Тоді M"N" = k2 M'N'.

Маємо:

M"N" = k2M'N' = k2k1MN = k1k2MN.

Остання рівність означає, що фігура F" подібна фігурі F з коефіцієнтом k1k2.

4. У подібних многокутників відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні.

Ця властивість випливає з властивостей перетворення подібності.

5. Правильні многокутники з однаковою кількістю сторін подібні.

Доведіть цей наслідок самостійно.

Зауважимо, що при позначенні подібних многокутників (як і при позначенні подібних трикутників) має значення порядок слідування вершин у назвах.

Задача 1. Довести, що периметри подібних многокутників відносяться як відповідні сторони цих многокутників.

Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай A1A2 ... An v A1' A2' ... An' і A'1A'2 = k ∙ A1A2, A2'A3' = k ∙ A2A3 ..., An'A1' = k ∙ AnA1.

Тоді

2)

Задача 2. Сторони чотирикутника відносяться як 3 : 4 : 5 : 6. Знайти сторони подібного йому чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 72 см.

Р о з в’ я з а н н я. Сторони чотирикутника, подібного даному, відносяться так само, як сторони даного чотирикутника, тобто 3 : 4 : 5 : 6. Позначимо сторони чотирикутника, периметр якого дорівнює 72 см, відповідно 3х см, 4х см, 5х см і 6х см. Маємо рівняння: 3х + 4х + 5х + 6х = 72, звідки х = 4 (см).

Тепер знайдемо сторони чотирикутника: 3 ∙ 4 = 12 (см), 4 ∙ 4 = 16 (см), 5 ∙ 4 = 20 (см), 6 ∙ 4 = 24 (см).

В і д п о в і д ь. 12 см, 16 см, 20 см, 24 см.

1. Яке перетворення називають перетворенням подібності?

2. Що називають коефіцієнтом подібності?

3. Сформулюйте і доведіть властивості перетворення подібності.

4. Сформулюйте наслідок з властивості 2.

5. Які фігури називають подібними?

6. Наведіть приклади подібних фігур з повсякденного життя.

7. Сформулюйте і доведіть властивості подібних фігур.

1. Початковий рівень

996. (Усно.) Чотирикутники ABCD і KLMN подібні. Заповніть пропуски:

1) A = ...;         2) C = ...; 3) D = ...; 4) B = ... .

997. Чотирикутники ABCD і KLMN подібні,  = 3. Чому дорівнює відношення:

998. Фігура F' подібна фігурі F з коефіцієнтом 7. З яким коефіцієнтом фігура F подібна фігурі F'?

999. Фігура F подібна фігурі F' з коефіцієнтом . З яким коефіцієнтом фігура F' подібна фігурі F?

1000. Фігура F' подібна фігурі F" з коефіцієнтом , а фігура F подібна фігурі F' з коефіцієнтом . З яким коефіцієнтом фігура F подібна фігурі F"?

1001. Фігура F' подібна фігурі F з коефіцієнтом 2, а фігура F" подібна фігурі F' з коефіцієнтом 4. З яким коефіцієнтом фігура F" подібна фігурі F?

1002. Чи подібні між собою:

1) два квадрати;

2) два правильних десятикутники?

1003. Чи подібні між собою:

1) два рівносторонніх трикутники;

2) два правильних шестикутники?

2. Середній рівень

1004. Фігура F подібна фігурі F з коефіцієнтом . З яким коефіцієнтом фігура F" подібна фігурі F', якщо фігури F і F" рівні?

1005. Периметри двох правильних п’ятикутників відносяться як 2 : 3. Сторона п’ятикутника з меншим периметром дорівнює 12 см. Знайдіть сторону п’ятикутника з більшим периметром.

1006. Сторони двох квадратів відносяться як 4 : 3. Знайдіть периметр квадрата, сторона якого менша за сторону іншого, якщо периметр другого квадрата дорівнює 24 см.

1007. На малюнку, виконаному в масштабі 1 : 1000, земельну ділянку зображено прямокутником зі сторонами 3 см і 4 см. Знайдіть площу цієї ділянки.

1008. На плані земельної ділянки у масштабі 1 : 2000 відстань між точками дорівнює 3,7 см. Обчисліть відповідну відстань на місцевості.

1009. Довжина кабінету математики - 8 м, а ширина - 5 м. Накресліть план кабінету в масштабі 1 : 200.

1010. Довжина кімнати дорівнює 4 м, а ширина - 3 м. Накресліть план кімнати у масштабі 1 : 100.

1011. Відстань між двома селами на місцевості - 20 км, а на карті - 2 см. Знайдіть масштаб карти.

1012. Відстань між двома містами на місцевості - 350 км, а на карті - 3,5 см. Знайдіть масштаб карти.

1013. Чотирикутники ABCD і A'B'C'D' подібні, A = 30°; B' = 90°; C = 130°. Знайдіть невідомі кути обох чотирикутників.

1014. Чотирикутники KLMN і K'L'M'N' подібні, K' = 20°; L = 100°; M' = 140°. Знайдіть невідомі кути обох чотирикутників.

3.  Достатній рівень

1015. Чи можна стверджувати, що два чотирикутники подібні, якщо кути одного з них відповідно дорівнюють кутам іншого? Наведіть приклади.

1016. Чи можна стверджувати, що два чотирикутники подібні, якщо сторони одного з них відповідно пропорційні сторонам другого? Наведіть приклади.

1017. Сторони чотирикутника відносяться як 3 : 4 : 5 : 6. Знайдіть сторони подібного йому чотирикутника, якщо в нього:

1) найбільша сторона дорівнює 12 см;

2) різниця найбільшої і найменшої сторін дорівнює 18 см;

3) периметр дорівнює 90 см.

1018. Сторони п’ятикутника відносяться як 3 : 4 : 5 : 6 : 7. Знайдіть сторони подібного йому п’ятикутника, якщо в нього:

1) найменша сторона дорівнює 15 см;

2) сума найбільшої і найменшої сторін дорівнює 80 см;

3) периметр дорівнює 50 см.

1019. Доведіть, що перетворення подібності переводить прямокутник у прямокутник, сторони якого пропорційні сторонам даного.

1020. Два прямокутники подібні. Сторони одного з них дорівнюють 4 см і 6 см, а одна зі сторін другого - 12 см. Знайдіть іншу сторону другого прямокутника. Скільки розв’язків має задача?

1021. Два прямокутники подібні. Сторони одного з них дорівнюють 3 см і 6 см, а одна зі сторін другого - 18 см. Знайдіть іншу сторону другого прямокутника. Скільки розв’язків має задача?

1022. (Усно.) Що означає масштаб 10 : 1, 100 : 1, 1000 : 1? У яких випадках використовується цей масштаб?

1023. ABCD - прямокутник, AB = a, BC = b. Відрізок FE, де точка F належить AB, а точка E належить DC, відтинає прямокутник CBFE, подібний даному. Знайдіть сторону BF цього прямокутника.

4. Високий рівень

1024. Доведіть, що перетворення подібності переводить ромб у ромб, кути якого дорівнюють кутам даного.

1025. Чи подібні два ромби, якщо в одного з них менша діагональ дорівнює стороні, а в другого - більша діагональ у  разів більша за сторону?

1026. Доведіть, що перетворення подібності переводить коло в коло.

1027. Периметри подібних п’ятикутників відносяться як 2 : 3, а сума їх найбільших сторін дорівнює 30 см. Знайдіть сторони обох п’ятикутників, якщо відношення сторін одного з них дорівнює 2 : 2 : 3 : 4 : 6.

1028. Периметри подібних чотирикутників відносяться як 4 : 3, а різниця їх найбільших сторін дорівнює 5 см. Знайдіть сторони обох чотирикутників, якщо відношення сторін одного з них дорівнює 2 : 2 : 3 : 5.

Вправи для повторення

1029. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо інші його сторони дорівнюють:

1) 17 см і 8 см;        2) 13b см і 5b см.

1030. Дано відрізок AB і точку O, що йому належить, але не є його серединою. Побудуйте відрізок, симетричний відрізку AB відносно точки O.

1031. Периметр паралелограма дорівнює 50 см, а його сторони відносяться як 2 : 3. Знайдіть площу паралелограма, якщо один з його кутів на 60° більший за інший.

1032. Хорда завдовжки 8лІ2 см стягує дугу кола, градусна міра якої 90°. Знайдіть довжину кола та площу круга, обмеженого цим колом.

1033. Знайдіть площу квадрата, якщо сума радіусів його вписаного й описаного кіл дорівнює 7 см.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

1034. 1) Сторона квадрата втричі більша за сторону іншого квадрата. У скільки разів площа першого квадрата більша за площу другого?

2) Площа першого квадрата у 25 разів менша за площу другого. У скільки разів сторона першого квадрата менша за сторону другого?

1035. 1) Сторона правильного трикутника вдвічі менша за сторону іншого правильного трикутника. У скільки разів площа першого трикутника менша за площу другого?

2) Площа одного правильного трикутника у 16 разів більша за площу другого правильного трикутника. У скільки разів сторона першого трикутника більша за сторону другого?

Цікаві задачі для учнів неледачих

1036. (Національна олімпіада Болгарії, 1981 р.) Бісектриси внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині C трикутника ABC перетинають пряму ABу точках L і M відповідно. Доведіть, що якщо CL = CM, то AC2 + BC2 = 4R2, де R - радіус кола, описаного навколо трикутника ABC.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.