Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 5 ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

§24. ПЛОЩІ ПОДІБНИХ ФІГУР

Т е о р е м а (про площі подібних многокутників). Площі подібних многокутників відносяться як квадрати їх відповідних лінійних розмірів.

Д о в е д е н н я. 1) Спочатку доведемо теорему для трикутників. Нехай ABC  ∆А'В'С',

A = A (мал. 205). Тоді AB = k AB', AC = kAC і

Мал. 205

Мал. 206

2) Розглянемо два n-кутники F і F', подібних з коефіцієнтом k. Розіб’ємо фігуру F діагоналями, що виходять з однієї вершини, на скінченну кількість трикутників 1, 2, 3, ..., n (мал. 206). Перетворенням подібності ці трикутники перейдуть відповідно у трикутники 1', 2', 3', ..., n' фігури F'.

Тоді:

H а с л і д о к. Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Цей наслідок є очевидним, оскільки відношення відповідних лінійних розмірів многокутника дорівнює коефіцієнту подібності.

Узагалі, можна довести, що відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Для многокутників це твердження вже доведене, для кругів виконайте доведення самостійно. Якщо фігури не є многокутниками, кругами або частинами кругів, то доведення є досить громіздким. Тому ми його не наводимо.

Задача 1. Сторони двох правильних трикутників відносяться як 4 : 5. Як відносяться їх площі?

Р о з в’ я з а н н я. Оскільки правильні трикутники подібні, то можна використати теорему про площі подібних многокутників. Отже, відношення площ трикутників дорівнює:

В і д п о в і д ь. 16 : 25.

Задача 2. Площі двох подібних многокутників відносяться як 4 : 9. Як відносяться периметри цих многокутників?

Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай a1 і a2 - відповідні лінійні розміри многокутників. Тоді:

2) Оскільки периметри подібних многокутників відносяться як відповідні сторони цих многокутників (див. задачу 1 § 23), то відношення периметрів многокутників також дорівнює 2 : 3.

В і д п о в і д ь. 2 : 3.

Задача 3. Площа земельної ділянки на карті становить 1,2 см2, масштаб карти 1 : 1000. Яка площа земельної ділянки насправді?

Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай S см2 - площа ділянки.

2) Оскільки масштаб є коефіцієнтом подібності карти по відношенню до земельної ділянки, то

Тоді S = 1,2 ∙ 10002 = 1 200 000 (см2) = 120 (м2).

В і д п о в і д ь. 120 м2.

1. Сформулюйте та доведіть теорему про площі подібних многокутників.

2. Сформулюйте наслідок із цієї теореми.

3. Як відносяться площі подібних фігур?

1. Початковий рівень

1037. Сторона першого квадрата втричі більша за сторону другого. У скільки разів площа другого квадрата менша за площу першого?

1038. Сторона першого правильного трикутника вдвічі менша за сторону другого. У скільки разів площа другого правильного трикутника більша за площу першого?

1039. Сторони двох правильних п’ятикутників відносяться як 4 : 7. Як відносяться їх площі?

1040. Сторони двох правильних шестикутників відносяться як 5 : 3. Як відносяться їх площі?

2. Середній рівень

1041. Площі двох подібних многокутників відносяться як 4 : 3. Як відносяться їх відповідні лінійні розміри?

1042. Площі двох подібних многокутників відносяться як 7 : 9. Як відносяться їх відповідні лінійні розміри?

1043. Площі двох правильних трикутників відносяться як 25 : 36. Як відносяться відповідні медіани цих трикутників?

1044. Площі двох квадратів відносяться як 9 : 4. Як відносяться діагоналі цих квадратів?

3. Достатній рівень

1045. Сторона одного квадрата дорівнює діагоналі іншого квадрата. Як відносяться площі цих квадратів?

1046. Висота одного правильного трикутника дорівнює стороні іншого правильного трикутника. Як відносяться площі цих трикутників?

1047. Відповідні сторони двох подібних многокутників відносяться як 2 : 3. Площа першого з них 48 см2. Знайдіть площу другого многокутника.

1048. Площі двох подібних многокутників відносяться як 25 : 4. Одна зі сторін першого многокутника дорівнює 15 см. Знайдіть відповідну їй сторону другого многокутника.

1049. Периметри двох подібних многокутників відносяться як 3 : 4, а сума їх площ - 50 см2. Знайдіть площу кожного з многокутників.

1050. Різниця площ двох подібних многокутників дорівнює 45 см2. Знайдіть площу кожного з многокутників, якщо їх відповідні сторони відносяться як 5 : 4.

4. Високий рівень

1051. Площа лісу дорівнює 20 га, а на карті ліс займає площу 20 см2. Знайдіть масштаб карти.

1052. Є план парку в масштабі 1 : 1000. У скільки разів площа парку більша за площу цього плану?

1053. Пряма, паралельна стороні AB трикутника ABC, ділить його на дві рівновеликі фігури. Знайдіть відрізок цієї прямої, що міститься між сторонами AC і CB трикутника, якщо AB = 4 см.

1054. Висота трикутника ABC, що виходить з вершини C, дорівнює 6 см. На якій відстані від точки C треба провести пряму, паралельну стороні AB, щоб ця пряма розділила трикутник на дві рівновеликі частини?

Вправи для повторення

1055. При переміщенні рівносторонній трикутник MNK перейшов у трикутник M'N'K'. Знайдіть кути трикутника M'N'K'.

1056. Периметри подібних трикутників відносяться як 3 : 5, а сума їх найменших сторін дорівнює 32 см. Знайдіть сторони кожного з трикутників, якщо сторони одного з них відносяться як 4 : 7 : 8.

Цікаві задачі для учнів неледачих

1057. Спільну хорду двох кіл, що перетинаються, видно з їх центра під кутами 90° і 60°. Знайдіть радіуси кіл, якщо відстань між їх центрами дорівнює  + 1. Скільки випадків слід розглянути?






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.