Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ

Розділ 1. Метод координат на площині

1131. Вершини чотирикутника ABCD мають координати A1; y1), B(x2; у2), С(х3; у3), D(x4; у4). Доведіть, що цей чотирикутник є паралелограмом тоді і тільки тоді, коли

x1 + х3 = х2 + х4 і у1 + у3 = у2 + у4.

1132. Кінці відрізка AB мають координати A(x1; y1) і В(х2; у2). Точка М(х; у) ділить відрізок AB у відношенні  = .

Доведіть, що координати точки M можна знайти за формулами:

1133. З фізики відомо, що центр мас однорідної трикутної пластини знаходиться в точці перетину медіан. Знайдіть координати центра має - точки М(х; у) трикутника ABC, якщо A(x1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3).

1134. Вершини трикутника ABC мають координати А(-4; -1), B(-1; 3), С(2; -1). Бісектриса кута А перетинає BC у точці N. Знайдіть координати точки N.

1135. Нехай точки A(x1; y1), В(х2; у2) і С(х3; у3) лежать на одній прямій, причому x2 х3 і y2y3. Доведіть, що

1136. При якому значенні а точки А(а; -4), В(2; -а), С(8; 17) лежать на одній прямій?

1137. Знайдіть координати третьої вершини рівностороннього трикутника ABC, якщо А(-1; 0), B(1; 0).

1138. Знайдіть невідомі координати двох вершин ромба ABCD з кутом 60°, якщо відомо координати двох його вершин А(-1; 0) і B(1; 0).

1139. Знайдіть точку перетину прямої 4х - 5y + 3 = 0 з перпендикуляром, проведеним до неї з точки А(-6; 4).

1140. Доведіть, що відстань від точки А(х0; у0) до прямої ах + bу + с = 0 можна знайти за формулою:

1141.  Дві сторони квадрата лежать на прямих 5х - 12y - 65 = 0 і 5х - 12у + 26 = 0. Обчисліть його площу.

1142. Точка A(x0; у0) лежить на колі х2 + у2 = r2. Складіть рівняння дотичної до кола, що проходить через точку А.

1143.  Скільки точок, обидві координати яких - цілі числа, належить колу х2 + у2 = 10?

1144.  Точка A(1; 0) лежить на колі із центром у початку координат і є вершиною правильного трикутника, уписаного в це коло. Знайдіть координати двох інших вершин трикутника.

1145.  Складіть рівняння кола радіуса 10, що дотикається до кола х2 + у2 - 10у = 0 у точці А(3; 1).

1146.  При яких значеннях k пряма у = kx - 5 і коло х2 + у2 = 9:

1) мають одну спільну точку;

2) мають дві спільні точки;

3) не мають спільних точок?

1147. З точки A(1; 6) до кола х2 + у2 + 2х - 19 = 0 проведено дотичні. Складіть рівняння цих дотичних.

1148.  Складіть рівняння дотичних до кола х2 + у2 + 10x - 2у + 6 = 0, що паралельні прямій 2х + у - 7 = 0.

1149. На колі х2 + у2 - 26x + 30y + 313 = 0 знайдіть найближчу до точки А(3; 9) точку В. Знайдіть відстань від точки А до точки В.

1150.  Якого найменшого значення може набувати вираз

Розділ 2. Вектори на площині

1151.  Дано чотирикутник ABCD і точку O. Відомо, що

Визначте вид чотирикутника ABCD.

1152.  Дано два паралелограми ABCD і AB1C1D1, які мають спільну вершину А. Доведіть, що CC1 BB1 + DD1.

1153. ABCD - квадрат,  (6; 8). Знайдіть координати векторів

1154. Через точку O перетину діагоналей AC і BD трапеції ABCD (AB || CD) проведено пряму, паралельну основам, яка перетинає бічні сторони ADі BC у точках M і N. Доведіть, що  де AB = a, CD = b.

1155. Дано трикутник ABC,  BL - бісектриса трикутника. Знайдіть координати вектора .

1156. Доведіть за допомогою векторів, що три висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці.

1157. Доведіть за допомогою векторів, що всі медіани трикутника перетинаються в одній точці й діляться цією точкою у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини.

1158. Доведіть за допомогою векторів, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника.

1159. Доведіть, що вектор перпендикулярний до вектора .

1160. Точки М1 і М2 лежать на прямій ax + by + c = 0. Доведіть, що вектор  перпендикулярний до вектора

1161. Напишіть рівняння прямої, що проходить через точку А(-2; 1) перпендикулярно до вектора  (4; 5).

1162. Напишіть рівняння прямої, що є дотичною до кола х2 - 6х + у2 + 8у = 0 у точці A(-1; -1).

1163. Виведіть формулу для знаходження косинуса кута між прямими а1х + b1y + c1 = 0 і а2х + b2y + c2 = 0.

Розділ 3. Розв’язування трикутників

1164. Для сторін трикутника a, b, с виконується рівність a2 = b2 + c2 + bc. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника, якщо найбільша сторона трикутника дорівнює 6 см.

1165. Медіани AM1 і BM2 трикутника ABC дорівнюють 9 см і 15 см відповідно, М - точка перетину медіан, AMB = 120°. Знайдіть довжину третьої медіани.

1166. Площа трикутника дорівнює S, а довжини двох його сторін - а і b. Знайдіть площі трикутників, на які він ділиться бісектрисою кута між даними сторонами.

1167. Усередині рівностороннього трикутника ABC дано точку М так, що AM = 1 см, BM = 2 см, AMB = 120°. Знайдіть CM.

1168. Кут при вершині C рівнобедреного трикутника ABC у 4 рази більший за кут при основі. На стороні AB взято точку M таку, що AM: MB = 1 : 2. Знайдіть ACM.

1169. На сторонах BC і CD квадрата ABCD взято відповідно точки M і N так, що ВМ =  ВС і DN =  DC. Доведіть, що MAN = 45°.

1170. Обчисліть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють а і b, а прилеглі до основи а гострі кути дорівнюють а і р.

1171. Доведіть, що площу чотирикутника, вписаного в коло, можна обчислити за формулою  де а, b, с, d - сторони чотирикутника, p - його півпериметр.

1172. У коло радіуса R вписано трикутник, вершини якого ділять коло на частини у відношенні 2 : 5 : 17. Знайдіть площу трикутника.

1173. (Т е о р е м а П т о л е м е я.) Чотирикутник ABCD є вписаним у коло. Доведіть, що AB CD + AD BC = AC BD.

1174. У трикутнику ABC через вершину А проведено пряму, що перетинає BC у точці D, причому  = а(а < 1). Через точку D проведено пряму, паралельну стороні AB, яка перетинає AC у точці E. Обчисліть відношення площі трикутника ABD до площі трикутника ECD.

Розділ 4. Правильні многокутники

1175. Навколо круга описано рівнобічну трапецію з основами а і b. Знайдіть площу круга.

1176. В коло вписано правильний трикутник ABK і квадрат BCMN. Знайдіть величину кута ABC.

1177. На сторонах правильного шестикутника зовні нього побудовано квадрати. Вершини квадратів, які не є вершинами шестикутника, з’єднано послідовно відрізками.

1) Доведіть, що дванадцятикутник, який при цьому утворився, є правильним.

2) Знайдіть площу дванадцятикутника, якщо сторона початкового шестикутника дорівнює а.

1178. Дано прямокутний трикутник з гіпотенузою 2 і гострим кутом 60°. Знайдіть спільну частину двох кругів, що проходять через вершину прямого кута, із центрами у вершинах гострих кутів.

1179. Накресліть круг, площа якого дорівнює площі кільця

Мал. 215

1180. У круг радіуса R вписано три круги одного й того самого радіуса так, що кожен з них дотикається до двох інших (мал. 215). Обчисліть площу зафарбованої фігури.

1181. Центр кола, вписаного у прямокутний трикутник, лежить на відстанях  см і  см від кінців гіпотенузи. Знайдіть довжину кола.

1182. На катетах прямокутного трикутника, як на діаметрах, побудовано круги. Доведіть, що сума площ частин цих кругів, що лежать поза описаним навколо цього трикутника кругом, дорівнює площі трикутника.

1183. Навколо рівнобедреного трикутника з основою 6 см описано круг, довжина кола якого 10 см. Знайдіть відношення площі круга до площі трикутника.

1184. Сторона правильного трикутника дорівнює а. Із його центра описано коло, радіус якого дорівнює . Знайдіть площу тієї частини трикутника, що лежить поза колом.

Розділ 5. Геометричні перетворення

1185. Дано пряму, коло і точку O. Побудуйте точки, симетричні одна одній відносно центра O, одна з яких належить прямій, а інша - колу.

1186. У прямокутному трикутнику ABC (C = 90°) проведено висоту CD. Радіуси кіл, вписаних у трикутники ACD і BCD, дорівнюють 3 см і 4 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник ABC.

1187. У трикутнику ABC на сторонах AB і BC позначено точки D і E так, що DE || AC. Площа трикутника ABC дорівнює 8 см2, а площа трикутника DEC дорівнює 2 см2. Знайдіть відношення відрізка DE до сторони AC.

1188. Побудуйте трикутник за трьома його медіанами.

1189. Діагоналі прямокутника лежать на прямих у = -3х + 1 і у = 3х - 5.

1) Складіть рівняння осей симетрії прямокутника.

2) Знайдіть координати вершин прямокутника, якщо одна з його сторін проходить через точку (2; -1).

1190. На кожній медіані трикутника позначено точку, що ділить медіану у відношенні 1 : 3, рахуючи від вершини трикутника. У скільки разів площа трикутника з вершинами в цих точках менша за площу початкового трикутника?

1191. Складіть рівняння образу кривої х2 - 4х + у2 = 0 при повороті навколо початку координат на кут 60°:

1) за годинниковою стрілкою;

2) проти годинникової стрілки.

1192. Побудуйте квадрат із центром у даній точці так, щоб прямі, що містять дві його сусідні сторони, проходили через дві дані точки.

1193. Крива, рівняння якої х2 + у2 = 2(2 + 2y - x), при деякому паралельному перенесенні переходить у криву, рівняння якої х2 + у2 = 2(2x + у - m).

1) Знайдіть m.

2) Напишіть рівняння образу прямої 2х - 3у + 6 = 0 при такому перенесенні.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.