Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

ДОДАТОК

ГОМОТЕТІЯ

Нехай F - дана фігура і O - фіксована точка (мал. 216). Через кожну точку X фігури F проведемо промінь OX і відкладемо на ньому відрізок OX' такий, що OX' = k OX, де k > 0. Отримаємо фігуру F’.

Мал. 216

Якщо k < 0, то для кожної точки X фігури F проведемо промінь OX', що є доповняльним до променя OX так, що OX' = |k| ∙ OX (мал. 217). Отримаємо фігуру F'.

Мал. 217

Перетворення фігури F, при якому кожна її точка X переходить у точку X' фігури F' у способи, які описано вище, називають гомотетією, точку O - центром гомотетії, число k 0 - коефіцієнтом гомотетії.

Гомотетією із центром у точці O і коефіцієнтом k називають таке геометричне перетворення, при якому довільна точка X фігури F переходить у точку X' фігури F' так, що OX' = |k| ∙ OX, причому коли k > 0, то точки X і X' лежать на промені з початком у точці O, а якщо k < 0, то точки X і X' лежать відповідно на доповняльних променях з початком у точці О.

Фігури F і F' (мал. 216, 217) називають гомотетичными.

Дві фігури називають гомотетичними, якщо вони переходять одна в одну за допомогою гомотетії.

Якщо при гомотетії кожна точка X фігури F переходить у точку X фігури F' так, що OX' = |k|OX, то кажуть, що фігура F' гомотетична фігурі F з коефіцієнтом k.

При гомотетії з коефіцієнтом k = 1 фігура переходить сама в себе.

Гомотетія із центром гомотетії O і коефіцієнтом k = -1 є симетрією відносно точки O. Дійсно, у цьому випадку кожна точка X перейде в точку X так, що точка O буде серединою відрізка XX'.

Т е о р е м а (про гомотетію). Гомотетія є перетворенням подібності.

Д о в е д е н н я. Нехай X і Y дві довільні точки фігури F, які гомотетією із центром у точці O і коефіцієнтом k переходять у точки X і Y' фігури F' (мал. 216, 217).

Розглянемо випадок, коли k > 0 (мал. 216).

OX = k OX, OY' = k OY, тому ∆OXY ~ OX'Y' (за двома сторонами і кутом між ними).

Тоді

Звідси X' Y' = k XY.

Якщо k < 0 (мал. 217), то XOY = X'OY' (як вертикальні). Міркуючи аналогічно випадку, коли k > 0, доходимо висновку, що X'Y' = |k| ∙ XY.

Узагальнюючи, маємо, що XY' = |k| ∙ XY, тому гомотетія є перетворенням подібності.

Н а с л і д о к. Гомотетія з коефіцієнтом k є перетворенням подібності з коефіцієнтом |k|.

Задача 1. Гомотетія з коефіцієнтом k = -3 переводить трикутник ABC у трикутник А'В'С'. Знайти сторони трикутника А'В'С, якщо AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 8 см.

Р о з в’ я з а н н я. Оскільки гомотетія з коефіцієнтом k = -3 є перетворенням подібності з коефіцієнтом |k| = |-3| = 3,

то

А тому А’В’ = 3 ∙ 6 = 18 (см), B’С' = 3 ∙ 7 = 21 (см), А'С' = 3 ∙ 8 = 24 (см).

В і д п о в і д ь. 18 см, 21 см, 24 см.

Задача 2. При гомотетії із центром у початку координат точка А(2; -3) переходить у точку A(6; -9). Знайти коефіцієнт гомотетії.

Р о з в’ я з а н н я. Нехай k - коефіцієнт гомотетії. Оскільки точки А і A' лежать в одній чверті, то вони лежать на одному промені з початком у початку координат, тому k > 0.

де точка O - початок координат, що є центром гомотетії.

В і д п о в і д ь. k = 3.

1. Що називають гомотетією?

2. Що називають центром гомотетії, коефіцієнтом гомотетії?

3. Які фігури називають гомотетичними?

4. Сформулюйте та доведіть теорему про гомотетію.

5. Сформулюйте наслідок із цієї теореми.

1. Початковий рівень

1194. Дано точки O і A. Побудуйте точку A', гомотетичну точ ці А, із центром гомотетії O, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює: 1) 2; 2) 4.

1195. Дано точки O і В. Побудуйте точку В', гомотетичну точці В, із центром гомотетії O, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює: 1) 3;       2) 5.

1196.   Побудуйте в зошиті відрізок AB = 2 см і позначте точку O, що не лежить на цьому відрізку. Побудуйте відрізок, гомотетичний відрізку AB, із центром гомотетії в точці O і коефіцієнтом k = 3.

1197.   Побудуйте в зошиті відрізок MN = 3 см і позначте точку O, що не лежить на цьому відрізку. Побудуйте відрізок, гомотетичний відрізку MN, із центром гомотетії в точці O і коефіцієнтом k = 2.

2. Середній рівень

1198. Середня лінія трикутника відтинає від нього гомотетичний трикутник. Чому дорівнює коефіцієнт гомотетії? Де знаходиться центр гомотетії?

1199. Дано точки O і B. Побудуйте точку В', гомотетичну точці В, із центром гомотетії O, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює:

1200. Дано точки O і A. Побудуйте точку A', гомотетичну точці А, із центром гомотетії O, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює:

1201. (Усно.) Чи може гомотетія бути переміщенням? У якому випадку?

1202. Побудуйте трикутник, гомотетичний даному, із центром гомотетії в точці перетину медіан трикутника і коефіцієнтом гомотетії k = 2.

1203. Побудуйте прямокутник, гомотетичний даному, із центром гомотетії в точці перетину його діагоналей і коефіцієнтом гомотетії k = 2.

3. Достатній рівень

1204. Дано точки А і A'. Побудуйте центр гомотетії, при якій А переходить в A', якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює:

1205. Дано точки B і B'. Побудуйте центр гомотетії, при якій В переходить у В', якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює:

1206. (Усно.) Чи можуть дві фігури бути:

1) гомотетичними, але не подібними;

2) подібними, але не гомотетичними;

3) гомотетичними і рівними?

1207. Гомотетія із центром у початку координат переводить точку В у точку В'. Знайдіть коефіцієнт гомотетії, якщо:

1) B(2; -5), В'(6; -15);

2) B(-2; 8), В'(-1; 4);

3) В(4; 5), В'(-8; -10);

4) В(-16; -4), B'(4; 1).

1208. Гомотетія із центром у початку координат переводить точку А в точку A'. Знайдіть коефіцієнт гомотетії, якщо:

1) A(-3; 4), A'(-6; 8);

2) A(20; 10), A'(4; 2);

3) A(-5; -1), A'(15; 3);

4) A(2; -6), A'(-1; 3).

4. Високий рівень

1209. Дано два паралельних, але не рівних між собою відрізки AB і CD. Чи може один з них перейти у другий при гомотетії? Якщо так, то поясніть, як знайти центр цієї гомотетії. Скільки таких центрів може бути?

1210. Дано дві паралельні прямі. Чи може одна з них перейти у другу при гомотетії? Якщо так, то поясніть, як знайти центр цієї гомотетії. Скільки таких центрів може бути?









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.