Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 1 МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ

§4. РІВНЯННЯ КОЛА

Під час вивчення алгебри ми будували графіки деяких функцій у прямокутній системі координат. Наприклад, графіком функції у = 2х - 7 є пряма, графіком функції у = х2 - парабола, а графіком функції y = - - гіпербола. Також відомо, що графіком лінійного рівняння з двома змінними, тобто рівняння вигляду ах + by = с, є пряма.

Рівняння фігури

Розглянемо поняття рівняння для геометричної фігури.

Рівнянням фігури на координатній площині називають рівняння з двома змінними х і у, якщо виконуються такі дві умови:

1) координати будь-якої точки фігури задовольняють це рівняння;

2)   будь-яка пара чисел (х; у), що задовольняє це рівняння, є координатами деякої точки фігури.

Рівняння кола

Знайдемо формулу, що задає коло радіуса r із центром у точці Q(a; b) (мал. 13).

1) Нехай М(х; у) - довільна точка кола. Відстань QM записуємо за формулою відстані між двома точками:

Оскільки точка M лежить на колі, то QM = r, а QM2 = r2.

Тому (х - а)2 + (у - b)2= r2.

Отже, координати x і у кожної точки М(х; у) даного кола задовольняють отримане рівняння.

Мал. 13

2) Розглянемо деяку точку N(x; у), координати якої задовольняють рівняння (х - а)2 + (y - b)r2. Із цієїрівності випливає, що відстань між точками Q і N дорівнює r. Тому точка N належить колу.

Отже,

рівняння кола із центром у точці Q(a; b) і радіусом r має вигляд:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2.

Зокрема, рівняння кола радіуса r із центром у початку координат має вигляд:

х2 + у2 = r2.

Задача 1. Знайти координати центра і радіус кола, заданого рівнянням (х + 2)2 + (у - 3)2 = 25.

Р о з в’ я з а н н я. Маємо (х - (-2))2 + (у - 3)2 = 52. Отже, центром кола є точка Q(-2; 3), а радіус кола r = 5.

В і д п о в і д ь. Q(-2; 3), r = 5.

Задача 2. Довести, що рівняння х2 + у2 - 8х + 6у - 10 = 0 є рівнянням кола. Знайти координати центра кола і його радіус.

Р о з в’ я з а н н я. Виділимо квадрати двочленів у лівій частині даного рівняння:

Отже, задане рівняння є рівнянням кола із центром у точці Q(4; -3) і радіусом r = .

В і д п о в і д ь.

Задача 3. Скласти рівняння кола з діаметром AB, якщо А(-5; 7), B(3; 11).

Р о з в’ я з а н н я. Hеxай точка Q - центр кола. Тоді Q - середина AB. Маємо:

Радіус кола - це відрізок QA:

Знайдемо рівняння шуканого кола:

В і д п о в і д ь. (х + 1)2 + (у - 9)2 = 20.

1. Що називають рівнянням фігури на координатній площині?

2. Доведіть, що рівняння кола із центром у точці (a; b) і радіусом r має вигляд (x - a)2+ (у - b)2= r2.

1. Початковий рівень

115. (Усно.) Які з рівнянь є рівняннями кола:

116. Знайдіть координати центра та радіус кола, заданого рівнянням:

117. Знайдіть координати центра та радіус кола, заданого рівнянням:

118. Складіть рівняння кола із центром у точці Q і радіусом r, якщо:

119. Складіть рівняння кола із центром у точці Q і радіусом r, якщо:

2. Середній рівень

120. Складіть рівняння кола із центром у точці Q, діаметр якого дорівнює d, якщо:

121. Складіть рівняння кола із центром у точці Q, діаметр якого дорівнює d, якщо:

122. Побудуйте на координатній площині коло, задане рівнянням:

123. Побудуйте на координатній площині коло, задане рівнянням:

1) (х + 3)2 + у2 = 36;       2) (х - 2)2 + (у + 3)2 = 25.

124. Коло задано рівнянням х2 + у2 = 25. Чи належить цьому колу точка:

125. Коло задано рівнянням х2 + у2 = 100. Чи належить цьому колу точка:

126. Складіть рівняння кола із центром у точці Q(-3; 4), яке проходить через точку М(5; -2).

127. Складіть рівняння кола із центром у точці Q(1; 2), яке проходить через точку Р(5; 5).

128. Складіть рівняння кола, для якого AB є діаметром, якщо А(3; -5), 5(-3; 3).

129. Складіть рівняння кола, для якого AB є діаметром, якщо A(-1; 8), 5(11; -8).

130. На колі х2 + у2 = 169 знайдіть точки:

1) з абсцисою 12;                 2) з ординатою -5;

3) які лежать на осі абсцис; 4) які лежать на осі ординат.

131.    На колі х2 + у2 = 289 знайдіть точки:

1) з абсцисою -8;

2) з ординатою 15;

3) які лежать на осі абсцис;

4) які лежать на осі ординат.

3.  Достатній рівень

132. Знайдіть центр і радіус кола, заданого рівнянням:

1) х2 + у2 - 2х + 6у - 6 = 0;

2) х2 + 10х + у2 - 12у = 0.

133. Знайдіть центр і радіус кола, заданого рівнянням:

1) х2 + у2 + 4х - 10у -7 = 0;

2) х2 - 12х + у2 - 5 = 0.

134. Знайдіть відстань між центрами кіл, які задано рівняннями х2 + у2 - 4у = 0 і х2 + у2 + 2х - 8у - 7 = 0.

135. Знайдіть відстань між центрами кіл, які задано рівняннями х2 + 8х + у2 - 16у = 0 і х2 + у2 + 4х +1 = 0.

136. Складіть рівняння кола радіуса 10, що проходить через точку А(5; -8) і центр якого лежить на осі абсцис.

137. Складіть рівняння кола радіуса 5, що проходить через точку В(-4; 2) і центр якого лежить на осі ординат.

138. Коло із центром у точці Q(2; -1) проходить через точку А(4; 0). Чи проходить це коло через точку:

1) В(0; 2);        2) С(1; 1)?

139. Коло із центром у точці Q(-3; 1) проходить через точку М(-2; 5). Чи проходить це коло через точку:

1) N(1; 2);        2) K(4; 4)?

140. Коло задано рівнянням (х - 1)2 + (у + 5)2 = 16. Не виконуючи малюнка, визначте, які з точок А(4; -2), B(-3; -5), С(-2; -7), D(5; 1) лежать:

1) усередині круга, обмеженого цим колом;

2) на колі;

3) поза кругом, обмеженим цим колом.

4.  Високий рівень

141. Складіть рівняння кола із центром, який лежить на бісектрисі другого координатного кута і радіусом 13 та яке проходить через точку A(1; -8).

142. Складіть рівняння кола, що проходить через точку B(-2; 0), центр якого лежить на бісектрисі першого координатного кута, а радіус дорівнює 10.

143. З’ясуйте взаємне розташування двох кіл (дотик, перетин або немає спільних точок):

1) (х - 1)2 + (у - 2)2 = 4 і (х - 6)2 + (у - 2)2 = 9;

2) х2 + (у - 1)2 = 1 і (х - 3)2 + (у - 7)2 = 25.

144. З’ясуйте взаємне розташування двох кіл (дотик, перетин або немає спільних точок):

1) (х + 1)2 + (у - З)2 = 9 і х2 + у2 = 16;

2) (х + 1)2 + (у - 7)2 = 49 і (х + 4)2 + (у - З)2 = 4.

145. Складіть рівняння кола, вписаного у трикутник ABC, якщо A(0; 3), B(4; 0), C(0; 0).

Вправи для повторення

146. Середня лінія трапеції дорівнює 16 см. Знайдіть основи трапеції, якщо:

1) вони відносяться як 1 : 3;

2) одна з них на 4 см більша за другу.

147. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону у відношенні 1 : 2, рахуючи від найближчої до цього кута вершини. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 56 см.

148. Знайдіть площу прямокутного трикутника, у якому висота, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 4 см і 9 см.

149. Визначте координати кінців A і B відрізка AB, якщо точки М(3; 3) і N(2; 6) ділять його на три рівні частини.

Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

150. 1) Що є графіком функції вигляду у = kx + l?

2) Побудуйте графіки функцій у = 2х - 3; y =  x + 2; у = -х + 5; у = -0,5х - 1.

151. 1) Що є графіком рівняння вигляду ах + bу = с, де а і Ь одночасно не дорівнюють нулю?

2) Побудуйте графіки рівнянь х - у = 6; 2х + 3у = 5; х = -2; у = 5.

152. Чи належить точка М(-1; 2):

1) графіку функції у = х + 1; у = 1 - х; у = -2х; у = -1;

2) графіку рівняння х + у = 1; 2х + у = 4; 3х - 2у = 7; 4у - х = 9?

Цікаві задачі для учнів неледачих

153. (Задача Стенфордського університету). Точка лежить у внутрішній області рівностороннього трикутника. Відстані від цієї точки до сторін трикутника дорівнюють a, b і с, а висота трикутника - h. Доведіть, що a + b + c = h.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.