Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік
Розділ 1 МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ
§4. РІВНЯННЯ КОЛА
Під час вивчення алгебри ми будували графіки деяких функцій у прямокутній системі координат. Наприклад, графіком функції у = 2х - 7 є пряма, графіком функції у = х2 - парабола, а графіком функції y = -
- гіпербола. Також відомо, що графіком лінійного рівняння з двома змінними, тобто рівняння вигляду ах + by = с, є пряма.
Рівняння фігури
Розглянемо поняття рівняння для геометричної фігури.
Рівнянням фігури на координатній площині називають рівняння з двома змінними х і у, якщо виконуються такі дві умови:
1) координати будь-якої точки фігури задовольняють це рівняння;
2) будь-яка пара чисел (х; у), що задовольняє це рівняння, є координатами деякої точки фігури.
Рівняння кола
Знайдемо формулу, що задає коло радіуса r із центром у точці Q(a; b) (мал. 13).
1) Нехай М(х; у) - довільна точка кола. Відстань QM записуємо за формулою відстані між двома точками:
Оскільки точка M лежить на колі, то QM = r, а QM2 = r2.
Тому (х - а)2 + (у - b)2= r2.
Отже, координати x і у кожної точки М(х; у) даного кола задовольняють отримане рівняння.
Мал. 13
2) Розглянемо деяку точку N(x; у), координати якої задовольняють рівняння (х - а)2 + (y - b)2 r2. Із цієїрівності випливає, що відстань між точками Q і N дорівнює r. Тому точка N належить колу.
Отже,
рівняння кола із центром у точці Q(a; b) і радіусом r має вигляд:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2.
Зокрема, рівняння кола радіуса r із центром у початку координат має вигляд:
х2 + у2 = r2.
Задача 1. Знайти координати центра і радіус кола, заданого рівнянням (х + 2)2 + (у - 3)2 = 25.
Р о з в’ я з а н н я. Маємо (х - (-2))2 + (у - 3)2 = 52. Отже, центром кола є точка Q(-2; 3), а радіус кола r = 5.
В і д п о в і д ь. Q(-2; 3), r = 5.
Задача 2. Довести, що рівняння х2 + у2 - 8х + 6у - 10 = 0 є рівнянням кола. Знайти координати центра кола і його радіус.
Р о з в’ я з а н н я. Виділимо квадрати двочленів у лівій частині даного рівняння:
Отже, задане рівняння є рівнянням кола із центром у точці Q(4; -3) і радіусом r = 
.
В і д п о в і д ь. 
Задача 3. Скласти рівняння кола з діаметром AB, якщо А(-5; 7), B(3; 11).
Р о з в’ я з а н н я. Hеxай точка Q - центр кола. Тоді Q - середина AB. Маємо:
Радіус кола - це відрізок QA:
Знайдемо рівняння шуканого кола:
В і д п о в і д ь. (х + 1)2 + (у - 9)2 = 20.
1. Що називають рівнянням фігури на координатній площині?
2. Доведіть, що рівняння кола із центром у точці (a; b) і радіусом r має вигляд (x - a)2+ (у - b)2= r2.
1. Початковий рівень
115. (Усно.) Які з рівнянь є рівняннями кола:
116. Знайдіть координати центра та радіус кола, заданого рівнянням:
117. Знайдіть координати центра та радіус кола, заданого рівнянням:
118. Складіть рівняння кола із центром у точці Q і радіусом r, якщо:
119. Складіть рівняння кола із центром у точці Q і радіусом r, якщо:
2. Середній рівень
120. Складіть рівняння кола із центром у точці Q, діаметр якого дорівнює d, якщо:
121. Складіть рівняння кола із центром у точці Q, діаметр якого дорівнює d, якщо:
122. Побудуйте на координатній площині коло, задане рівнянням:
123. Побудуйте на координатній площині коло, задане рівнянням:
1) (х + 3)2 + у2 = 36; 2) (х - 2)2 + (у + 3)2 = 25.
124. Коло задано рівнянням х2 + у2 = 25. Чи належить цьому колу точка:
125. Коло задано рівнянням х2 + у2 = 100. Чи належить цьому колу точка:
126. Складіть рівняння кола із центром у точці Q(-3; 4), яке проходить через точку М(5; -2).
127. Складіть рівняння кола із центром у точці Q(1; 2), яке проходить через точку Р(5; 5).
128. Складіть рівняння кола, для якого AB є діаметром, якщо А(3; -5), 5(-3; 3).
129. Складіть рівняння кола, для якого AB є діаметром, якщо A(-1; 8), 5(11; -8).
130. На колі х2 + у2 = 169 знайдіть точки:
1) з абсцисою 12; 2) з ординатою -5;
3) які лежать на осі абсцис; 4) які лежать на осі ординат.
131. На колі х2 + у2 = 289 знайдіть точки:
1) з абсцисою -8;
2) з ординатою 15;
3) які лежать на осі абсцис;
4) які лежать на осі ординат.
3. Достатній рівень
132. Знайдіть центр і радіус кола, заданого рівнянням:
1) х2 + у2 - 2х + 6у - 6 = 0;
2) х2 + 10х + у2 - 12у = 0.
133. Знайдіть центр і радіус кола, заданого рівнянням:
1) х2 + у2 + 4х - 10у -7 = 0;
2) х2 - 12х + у2 - 5 = 0.
134. Знайдіть відстань між центрами кіл, які задано рівняннями х2 + у2 - 4у = 0 і х2 + у2 + 2х - 8у - 7 = 0.
135. Знайдіть відстань між центрами кіл, які задано рівняннями х2 + 8х + у2 - 16у = 0 і х2 + у2 + 4х +1 = 0.
136. Складіть рівняння кола радіуса 10, що проходить через точку А(5; -8) і центр якого лежить на осі абсцис.
137. Складіть рівняння кола радіуса 5, що проходить через точку В(-4; 2) і центр якого лежить на осі ординат.
138. Коло із центром у точці Q(2; -1) проходить через точку А(4; 0). Чи проходить це коло через точку:
1) В(0; 2); 2) С(1; 1)?
139. Коло із центром у точці Q(-3; 1) проходить через точку М(-2; 5). Чи проходить це коло через точку:
1) N(1; 2); 2) K(4; 4)?
140. Коло задано рівнянням (х - 1)2 + (у + 5)2 = 16. Не виконуючи малюнка, визначте, які з точок А(4; -2), B(-3; -5), С(-2; -7), D(5; 1) лежать:
1) усередині круга, обмеженого цим колом;
2) на колі;
3) поза кругом, обмеженим цим колом.
4. Високий рівень
141. Складіть рівняння кола із центром, який лежить на бісектрисі другого координатного кута і радіусом 13 та яке проходить через точку A(1; -8).
142. Складіть рівняння кола, що проходить через точку B(-2; 0), центр якого лежить на бісектрисі першого координатного кута, а радіус дорівнює 10.
143. З’ясуйте взаємне розташування двох кіл (дотик, перетин або немає спільних точок):
1) (х - 1)2 + (у - 2)2 = 4 і (х - 6)2 + (у - 2)2 = 9;
2) х2 + (у - 1)2 = 1 і (х - 3)2 + (у - 7)2 = 25.
144. З’ясуйте взаємне розташування двох кіл (дотик, перетин або немає спільних точок):
1) (х + 1)2 + (у - З)2 = 9 і х2 + у2 = 16;
2) (х + 1)2 + (у - 7)2 = 49 і (х + 4)2 + (у - З)2 = 4.
145. Складіть рівняння кола, вписаного у трикутник ABC, якщо A(0; 3), B(4; 0), C(0; 0).
Вправи для повторення
146. Середня лінія трапеції дорівнює 16 см. Знайдіть основи трапеції, якщо:
1) вони відносяться як 1 : 3;
2) одна з них на 4 см більша за другу.
147. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону у відношенні 1 : 2, рахуючи від найближчої до цього кута вершини. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 56 см.
148. Знайдіть площу прямокутного трикутника, у якому висота, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 4 см і 9 см.
149. Визначте координати кінців A і B відрізка AB, якщо точки М(3; 3) і N(2; 6) ділять його на три рівні частини.
Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
150. 1) Що є графіком функції вигляду у = kx + l?
2) Побудуйте графіки функцій у = 2х - 3; y = 
x + 2; у = -х + 5; у = -0,5х - 1.
151. 1) Що є графіком рівняння вигляду ах + bу = с, де а і Ь одночасно не дорівнюють нулю?
2) Побудуйте графіки рівнянь х - у = 6; 2х + 3у = 5; х = -2; у = 5.
152. Чи належить точка М(-1; 2):
1) графіку функції у = х + 1; у = 1 - х; у = -2х; у = -1;
2) графіку рівняння х + у = 1; 2х + у = 4; 3х - 2у = 7; 4у - х = 9?
Цікаві задачі для учнів неледачих
153. (Задача Стенфордського університету). Точка лежить у внутрішній області рівностороннього трикутника. Відстані від цієї точки до сторін трикутника дорівнюють a, b і с, а висота трикутника - h. Доведіть, що a + b + c = h.