Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік
Розділ 1 МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ
Вправи для повторення розділу 1
До § 1
197. Дано точки A(0; -2), B(-3; 4), С(4; 5), D(-2; 9), E(5; 0), F(0; 5), G(2; -3), H(-2; -2), K(-5; 0), L(4; -1), M(1; 3), N(-5; 1). Випишіть з них ті, які належать:
1) осі абсцис; 2) осі ординат; 3) І чверті;
4) II чверті; 5) III чверті; 6) IV чверті.
198. На прямій, перпендикулярній до осі у, узято дві точки. Одна з них має ординату у = 5. Чому дорівнює ордината другої точки?
199. Через точку Р(-3; -2) проведено прямі, паралельні осям координат. Знайдіть координати точок перетину цих прямих з осями координат.
200. Які особливості взаємного розташування двох точок, якщо у них:
1) абсциси однакові, а ординати - різні;
2) ординати однакові, а абсциси - різні?
201. На малюнку 25 радіус кола дорівнює R. Знайдіть координати точок А, B, C і D.
202. Чи правильне твердження:
1) якщо точки M і N рівновіддалені від осі абсцис, то вони мають рівні між собою ординати;
2) якщо точки M і N мають рівні між собою ординати, то вони однаково віддалені від осі абсцис.
Мал. 25
203. Дано точку А(-3; у).
1) Чи може точка А належати осі ординат?
2) За якої умови вона може належати осі абсцис?
3) У яких координатних кутах може лежати точка А залежно від знака у?
204. Дано точки А(-2; 5) і B(4; 7). Чи перетинає відрізок AB:
1) вісь абсцис; 2) вісь ординат?
Відповідь обґрунтуйте.
205. Знайдіть геометричне місце точок координатної площини, для яких:
До § 2
206. Обчисліть:
1) sin 120° ∙ tg 120°; 2) cos 180° + sin 90°;
3) cos 120° + sin 30°; 4) cos 135° ∙ sin 135°.
207. Чи правильно, що:
1) tg 45° = -tg 135°; 2) sin 30° = -sin 150°;
3) cos 150° = -cos 30°; 4) sin 60° = sin 120°?
208. Порівняйте:
1) sin 15° і sin 43°; 2) cos 18° і cos 37°;
3) sin 91° і sin 120°; 4) cos 100° і cos 170°.
209. Обчисліть:
1) sin217° + cos217°; 2) 9 - cos227° - sin227°.
210. Знайдіть знак виразу:
1) sin 18°; 2) sin 125°; 3) cos 137°;
4) cos 81°; 5) tg 78°; 6) tg 92°.
211. Знайдіть cos a, якщо:
212. Спростіть вираз:
1) tg2a(1 - sin a)(1 + sin a); 2) 1 - cos2(90° - a).
213. Визначте знак різниці:
1) cos 127° - cos 118°; 2) sin 152° - sin 148°.
214. Відомо, що 0° ≤ a ≤ 180° і 0° ≤ 
≤ 180°. Чи можна стверджувати, що a = , якщо:
1) cos a = cos P; 2) sin a = sin P; 3) tg a = tg P?
215. ABCD - паралелограм. Доведіть, що sin A = sin B.
216. Знайдіть суму квадратів синусів кутів прямокутного трикутника.
217. Доведіть тригонометричну тотожність:
218. Побудуйте рівнобедрений трикутник, у якого синус кута при вершині дорівнює 0,4.
До § 3
219. Знайдіть координати середини відрізка KL, якщо:
1) K(0; 4), L(6; -2); 2) K(-3; 5), L(3; -5).
220. Знайдіть довжину відрізка AB, якщо:
1) А(-1; 12), B(6; -12); 2) А(2; -7), В(-2; -11).
221. Точки С2(2; -3) і B1 (3; -1) - відповідно середини сторін AC і AB трикутника ABC. Вершина А має координати (3; -5). Знайдіть координати вершин B і C.
222. Визначте вид трикутника ABC за сторонами (рівнобедрений, рівносторонній чи різносторонній), якщо:
223. ABCD - паралелограм, 0(4; 7) - точка перетину його діагоналей. Знайдіть координати вершин C і D, якщо відомо координати вершин А(-2; 5) і £(3; -4).
224. Знайдіть довжини середніх ліній трикутника ABC, якщо: А(2; -3), B(6; -1), С(5; -7).
225. Знайдіть довжини медіан трикутника ABC, якщо: A(0; 2), B(6; 0), С(-4; -6).
226. На осях координат знайдіть точки, які знаходяться на відстані 5 від точки А(-3; 4).
227. Знайдіть точку, рівновіддалену від точок А(-5; 2) і B(1; 4), якщо її абсциса й ордината між собою рівні.
228. Дано точки А(-2; 5) і B(6; 13). Знайдіть координати точки F, яка ділить відрізок AB у відношенні 7 : 1, починаючи від точки А.
229. Точки М(-2; 5), N(4; -3), Р(0; 1) - середини сторін трикутника. Знайдіть координати його вершин.
230. Чи лежать точки А, B і C на одній прямій, якщо:
1) А(3; 4), B(-1; 0), C(-6; -5);
2) A(0; 3), B(4; 8), C(1; 2)?
Якщо відповідь позитивна, то визначте, яка з точок лежить між двома іншими.
231. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках A(1; 0), B(4; -4), С(8; -1) і D(5; 3) є квадратом.
232. Знайдіть точку перетину серединного перпендикуляра до відрізка AB з віссю ординат, якщо А(-4; 2), B(0; -2).
233. Доведіть, що всі кути трикутника з вершинами в точках A(0; 4), B(2; 3) і C(1; 5) - гострі.
234. Обчисліть кути трикутника з вершинами в точках А(4; -1), B(-1; 0), С(2; 2).
До § 4
235. Які з рівнянь є рівняннями кола? Знайдіть для цих кіл координати центра та радіус:
1) х3 + у = 4; 2) (х - 2)2 + (у + 7)2 = 9;
3) х2 + у2 = 1; 4) х2 - у2 = 1;
5) х2 + (у - 9)2 = 25; 6) (х + 7)2 + у2 = 16.
236. Складіть рівняння кола із центром у точці Q, діаметр якого дорівнює d:
237. Коло задано рівнянням (х - 1)2 + у2 = 16. Чи належить цьому колу точка:
1) А(5; 0); 2) B(-2; 3); 3) С(1; 4);
4) D(0; -3); 5) М(-3; 0); 6) N(1; -4)?
238. Точка Q - центр кола, а QA - його радіус. Складіть рівняння кола, якщо Q(0; 4), А(5; 16).
239. Складіть рівняння кола із центром у точці (-3; -4), яке проходить через початок координат.
240. Складіть рівняння кола із центром у початку координат, яке проходить через точку (-3; -4).
241. Які з точок належать колу із центром Q(2; -1), радіус якого дорівнює 5:
1) А(3; -8); 2) B(5; -5); 3) С(0; 4); 4) D(6; -4)?
242. У яких точках коло (х - 4)2 + (у + 3)2 = 25 перетинає:
1) вісь абсцис;
2) вісь ординат?
243. Складіть рівняння кола із центром А(-4; 5), яке дотикається:
1) до осі абсцис;
2) до осі ординат.
244. Коло дотикається до координатних осей. Складіть рівняння цього кола, якщо до осі абсцис воно дотикається в точці А(2; 0).
245. Знайдіть координати центра кола, радіус якого дорівнює 3 і яке дотикається до осей координат. Скільки розв’язків має задача?
246. Складіть рівняння кола, яке дотикається до координатних осей і проходить через точку А(2; 1).
247. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки A(0; -3) і B(9; 0), якщо центр кола лежить на осі абсцис.
248. На осі абсцис знайдіть точки, з яких відрізок AB видно під прямим кутом, якщо A(6; 0), B(14; 6).
249. Знайдіть геометричне місце точок, сума квадратів відстаней від яких до трьох точок A(0; 0), B(1; 1) і С(2; 2) дорівнює 7.
250. З’ясуйте взаємне розташування двох кіл (дотик, перетин або немає спільних точок):
1) х2 + у2 + 8х - 6у = 0 і х2 + у2 - 6х + 4у - 3 = 0;
2) х2 + у2 + 2х - 4у + 1 = 0 і x2 + y2 - 6x + 2у + 1 = 0.
До § 5
251. Чи належить прямій 2х + у = 0 точка:
1) А(2; 1); 2) 5(-1; 2);
3) С(0; 0); 4) D(1; -3)?
252. Назвіть кутовий коефіцієнт прямої:
1) у = 2х -7; 2) у = -х + 3;
3) y = 
x - 17; 4) у = -0,01х.
253. Запишіть рівняння прямої а (мал. 26 і 27).
Мал. 26
Мал. 27
254. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, якщо вона утворює з додатним напрямом осі абсцис кут: 1) 45°; 2) 120°.
255. Наведіть приклад рівняння прямої, яка:
1) паралельна прямій у = 2х - 7;
2) перетинає пряму у = -3х + 5;
3) паралельна прямій 2х - у - 9 = 0;
4) перетинає пряму 3х + 2у - 15 = 0.
256. Запишіть рівняння прямих, кожна з яких паралельна осі ординат і відтинає на осі абсцис відрізок, довжина якого дорівнює 2.
257. Складіть рівняння прямих, що містять сторони трикутника, вершинами якого є точки А(2; -3), 5(2; -5), С(3; 7).
258. Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і точку:
1) A(0; 7); 2) 5(-2; 0);
3) С(-3; 4); 4) D(-1; -8).
259. Чому дорівнюють коефіцієнти а і b у рівнянні прямої ах + by - 1 = 0, яка проходить через точки (3; 2) і (2; 3)?
260. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку С(2; -1) і:
1) має кутовий коефіцієнт - 
;
2) утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 30°.
261. Чи проходить пряма х - 2у = 0 через точку перетину прямих 2х + у - 5 = 0 і x - у - 1 = 0?
262. Складіть рівняння прямої а (мал. 28-30).
Мал. 28
Мал. 29
Мал. 30
263. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку М(-2; 3) і паралельна прямій у = 3х + 7.
264. Знайдіть периметр трикутника, обмеженого віссю абсцис і прямими 4х - 3у = 0 і 8х - 15у + 72 = 0.
265. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку А(-1; 2) паралельно прямій MN, де M(1; 4), N(3; 6).
266. Складіть рівняння прямих, що містять сторони ромба, якщо його діагоналі завдовжки 8 і 4 лежать на осях координат, причому більша діагональ лежить на осі абсцис.
267. Складіть рівняння дотичних до кола радіуса 5 із центром у точці Q(-2; 1), які паралельні осі абсцис.
268. Три вершини прямокутника знаходяться в точках (0; 4), (8; 4) і (8; -2). У яких точках коло (х - 3)2 + (у - 1)2 = 25 перетинає сторони прямокутника?
269. Використовуючи результат задачі № 189 (с. 45), складіть рівняння прямої, що проходить через точку В(1; -1) перпендикулярно до прямої:
1) 2х - у + 7 = 0; 2) MN, де M(0; 2), N(-2; 4).
270. Складіть рівняння прямої, що містить висоту AH трикутника з вершинами в точках A(0; 3), В(1; -3), С(4; -9).