Є величини, які цілком характеризуються своїм числовим значенням. Прикладами таких величин є довжина, площа, маса, час, температура тощо. Такі величини називають скалярними величинами, або, коротше, скалярами.

Проте є величини, які, окрім числового значення, задаються ще й напрямом. Такими є, наприклад, фізичні величини: сила, переміщення матеріальної точки, швидкість, прискорення. Щоб охарактеризувати рух автомобіля, часто недостатньо знати, з якою швидкістю він рухається; треба знати ще й у якому напрямі.

Величини, що характеризуються не тільки числовим значенням, а й напрямом, називають векторними величинами, або векторами.

Зображають вектори в математиці напрямленим відрізком.

Відрізок, для якого визначено напрям, називають напрямленим відрізком, або вектором.

Вектор зручно зображувати відрізком зі стрілкою, яка показує напрям вектора (мал. 31). Вектор позначають двома великими латинськими літерами, першу з яких вважають початком вектора, а другу - його кінцем, та стрілкою над ними. Вектор, зображений на малюнку 31, записують так: . Літера A - початок вектора , літера B - його кінець.

Інколи вектори позначають однією малою латинською літерою, наприклад вектори i (мал. 32).

Мал. 31

Мал. 32

Мал. 33

Вектор, у якого початок і кінець збігаються, називають нульовим вектором, або нуль-вектором. Такий вектор зображують точкою. Якщо, наприклад, точку, що зображує нульовий вектор, позначити літерою F, то цей нульовий вектор можна називати (мал. 32). Нульовий вектор позначають ще сим волом . Нульовий вектор напряму не має.

Модулем (довжиною або абсолютною величиною) вектора називають довжину відрізка АВ.

Модуль вектора позначають: вектора

Довжина нульового вектора дорівнює нулю: || = 0.

Задача 1. Знайти модулі векторів, зображених на малюнку 33, якщо сторона клітинки дорівнює одиниці вимірювання відрізків.

Р о з в’ я з а н н я.

Колінеарними називають два ненульових вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Наприклад, на малюнку 34 колінеарними є пари векторів тощо.

Для колінеарних векторів i використовують запис:

Нульовий вектор вважають колінеарним будь-якому вектору.

Колінеарні вектори бувають співнапрямленими, тобто мають однаковий напрям (вектори i на мал. 34), або протилежно напрямленими (векторі i на мал. 34). Записують так:

Мал. 34

Розглянемо поняття рівності векторів.

Нехай тіло рухається з певною швидкістю в певному напрямі (мал. 35). Тоді всі точки цього тіла рухаються із цією швидкістю в цьому напрямі. Тому всі напрямлені відрізки (вектори) , якими зображено швидкості цих точок, є співнапрямленими і мають однакові модулі. Такі вектори називають рівними.

Мал. 35

Два вектори називають рівними, якщо вони співнапрямлені і їх модулі між собою рівні.

Рівність векторів i записують так: = .

Задача 2. ABCD - ромб (мал. 36). Чи рівні вектори:

Р о з в’ я з а н н я.

1) Так, оскільки

2) Оскільки i не є співнапрямленими, то вони не є рівними.

3) i також не є рівними, оскільки не є співнапрямленими.

4) тому вектори i теж не є рівними.

В і д п о в і д ь. 1) Так; 2) ні; 3) ні; 4) ні.

Мал. 36

Задача 3. Точки A, B, C і D не лежать на одній прямій. Тоді, якщо = , то ABDC - паралелограм. І навпаки, якщо ABDC - паралелограм, то = . Доведіть.

Д о в е д е н н я.

1) Нехай не лежать на одній прямій (мал. 37). Тоді і

За ознакою паралелограма, ураховуючи, що точки B і D лежать по один бік від прямої AC, отримаємо, що ABDC - паралелограм.

2) Нехай ABDC - паралелограм, тоді AB || CD і AB = CD (мал. 37). Тому

Мал. 37

Розглянемо як від заданої точки відкласти вектор, що дорівнює даному. Якщо дано вектор і точку C, то відкласти вектор від точки C означає побудувати вектор такий, що = .

Задача 4. Від точки C відкласти вектор, що дорівнює вектору .

Р о з в’ я з а н н я. 1-й випадок. Точка C лежить на прямій AB (мал. 38). Відкладемо від точки C в тому ж напрямі, що й у вектора , відрізок CD(точка D належить прямій AB), який дорівнює відрізку AB. Тоді i .

2-й випадок. Точка C не лежить на прямій AB (мал. 37).

Будуємо паралелограм ABDC. Тоді = (див. доведення попередньої задачі).

Зауважимо, в обох випадках побудована точка D є єдиною.

Мал. 38

Цікавість до векторів з'явилась у математиків XIX ст. у зв'язку з розвитком механіки й фізики, проте витоки числення з напрямленими відрізками виникли в далекому минулому.

Математики часів Піфагора та математики більш пізніх часів намагалися зводити вирішення питань арифметики й алгебри до розв'язування задач геометричним шляхом. Таким чином було покладено початок геометричній теорії відношень Евдокса (408-355 рр. до н. е.), а пізніше - геометричної алгебри.

Сам термін вектор (від латинського vector, що можна перекласти як «той, що веде», «той, що переносить») запропонував Гамільтон. Він же описав і деякі операції векторного аналізу. Незабаром, завдяки роботам Геббса (кінець XIX ст.) та Хевісайда (початок XX ст.), векторний аналіз, як частина математики, набув сучасного вигляду.

Евдокс Книдський

1. Які величини називають скалярними?

2. Які величини називають векторними?

3. Що називають вектором?

4. Яка точка є початком вектора , а яка — кінцем цього вектора?

5. Як позначають вектори?

6. Що називають модулем вектора ?

7. Які вектори називають колінеарними?

8. Якими можуть бути колінеарні вектори?

9. Які вектори називають рівними?

10. Що означає відкласти вектор від точки X?

1. Початковий рівень

271. Запишіть вектори, зображені на малюнку 39.

Мал. 39

Мал. 40

272. Запишіть вектори, зображені на малюнку 40.

273. Позначте в зошиті точки А, В і C, що не лежать на одній прямій. Накресліть вектори

274. Позначте в зошиті точки P, L і K, що не лежать на одній прямій. Накресліть вектори

275. За малюнком 41 запишіть усі пари:

1) колінеарних векторів;

2) співнапрямлених векторів;

3) протилежно напрямлених векторів.

276. За малюнком 42 запишіть усі пари:

1) колінеарних векторів;

2) співнапрямлених векторів;

3) протилежно напрямлених векторів.

Мал. 41

Мал. 42

2. Середній рівень

277. Накресліть довільний вектор . Накресліть вектор , співнапрямлений з вектором , та вектор , протилежно напрямлений вектору .

1) Виконайте відповідні записи за допомогою символів.

2) Чи є колінеарними вектори i ?

3) Співнапрямленими чи протилежно напрямленими є вектори i ?

278. Накресліть довільний вектор . Накресліть вектор , співнапрямлений з вектором , та вектор , протилежно напрямлений вектору .

1) Виконайте відповідні записи за допомогою символів.

2) Чи є колінеарними вектори i ?

3) Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори i ?

279. На малюнку 43 ABCD - прямокутник. Укажіть рівні вектори та вектори, що мають рівні модулі. Виконайте відповідні записи.

Мал. 43

280. На малюнку 44 KLMN - паралелограм. Укажіть рівні вектори та вектори, що мають рівні модулі. Виконайте відповідні записи.

281. Знайдіть модулі векторів, зображених на малюнку 45, якщо сторона клітинки дорівнює одиниці вимірювання відрізків.

Мал. 44

Мал. 45

Мал. 46

282. Знайдіть модулі векторів, зображених на малюнку 46, якщо сторона клітинки дорівнює одиниці вимірювання відрізків.

283. Накресліть два вектори, що:

1) мають рівні модулі і неколінеарні;

2) мають рівні модулі і співнапрямлені;

3) мають рівні модулі і протилежно напрямлені.

У якому випадку накреслені вектори рівні?

284. Дано вектор . Від точки А відкладіть вектор такий, що = .

285. Дано вектор . Від точки M відкладіть вектор такий, що = .

3. Достатній рівень

286. KLMN - ромб, O - точка перетину його діагоналей. Укажіть вектор, рівний вектору:

287. ABCD - квадрат, O - точка перетину його діагоналей. Укажіть вектор, рівний вектору:

288. (Усно.) Чи можуть бути рівними вектори i , якщо точки A і B різні?

289. Дано точки А(-2; 1), B(0; 2), M(1; -1). Відкладіть від точки M вектор , що дорівнює вектору . Якими є координати точки N?

290. Дано точки С(1; -3), D(-1; -2), Р(3; -1). Відкладіть від точки P вектор , що дорівнює вектору . Якими є координати точки K?

291. У прямокутнику ABCD AB = 3, ВС = 4, M - середина ВС. Знайдіть модулі векторів

292. У квадраті ABCD діагональ AC дорівнює 4, N - середина AD. Знайдіть модулі векторів

293. (Усно.) Чи правильне твердження:

4. Високий рівень

294. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо:

295. У чотирикутнику ABCD = , точка E - середина BC. Пряма AE перетинає промінь DC у точці F. Серед векторів

укажіть усі пари:

1) колінеарних векторів;

2) співнапрямлених векторів;

3) протилежно напрямлених векторів;

4) рівних векторів;

5) векторів, що мають рівні модулі.

296. У чотирикутнику ABCD = .

Через точку O перети ну його діагоналей проведено пряму, що перетинає сторони BC і AD у точках E і F відповідно, причому BE ≠ EC.

Серед векторів укажіть усі пари:

1) колінеарних векторів;

2) співнапрямлених векторів;

3) протилежно напрямлених векторів;

4) рівних векторів;

5) векторів, що мають рівні модулі.

Вправи для повторення

297. Точка M - середина відрізка AB. Знайдіть координати точки: 1) A, якщо М(-2; 5), B(0; -7);

2) В, якщо А(7; -1), M(1,5; 2,5).

298. Знайдіть на осі абсцис точку А, відстань від якої до точки В(7; 5) дорівнює 13.

299. Дано відрізки а і b (а > b). Використовуючи метричні співвідношення у прямокутному трикутнику, побудуйте відрізок:

Цікаві задачі для учнів неледачих

300. Якого найменшого значення може набувати вираз

При яких значеннях x і у досягається це значення?

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити