Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§2 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

6. Формули для знаходження площі трикутника

Із курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що площу S трикутника зі сторонами a, b і c та висотами ha, hb і hc можна обчислити за формулами

Тепер у нас з’явилася можливість отримати ще кілька формул для знаходження площі трикутника.

Теорема 6.1. Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін і синуса кута між ними.

Доведення. Розглянемо трикутник АВС, площа якого дорівнює S, такий, що ВС = а, АС = b і C = у. Доведемо, що

Можливі три випадки:

1) кут у гострий (рис. 6.1);

2) кут у тупий (рис. 6.2);

3) кут у прямий.

Рис. 6.1

Рис. 6.2

На рисунках 6.1 і 6.2 проведемо висоту BD трикутника ABC.

Тоді S = BD ∙ AC = BD b.

Із прямокутного трикутника BDC у першому випадку (див. рис. 6.1) отримуємо: BD = a sin у, а в другому (див. рис. 6.2): BD = a sin (180° - у) = asin у. Звідси для двох перших випадків маємо:

Якщо кут C прямий, то sin у = 1. Для прямокутного трикутника ABC із катетами а і b маємо:

Теорема 6.2 (формула Герона1). Площу S трикутника зі сторонами a, b і c можна обчислити за формулою

де p — його півпериметр.

Доведення. Розглянемо трикутник ABC, площа якого дорівнює S, такий, що BC = a, AC = b, AB = c. Доведемо, що

Нехай C = у. Запишемо формулу площі трикутника:

Звідси

За теоремою косинусів c2 = а2 + b2 - 2ab cos у.

Тоді

Оскільки

Звідси

1 Г е р о н А л е к с а н д р і й с ь к и й — давньогрецький учений, який жив у І ст. н. е. Його математичні праці є енциклопедією прикладної математики.

Теорема 6.3. Площу S трикутника зі сторонами a, b і c можна обчислити за формулою

де R — радіус кола, описаного навколо трикутника.

Доведення. Розглянемо трикутник ABC, площа якого дорівнює S, такий, що BC = a, AC = b, AB = c. Доведемо, що

Де R — радіус описаного кола трикутника.

Нехай A = а. Запишемо формулу площі трикутника:

Із леми п. 4 випливає, що

Тоді

Зауважимо, що доведена теорема дає змогу знаходити радіус описаного кола трикутника за формулою

Теорема 6.4. Площа трикутника дорівнює добутку його півпериметра та радіуса вписаного кола.

Доведення. На рисунку 6.3 зображено трикутник ABC, у який вписано коло радіуса r. Доведемо, що

S = pr,

де Sплоща даного трикутника, p — його півпериметр.

Нехай точка O — центр вписаного кола, яке дотикається до сторін трикутника ABC у точках M, N і P. Площа трикутника ABC дорівнює сумі площ трикутників AOB, BOC і COA:

S = SAOB + SBOC + SCOA.

Проведемо радіуси в точки дотику. Отримуємо: OM AB, ON BC, OP CA. Звідси:

Рис. 6.3

Отже,

Теорему 6.4 узагальнює така теорема.

Теорема 6.5. Площа описаного многокутника дорівнює добутку його півпериметра та радіуса вписаного кола.

Доведіть цю теорему самостійно (рис. 6.4).

Зауважимо, що теорема 6.5 дає змогу знаходити радіус вписаного кола многокутника за формулою

Теорема 6.6. Площу S паралелограма можна обчислити за формулою

S = ab sin a,

де a і b — довжини сусідніх сторін паралелограма, a — кут між ними.

Доведення. Розглянемо паралелограм ABCD, у якому AB = а, AD = b, BAD = а (рис. 6.5). Проведемо діагональ BD. Оскільки ∆ABD = ∆CBD, то запишемо:

Рис. 6.4

Рис. 6.5

Теорема 6.7. Площа опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей і синуса кута між ними.

Доведення. Через вершини A, B, C і D чотирикутника ABCD проведемо прямі, паралельні його діагоналям AC і BD (рис. 6.6). Отримаємо паралелограм MNPQ, у якому M = , MN = AC, MQ = BD. Площа цього паралелограма вдвічі більша за площу чотирикутника ABCD (доведіть це самостійно). Звідси

Задача 1. Доведіть, що площу S трикутника ABC можна обчислити за формулою

S = 2R2 sin A sin B sin C,

де Rрадіус описаного кола трикутника ABC.

Розв’язання. Нехай AC = b, BC = a, AB = c.

Маємо:

і a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C.

Звідси

Задача 2. Доведіть, що sin 2a = 2 sin a cos a.

Розв’язання. Розглянемо рівнобедрений трикутник із кутом 2a при вершині та бічними сторонами, які дорівнюють 1 (рис. 6.7).

Маємо:

Також можна записати:

SABC BD ∙ AC = BD ∙ AD = cos a sin a.

Тоді sin 2a = cos a sin a, тобто sin 2a = 2 sin a cos a.

Рис. 6.6

Рис. 6.7

Задача 3. Сторони трикутника дорівнюють 17 см, 65 см і 80 см. Знайдіть найменшу висоту трикутника, радіуси його вписаного й описаного кіл.

Розв’язання. Нехай a = 17 см, b = 65 см, c = 80 см.

Знайдемо півпериметр трикутника:

Площу трикутника обчислимо за формулою Герона:

Найменшою висотою трикутника є висота, проведена до його найбільшої сторони, довжина якої дорівнює с.

Оскільки

Радіус вписаного кола

Радіус описаного кола

Відповідь:

Задача 4. Із точки M, яка належить куту AOB, опущено перпендикуляри MM1 і MM2 на сторони OA і OB відповідно (рис. 6.8).

Доведіть, що

Рис. 6.8

Розв’язання. Очевидно, що точки O, M1, M, М2 лежать на одному колі з діаметром OM. Тоді M1M2= OM ∙ sin AOB.

Маємо:

де — кут між діагоналями чотирикутника OM1MM2.

Оскільки 0 < sin 1, то

Задача 5. На стороні AC трикутника ABC позначено довільну точку M, відмінну від вершин A і C. У кожний із трикутників ABM і MBC вписано коло (рис. 6.9). Доведіть, що сума радіусів цих кіл більша за радіус кола, вписаного в трикутник ABC.

Розв’язання. Позначимо S, S1, S2 — площі, p, p1, p2півпериметри, r, r1, r2радіуси вписаних кіл трикутників ABC, ABM, MBC відповідно.

Маємо: S = S1 + S2,

rp = r1p1 + 2.

Легко отримати (зробіть це самостійно), що p1 < p і p2 < р. Тоді

rp = r1p1 + r2p2 < r1p + r2p

Звідси r < r1 + r2.

Рис. 6.9

1. Як можна знайти площу трикутника, якщо відомо дві його сторони та кут між ними?

2. Запишіть формулу герона для обчислення площі трикутника.

3. Як можна знайти площу трикутника зі сторонами a, b і c та радіусом R описаного кола?

4. Як можна знайти площу трикутника, якщо відомо його півпериметр і радіус вписаного кола?

5. Чому дорівнює площа описаного многокутника?

6. Як можна знайти площу паралелограма, якщо відомо його сусідні сторони та кут між ними?

7. Як можна знайти площу опуклого чотирикутника, якщо відомо його діагоналі та кут між ними?

ВПРАВИ

6.1. Площа трикутника MKN дорівнює 75 см2. Знайдіть сторону MK, якщо KN = 15 см, K = 30°.

6.2. Знайдіть кут між даними сторонами трикутника ABC, якщо:

1) AB = 12 см, BC = 10 см, площа трикутника дорівнює 30 см2;

2) AB = 14 см, AC = 8 см, площа трикутника дорівнює 56 см2.

6.3. Площа трикутника ABC дорівнює 18 см2. Відомо, що AC = 8 см, BC = 9 см. Знайдіть кут C.

6.4. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника з бічною стороною 16 см і кутом 15° при основі.

6.5. Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, площа якого дорівнює 36 см2, а кут при вершині — 30°.

6.6. Знайдіть найменшу висоту трикутника зі сторонами 13 см, 20 см і 21 см.

6.7. Знайдіть найбільшу висоту трикутника зі сторонами 11 см, 25 см і 30 см.

6.8. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл трикутника зі сторонами:

1) 5 см, 5 см і 6 см; 2) 25 см, 29 см і 36 см.

6.9. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл трикутника зі сторонами 6 см, 25 см і 29 см.

6.10. Доведіть, що де S — площа трикутника, а і b — довжини його сусідніх сторін.

6.11. Чи може площа трикутника зі сторонами 4 см і 6 см дорівнювати: 1) 6 см2; 2) 14 см2; 3) 12 см2?

6.12. Дві сусідні сторони паралелограма відповідно дорівнюють двом сусіднім сторонам прямокутника. Чому дорівнює гострий кут паралелограма, якщо його площа вдвічі менша від площі прямокутника?

6.13. Знайдіть відношення площ S1 і S2 трикутників, зображених на рисунку 6.10 (довжини відрізків дано в сантиметрах).

Рис. 6.10

6.14. Знайдіть площу трикутника, сторона якого дорівнює а, а прилеглі до неї кути дорівнюють β і у.

6.15. У трикутнику ABC відомо, що AC = b, A = a, B = β. Знайдіть площу трикутника.

6.16. У трикутнику ABC кут A дорівнює а, а висоти BD і CE дорівнюють відповідно h1 і h2. Знайдіть площу трикутника ABC.

6.17. Відрізок BM — висота трикутника ABC, BM = h, A = a, ABC = β. Знайдіть площу трикутника ABC.

6.18. У трикутник зі сторонами 17 см, 25 см і 28 см вписано коло, центр якого сполучено з вершинами трикутника. Знайдіть площі трикутників, які при цьому утворилися.

6.19. Відрізок AD — бісектриса трикутника ABC, AB = 6 см, AC = 8 см, BAC = 120°. Знайдіть бісектрису AD.

6.20. Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 10 см і 50 см, а бічні сторони — 13 см і 37 см.

6.21. Основи трапеції дорівнюють 4 см і 5 см, а діагоналі — 7 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції.

6.22. Сторони трикутника дорівнюють 39 см, 41 см і 50 см. Знайдіть радіус кола, центр якого належить більшій стороні трикутника та яке дотикається до двох інших сторін.

6.23. Доведіть, що де h1, h2 і h3 — довжини висот трикутника, r — радіус вписаного кола.

6.24. Вершини трикутника сполучено із центром вписаного в нього кола. Проведені відрізки розбивають даний трикутник на трикутники, площі яких дорівнюють 26 см2, 28 см2 і 30 см2. Знайдіть сторони даного трикутника.

6.25. Медіани AA1 і BB1 трикутника ABC перетинаються в точці M. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо AA1 = 9 см, BB1 = 12 см, AMB = 150°.

6.26. Радіус вписаного кола трикутника дорівнює 4 см. Точка дотику ділить одну зі сторін трикутника на відрізки завдовжки 6 см і 8 см. Знайдіть дві інші сторони трикутника.

6.27. Доведіть, що площу S трикутника можна обчислити за формулою1

6.28. Доведіть, що площу S трикутника можна обчислити за формулою

1 У задачах 6.27-6.30, 6.32, 6.36-6.39 використовуються позначення, наведені на форзаці.

6.29. Доведіть, що площу S трикутника можна обчислити за формулою

6.30. Доведіть, що коли площа трикутника ABC дорівнює rrc, то C = 90°.

6.31. Чотирикутник ABCD вписано в коло радіуса R. Кут між його діагоналями дорівнює . Доведіть, що площу S чотирикутника можна обчислити за формулою S = 2R2 sin A sin B sin .

6.32. Доведіть, що довжину бісектриси трикутника ABC можна обчислити за формулою

6.33. У трикутнику ABC проведено бісектрису AD. Відомо, що Знайдіть кут BAC.

6.34. У трикутнику ABC відомо, що ABC = 60°, AB + BC = 3 см. Відрізок BD — бісектриса трикутника, BD = AC. Знайдіть сторони трикутника.

6.35. Знайдіть площу трикутника, якщо відомо, що дві його сторони дорівнюють 35 см і 14 см, а бісектриса трикутника, проведена з їхньої спільної вершини, дорівнює 12 см.

6.36. Для трикутника ABC доведіть нерівність

6.37. Для трикутника ABC доведіть нерівність:

6.38. Доведіть, що для прямокутного трикутника виконується нерівність R + r, де R і r — радіуси описаного та вписаного кіл відповідно.

6.39. Для трикутника ABC доведіть нерівність ha + hb + hc ≥ 9r.

6.40. У трикутник ABC вписано коло радіуса r. Через центр цього кола проведено пряму, яка перетинає сторони AB і BC у точках M і N відповідно. Доведіть, що SMBN ≥ 2r2.

6.41. У трикутнику ABC проведено медіану BM. Чи може радіус кола, вписаного в трикутник BCM, бути вдвічі меншим від радіуса кола, вписаного в трикутник ABC?

6.42. Довжини сторін трикутника не перевищують 1. Доведіть, що його площа не перевищує

6.43. У трикутнику позначено дві точки. Відстані від однієї з них до сторін трикутника дорівнюють 1 см, 3 см і 15 см, а від другої — 4 см, 5 см і 11 см (сторони розглядаються в тому самому порядку). Знайдіть радіус кола, вписаного в даний трикутник.

6.44. У чотирикутнику ABCD відомо, що AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Доведіть, що

де S — площа чотирикутника.

6.45. Периметр чотирикутника дорівнює 4. Доведіть, що його площа не перевищує 1.

6.46. (Формула Карно1) Точка O — центр описаного кола гострокутного трикутника ABC. Точки M1, М2 і М3 — середини сторін BC, AC і ABвідповідно. Доведіть, що OM1 + OM2 + OM3 = R + r, де R і rрадіуси відповідно описаного та вписаного кіл трикутника ABC.

6.47. Додатні числа x, y, z задовольняють систему рівнянь

Знайдіть значення виразу xy + 2yz + 3xz.

1 Карно Лазар (1753-1823) — французький математик, фізик, державний і військовий діяч.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити