Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§3 ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ

У цьому параграфі ви дізнаєтесь, які многокутники називають правильними. Вивчите властивості правильних многокутників. Дізнаєтеся, як за допомогою циркуля та лінійки будувати деякі з них.

навчитеся знаходити радіуси вписаного й описаного кіл правильного многокутника, довжину дуги кола, площу частин круга.

7. Правильні многокутники та їхні властивості

Означення. Многокутник називають правильним, якщо в нього всі сторони рівні та всі кути рівні.

З деякими правильними многокутниками ви вже знайомі: рівносторонній трикутник — це правильний трикутник, квадрат — це правильний чотирикутник. На рисунку 7.1 зображено правильні п’ятикутник і восьмикутник.

Ознайомимося з деякими властивостями, що притаманні всім правильним n-кутникам (n — натуральне число).

Рис. 7.1

Теорема 7.1. Правильний многокутник є опуклим многокутником.

Доведення. Достатньо показати, що в будь- якому многокутнику є хоча б один кут, менший від 180°. Тоді з того, що в правильному n-кутнику всі кути рівні, випливатиме, що всі вони менші від 180°, тобто многокутник буде опуклим.

Розглянемо довільний многокутник і пряму а, яка не має з ним спільних точок (рис. 7.2). Із кожної вершини многокутника опустимо перпендикуляр на пряму a.

Порівнявши довжини цих перпендикулярів, ми зможемо вибрати вершину многокутника, яка найменше віддалена від прямої а (якщо таких вершин кілька, то виберемо будь-яку з них). Нехай цю властивість має вершина А (рис. 7.2). Через точку A проведемо пряму b, паралельну прямій а. Тоді кут A многокутника лежить в одній півплощині відносно прямої b. Отже, A < 180°.

Рис. 7.2

У правильному трикутнику є точка, рівновіддалена від усіх його вершин і від усіх його сторін. Це точка перетину бісектрис правильного трикутника. Точці перетину діагоналей квадрата теж притаманна аналогічна властивість. Те, що в будь-якому правильному многокутнику є точка, рівновіддалена як від усіх його вершин, так і від усіх його сторін, підтверджує така теорема.

Теорема 7.2. Будь-який правильний многокутник є як вписаним у коло, так і описаним навколо кола, причому центри описаного та вписаного кіл збігаються.

Доведення. На рисунку 7.3 зображено правильний n-кутник A1A2A3An. Доведемо, що в нього можна вписати й навколо нього можна описати кола.

Проведемо бісектриси кутів A1 і A2. Нехай O — точка їхнього перетину. Сполучимо точки O і A3. Оскільки в трикутниках OA1A2 і OA2A3 кути 2 і 3 рівні, AA2 = A2A3 і OA2 — спільна сторона, то ці трикутники рівні за першою ознакою рівності трикутників. Крім того, кути 1 і 2 рівні як половини рівних кутів. Звідси трикутник OA1A2 — рівнобедрений, отже, рівнобедреним є трикутник OA2A3. Тому OA1 = OA2 = OA3.

Сполучаючи точку O з вершинами A4, A5, …, An-1, An, аналогічно можна показати, що OA3 = OA4 = … = OAn-1 = OAn.

Таким чином, для многокутника A1A2A3An існує точка, рівно- віддалена від усіх його вершин. Це точка O — центр описаного кола.

Оскільки рівнобедрені трикутники OA1A2, OA2A3, OA3A4, …, OAn-1An, OAnA1 рівні, то рівні і їхні висоти, проведені з вершини O. Звідси робимо висновок: точка O рівновіддалена від усіх сторін многокутника. Отже, точка O — центр вписаного кола.

Точку, яка є центром описаного та вписаного кіл правильного многокутника, називають центром правильного многокутника.

На рисунку 7.4 зображено фрагмент правильного n-кутника із центром O та стороною AB, довжину якої позначимо an. Кут AOB називають центральним кутом правильного многокутника. Зрозуміло, що

Рис. 7.3

Рис. 7.4

У рівнобедреному трикутнику AOB проведемо висоту OM. Тоді

Із трикутника OMB отримуємо, що

Відрізки OB і OM — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл правильного n-кутника. Якщо їхні довжини позначити Rn і rn відповідно, то отримані результати можна записати у вигляді формул:

Підставивши у ці формули замість n числа 3, 4, 6, отримаємо формули для знаходження радіусів описаного та вписаного кіл для правильних трикутника, чотирикутника й шестикутника зі стороною а:

З отриманих результатів випливає, що сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу його описаного кола. Тепер можна записати алгоритм побудови правильного шестикутника: від довільної точки M кола потрібно послідовно відкладати хорди, які дорівнюють радіусу (рис. 7.5). Таким чином отримуємо вершини правильного шестикутника.

Рис. 7.5

Рис. 7.6

Рис. 7.7

Сполучивши через одну вершини правильного шестикутника, отримаємо правильний трикутник (рис. 7.6).

Для побудови правильного чотирикутника достатньо в колі провести два перпендикулярних діаметри AC і BD (рис. 7.7). Тоді чотирикутник ABCD— квадрат (доведіть це самостійно).

Якщо побудовано правильний n-кутник, то легко побудувати правильний 2n-кутник. Для цього потрібно знайти середини всіх сторін n-кутника та провести радіуси описаного кола через отримані точки. Тоді кінці радіусів і вершини даного n-кутника будуть вершинами правильного 2n-кутника. На рисунках 7.8 і 7.9 показано побудову правильних 8-кутника та 12-кутника.

Узагалі, якщо ви вмієте будувати правильний m-кутник, то зможете побудувати будь-який правильний m ∙ 2n-кутник (n — натуральне число).

Рис. 7.8

Рис. 7.9

Задачу побудови правильних многокутників за допомогою циркуля та лінійки вивчали ще давньогрецькі геометри. Зокрема, крім зазначених вище многокутників, вони вміли будувати правильні 5-кутник і 15-кутник, що є досить непростою справою.

Стародавні вчені, які вміли будувати будь-який із правильних n-кутників, де n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, намагалися розв’язати цю задачу і для n = 7, 9. Їм це не вдалося. Узагалі, більше двох тисяч років математики не могли зрушитися з місця у вирішенні цієї проблеми. У 1796 р. великий німецький математик Карл Фрідріх Гаусс зміг за допомогою циркуля та лінійки побудувати правильний 17-кутник. У 1801 р. Гаусс довів, що циркулем та лінійкою можна побудувати правильний n-кутник тоді й тільки тоді, коли n = 2k, де k N, k > 1, або n = 2k р1p2∙…∙pt, де kціле невід’ємне число, p1, p2, …, ptрізні прості числа виду 22m +1, де m — ціле невід’ємне число, які називають простими числами Ферма1. Зараз відомо лише п’ять простих чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65 537.

Гаусс надавав своєму відкриттю настільки великого значення, що заповів зобразити 17-кутник на своєму надгробку. На могильній плиті Гаусса цього рисунка немає, проте пам’ятник Гауссу в Брауншвейзі стоїть на сімнадцятикутному постаменті.

Задача 1. Чи існує правильний многокутник, кут якого дорівнює: 1) 155°; 2) 177°? У разі ствердної відповіді вкажіть вид многокутника.

1) Нехай n — кількість сторін шуканого правильного многокутника. З одного боку, сума його кутів дорівнює 180° (n - 2). З другого боку, ця сума дорівнює 155°n. Отже, 180° (n - 2) = 155°n; 25°n = 360°; n = 14,4. Оскільки n має бути натуральним числом, то такого правильного многокутника не існує.

2) Маємо: 180° (n - 2) = 177°n; 180°n - 360° = 177°n; n = 120.

Відповідь: 1) не існує; 2) існує, це — стодвадцятикутник.

Задача 2. У коло вписано правильний трикутник зі стороною 18 см. Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного навколо цього кола.

1 П’єр Ферма (1601-1665) — французький математик, один із фундаторів теорії чисел.

Карл Фрідріх Гаусс (1777-1855)

Розв’язання. Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, обчислюють за формулою

де a — довжина сторони трикутника (рис. 7.10). Отже,

За умовою радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, дорівнює радіусу кола, описаного навколо правильного трикутника, тобто r6 = R3 = 6 см. Оскільки

де b — довжина сторони правильного шестикутника, то

Відповідь: 12 см.

Задача 3. Побудуйте правильний п’ятикутник.

Розв’язання. Розглянемо правильний п’ятикутник ABCDE, сторона якого дорівнює а. Нехай діагоналі BE і AC перетинаються в точці M (рис. 7.11). Легко показати, що AC || ED і BE || CD. Отже, чотирикутник EMCD — паралелограм. Звідси MC = ED = а.

Трикутники AMB і ABC подібні за першою ознакою подібності

трикутників (доведіть це самостійно). Звідси

Оскільки

AM = AC - а, то маємо:

Звідси AC2- a AC - a2= 0;

Як при заданому відрізку завдовжки а побудувати відрізок, довжина якого дорівнює a , показано на рисунку 7.12.

Тепер легко побудувати відрізок

Рис. 7.10

Рис. 7.11

Рис. 7.12

Отже, ми можемо побудувати за трьома сторонами трикутник ABC, у якому сторони AB і BC — це сторони правильного п’ятикутника, відрізок AC — його діагональ. Тепер легко завершити побудову правильного п’ятикутника (зробіть це самостійно).

Число яке дорівнює відношенню діагоналі правильного п’ятикутника до його сторони, позначають грецькою літерою і називають золотим числом.

Задача 4. Чи існує опуклий семикутник, у якому будь-яка сторона перпендикулярна до якої-небудь діагоналі?

Розв’язання. У правильному восьмикутнику для будь-якої сторони знайдеться перпендикулярна до неї діагональ. Доведіть це самостійно.

Проведемо діагональ А1А3 правильного восьмикутника A1A2A3A4A5A6A7A8 (рис. 7.13). Очевидно, що семикутник A1A3A4A5A6A7A8 має потрібну властивість.

Рис. 7.13

1. Який многокутник називають правильним?

2. Які спільні властивості мають всі правильні многокутники?

3. Що називають центром правильного многокутника?

4. Запишіть формули радіусів вписаного та описаного кіл правильного n-кутника, трикутника, чотирикутника, шестикутника.

ВПРАВИ

7.1. Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого дорівнює: 1) 160°; 2) 171°?

7.2. Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого дорівнює: 1) 108°; 2) 175°?

7.3. Чи існує правильний многокутник, кут якого дорівнює: 1) 140°; 2) 130°?

7.4. Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кут, суміжний із кутом многокутника, становить кута многокутника?

7.5. Визначте кількість сторін правильного многокутника, якщо його кут на 168° більший за суміжний із ним кут.

7.6. Нехай a — довжина сторони правильного трикутника, R і r — відповідно радіуси його описаного та вписаного кіл. Заповніть таблицю (довжини відрізків дано в сантиметрах):

7.7. Нехай a — довжина сторони квадрата, R і r — відповідно радіуси його описаного та вписаного кіл. Заповніть таблицю (довжини відрізків дано в сантиметрах):

7.8. Радіус кола дорівнює 12 см. Знайдіть сторону вписаного в це коло правильного:

1) шестикутника; 2) дванадцятикутника.

7.9. Радіус кола дорівнює 8 см. Знайдіть сторону описаного навколо цього кола правильного шестикутника.

7.10. Сторона правильного многокутника дорівнює а, радіус описаного кола дорівнює R. Знайдіть радіус вписаного кола.

7.11. Радіуси вписаного й описаного кіл правильного многокутника дорівнюють відповідно r і R. Знайдіть сторону многокутника.

7.12. Сторона правильного многокутника дорівнює а, радіус вписаного кола дорівнює r. Знайдіть радіус описаного кола.

7.13. Навколо кола описано правильний шестикутник зі стороною 4 см. Знайдіть сторону квадрата, вписаного в це коло.

7.14. У коло вписано квадрат зі стороною 6 см. Знайдіть сторону правильного трикутника, описаного навколо цього кола.

7.15. Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого на 36° більший за його центральний кут?

7.16. Кут між радіусами вписаного кола правильного многокутника, проведеними в точки дотику цього кола до сусідніх сторін многокутника, дорівнює 20°. Знайдіть кількість сторін многокутника.

7.17. Доведіть, що всі діагоналі правильного п’ятикутника рівні.

7.18. Доведіть, що кожна діагональ правильного п’ятикутника паралельна одній із його сторін.

7.19. У коло вписано правильний шестикутник і навколо нього описано правильний шестикутник. Знайдіть відношення сторін цих шестикутників.

7.20. Доведіть, що сторона правильного восьмикутника дорівнює де R — радіус його описаного кола.

7.21. Доведіть, що сторона правильного дванадцятикутника дорівнює де R — радіус його описаного кола.

7.22. Знайдіть площу правильного восьмикутника, якщо радіус описаного навколо нього кола дорівнює R.

7.23. Знайдіть діагоналі та площу правильного шестикутника, сторона якого дорівнює а.

7.24. Кути квадрата зі стороною 6 см зрізали так, що отримали правильний восьмикутник. Знайдіть сторону утвореного восьмикутника.

7.25. Кути правильного трикутника зі стороною 24 см зрізали так, що отримали правильний шестикутник. Знайдіть сторону утвореного шестикутника.

7.26. Знайдіть діагоналі правильного восьмикутника, сторона якого дорівнює a.

7.27. У правильному дванадцятикутнику, сторона якого дорівнює а, послідовно сполучили середини шести сторін, узятих через одну. Знайдіть сторону правильного шестикутника, який утворився при цьому.

7.28. У правильному восьмикутнику, сторона якого дорівнює а, послідовно сполучили середини чотирьох сторін, узятих через одну. Знайдіть сторону квадрата, який утворився при цьому.

7.29. У коло радіуса R вписано правильний n-кутник і правильний 2n-кутник. Доведіть, що

7.30. На сторонах правильного n-кутника у зовнішній бік побудовано квадрати. Відомо, що 2n-кутник, утворений вершинами цих квадратів, відмінними від вершин n-кутника, є правильним. При яких значеннях n це можливо?

7.31. Дано правильний п’ятикутник ABCDE. Позначили точку M таку, що трикутник DEM — правильний. Знайдіть кут AMC.

7.32. Усі кути вписаного шестикутника рівні. Чи можна стверджувати, що цей шестикутник є правильним?

7.33. У правильному шестикутнику обчисліть:

1) кут між діагоналями, які мають спільний кінець;

2) кут між найменшими діагоналями, що перетинаються.

7.34. Доведіть, що сума відстаней від будь-якої точки, взятої всередині правильного многокутника, до всіх прямих, які містять його сторони, є величиною сталою.

7.35. Діагоналі AC і BD правильного п’ятикутника ABCDE перетинаються в точці M. Доведіть, що AM2 = AC MC.

7.36. Дано правильний 30-кутник AA2 … A30 із центром O. Знайдіть кут між прямими OA3 і AA4.

7.37. Чи існує правильний n-кутник, у якого одна з діагоналей дорівнює сумі довжин двох інших діагоналей?

7.38. Дано правильний десятикутник A1A2A10, вписаний у коло радіуса R. Знайдіть різницю AA4 - AA2.

7.39. Доведіть, що коли в п’ятикутник, у якого всі сторони рівні, можна вписати коло, то він є правильним.

7.40. Доведіть, що коли в п’ятикутник, у якого всі кути рівні, можна вписати коло, то він є правильним.

7.41. Доведіть, що площа правильного восьмикутника дорівнює добутку найбільшої та найменшої діагоналей.

7.42. Форму яких рівних правильних многокутників можуть мати дощечки паркету, щоб ними можна було вистелити підлогу?

7.43. Дано правильний шестикутник, сторона якого дорівнює 1 см. Користуючись тільки лінійкою, побудуйте відрізок завдовжки см.

7.44. На колі із центром у точці O позначили точки A і B так, що OA OB. Точка E — середина відрізка OA. На діаметрі AD позначили точку F так, що EF = EB (рис. 7.14). Доведіть, що відрізок BF дорівнює стороні правильного п’ятикутника, вписаного в дане коло1.

1 Ця задача показує, як за допомогою циркуля та лінійки побудувати правильний п’ятикутник. Цю побудову описано в праці давньогрецького

вченого Птолемея «Альмагест».

Рис. 7.14

7.45. Усі кути вписаного п’ятикутника рівні. Чи можна стверджувати, що цей многокутник є правильним?

7.46. Кожну точку кола зафарбовано в один із двох кольорів: червоний або синій. Доведіть, що в це коло можна вписати рівнобедрений трикутник, усі вершини якого одного кольору.

7.47. У правильному 15-кутнику довільним чином позначили 7 вершин. Доведіть, що серед позначених точок є три, які є вершинами рівнобедреного трикутника.

7.48. Усі кути п’ятикутника рівні. Доведіть, що сума відстаней від будь-якої точки п’ятикутника до його сторін є величиною сталою.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити