Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік
§4 ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ
Вивчаючи матеріал цього параграфа, ви розширите свої знання про координатну площину.
Ви навчитеся знаходити довжину відрізка та координати точки, яка ділить його в заданому відношенні, знаючи координати його кінців.
отримаєте уявлення про рівняння фігури, виведете рівняння прямої та кола.
ознайомитеся з методом координат, який дає змогу розв'язувати геометричні задачі засобами алгебри.
9. Відстань між двома точками із заданими координатами. поділ відрізка в заданому відношенні
У 6 класі ви ознайомилися з координатною площиною, тобто з площиною, на якій зображено дві перпендикулярні координатні прямі (вісь абсцис і вісь ординат) зі спільним початком відліку (рис. 9.1). Ви вмієте зображати на ній точки за їхніми координатами і, навпаки, знаходити координати точки, відміченої на координатній площині.
Рис. 9.1
Домовилися координатну площину з віссю x (віссю абсцис) і віссю у (віссю ординат) називати площиною xy.
Координати точки на площині xy називають декартовими координатами на честь французького математика Рене Декарта (див.оповідання на с. 116).
Ви знаєте, як знаходити відстань між двома точками, заданими своїми координатами на координатній прямій. Для точок A (x 1) і B (x 2) (рис. 9.2) маємо: AB = |x 2 - x 1| .
Рис. 9.2
Навчимося знаходити відстань між точками A (x 1; у 1) і B (x 2; у 2), заданими на площині xy.
Розглянемо випадок, коли відрізок AB не перпендикулярний до жодної з координатних осей (рис. 9.3).
Через точки A і B проведемо прямі, перпендикулярні до координатних осей. Отримаємо прямокутний трикутник ACB, у якому BC = |x 2 - x 1|, AC = |у 2 - у 1|. Звідси AB 2 = BC 2 + AC 2 = |x 2- x 1| 2 + |у 2 - y 1| 2 = (x 2 - x 1) 2 + (у 2 - y 1) 2.
Тоді формулу відстані між точками A (x 1; у 1) і B (x 2; у 2) можна записати так:
Доведіть самостійно, що ця формула залишається правильною і для випадку, коли відрізок AB перпендикулярний до однієї з осей координат.
Якщо x 1 = x 2 і у 1 = у 2, то природно вважати, що AB = 0. Цей самий результат дає й отримана формула.
Рис. 9.3
Рис. 9.4
Теорема 9.1. Якщо точка M (x
0; y
0) ділить відрізок AB у відношенні
то координати цієї точки можна обчислити за формулами
(*)
де (x 1; y 1) і (x 2; y 2) — координати відповідно точок A і B.
Доведення. Розглянемо випадок, коли відрізок AB не перпендикулярний до жодної з координатних осей (рис. 9.4). Вважатимемо, що х
2 > x
1(випадок, коли х
2 < x
1, можна розглянути аналогічно). Через точки A, M і B проведемо прямі, перпендикулярні до осі абсцис, які перетнуть цю вісь відповідно в точках A
1, M
1, і B
1. За теоремою про пропорційні відрізки
тоді |x
0 - x
1| =
|x
2 - х
0| .
Оскільки х
2 > х
0 > х
1, то можемо записати: х
0 - х
1 =
(х
2 - х
0).
Звідси
Аналогічно можна показати, що
Формули для знаходження координат точки M залишаються правильними й у випадку, коли відрізок AB перпендикулярний до однієї з осей координат. Доведіть це самостійно. 4
Якщо точка M є серединою відрізка AB, то
Для цього випадку формули (*) можна записати так:
За цими формулами знаходять координати середини відрізка.
Задача 1. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A (2; -1), B (1; 3), C (-3; 2) і D (-2; -2) є прямокутником. Розв’язання. Нехай точка M — середина діагоналі AC. Тоді абсциса точки M дорівнює
= -0,5, а ордината —
= 0,5.
Отже, M (-0,5; 0,5).
Нехай точка K — середина діагоналі BD. Тоді абсциса точки K дорівнює
= -0,5, а ордината —
= 0,5. Отже, K (-0,5; 0,5).
Таким чином, точки M і K збігаються, тобто діагоналі чотирикутника ABCD мають спільну середину. Звідси випливає, що чотирикутник ABCD — паралелограм.
Знайдемо діагоналі паралелограма:
Отже, діагоналі паралелограма ABCD рівні. Звідси випливає, що цей паралелограм є прямокутником.
Задача 2. Дано прямокутник ABCD. Знайдіть усі точки X, для яких виконується рівність XA 2 + XC 2 = XB 2 + XD 2.
Розв’язання. Введемо на площині систему координат так, щоби початок координат збігався з точкою A, а точки B і D належали осям координат (рис. 9.5).
Нехай координати точки B дорівнюють (0; b), а координати точки D — (d; 0). Тоді точка C має координати (d; b).
Нехай X (x; y) — довільна точка координатної площини. Маємо:
XA 2 + XC 2 = (x - 0) 2 + (y - 0) 2 + (x - d) 2+ (y - b) 2;
XB 2+ XD 2= (x - 0) 2 + (y - b) 2 + (x - d) 2 + (y - 0) 2.
Звідси XA 2 + XC 2 = XB 2 + XD 2. Тобто ця рівність виконується для будь-якої точки X. Звідси випливає, що шуканою множиною точок є вся координатна площина.
Рис. 9.5
Задача 3. Доведіть нерівність
Розв’язання. На площині xy розглянемо точки A (0; 1) і B (1; 0). Нехай M (x; y) — довільна точка площини. Маємо:
З нерівності трикутника випливає, що MA + MB ≥ AB.
Задача 4. На папері в клітинку зображено опуклий n-кутник так, що всі його вершини розміщено у вузлах сітки й жодний інший вузол сітки не належить цьому n-кутнику. Доведіть, що n = 3 або n = 4.
Розв’язання. На рисунку 9.6 зображено трикутник і чотирикутник, які мають потрібну властивість. Отже, ми показали, що для n = 3 і n = 4 такі n-кутники існують.
Рис. 9.6
Для будь-якої точки A (x; y), де x
, y
, має місце один із 4 випадків: 1) x — парне, у — парне; 2) x — непарне, у — парне;
3) x — парне, у — непарне; 4) x — непарне, у — непарне.
Введемо систему координат так, щоб усі вузли сітки мали цілі координати.
Припустимо, що n ≥ 5. Тоді серед вершин n-кутника знайдуться такі дві, що їхні відповідні координати мають однакову парність. Середина відрізка з кінцями в цих вершинах належить n-кутнику та має цілі координати. Отримали суперечність.
1. Як знайти відстань між двома точками, якщо відомо їхні координати?
2. Як знайти координати точки, яка ділить відрізок у заданому відношенні, якщо відомо координати його кінців?
ВПРАВИ
9.1. Вершинами трикутника є точки A (-1; 3), B (5; 9), C (6; 2). Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.
9.2. Доведіть, що точка M (0; -1) є центром кола, описаного навколо трикутника ABC, якщо A (6; -9), B (-6; 7), C (8; 5).
9.3. Доведіть, що кути B і C трикутника ABC рівні, якщо A (5; -7), B (-3; 8), C (-10; -15).
9.4. Доведіть, що трикутник з вершинами в точках A (2; 7), B (-1; 4) і C (1; 2) є прямокутним.
9.5. Точки A (-1; 2) і B (7; 4) є вершинами прямокутного трикутника. Чи може третя вершина трикутника мати координати: 1) (7; 2); 2) (2; -3)?
9.6. Чи лежать на одній прямій точки:
1) A (-2; -7), B (-1; -4) і C (5; 14);
2) D (-1; 3), E (2; 13) і F (5; 21)?
У разі ствердної відповіді вкажіть, яка з точок лежить між двома іншими.
9.7. Доведіть, що точки M (-4; 5), N (-10; 7) і K (8; 1) лежать на одній прямій, та вкажіть, яка з них лежить між двома іншими.
9.8. При якому значенні x відстань між точками C (3; 2) і D (x; -1) дорівнює 5?
9.9. Точка C — середина відрізка AB. Знайдіть координати точки B, якщо:
1) A (3; -4), C (2; 1); 2) A (-1; 1), C (0,5; -1).
9.10. Точка K — середина відрізка AD. Заповніть таблицю:
Точка |
Координати точки |
||
A |
(-3; 1) |
(-8; 2) |
|
D |
(-1; -3) |
(-9; 2) |
|
K |
(-4; 6) |
(1; 2) |
|
9.11. Відомо, що точка C належить відрізку AB, причому AC : CB = 2 : 3. Знайдіть координати точки C, якщо
B (2; 6).
9.12. Точка M ділить відрізок AB у відношенні 2 : 1. Знайдіть координати точки M, якщо A (-3; 6), B (3; -9).
9.13. Знайдіть медіану BM трикутника, вершинами якого є точки A (3; -2), B (2; 3) і C (7; 4).
9.14. Дано точки A (-2; 4) і B (2; -8). Знайдіть відстань від початку координат до середини відрізка AB.
9.15. На осі абсцис знайдіть точку, яка рівновіддалена від точок A (-1; -1) і B (2; 4).
9.16. Знайдіть координати точки, яка належить осі ординат і рівновіддалена від точок D (-2; -3) і E (4; 1).
9.17. Точка C (3; -0,5) ділить відрізок AB у відношенні 1 : 3, рахуючи від точки A (5; -3). Знайдіть координати точки B.
9.18. Чотирикутник ABCD — паралелограм, A (-5; 1), B (-4; 4), C (-1; 5). Знайдіть координати вершини D.
9.19. Чотирикутник ABCD — паралелограм, A (-2; -2), C (4; 1), D (-1; 1). Знайдіть координати вершини B.
9.20. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A (-2; 8), B (3; -3), C (6; 2) і D (1; 13) є паралелограмом.
9.21. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A (-3; -2), B (-1; 2), C (1; -2) і D (-1; -6) є ромбом.
9.22. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A (-2; 6), B (-8; -2), C (0; -8) і D (6; 0) є квадратом.
9.23. Точки D (1; 4) і E (2; 2) — середини сторін AC і BC трикутника ABC відповідно. Знайдіть координати вершин A і C, якщо B (-3; -1).
9.24. Знайдіть довжину відрізка, кінці якого належать осям координат, а серединою є точка M (-3; 8).
9.25.. Точки A (х 1; y 1), B (x 2; y 2), C (x 3; y 3), D (x 4; y 4) — вершини чотирикутника ABCD. Доведіть, що цей чотирикутник є паралелограмом тоді й тільки тоді, коли x 1 + x 3 = x 2 + x 4 і y 1 + y 3 = y 2 + y 4.
9.26. Знайдіть координати вершини C рівностороннього трикутника ABC, якщо A (2; -3) і B (-2; 3).
9.27. Знайдіть координати вершини E рівностороннього трикутника DEF, якщо D (-6; 0) і F (2; 0).
9.28. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, A (5; 9), C (1; -3), модулі координат точки B рівні. Знайдіть координати точки B.
9.29. Знайдіть координати всіх точок C осі абсцис таких, що трикутник ABC рівнобедрений і A (1; 1), B (2; 3).
9.30. Знайдіть координати всіх точок B осі ординат таких, що трикутник ABC прямокутний і A (1; 3), C (3; 7).
9.31. Знайдіть координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки A (3; 6).
9.32. Знайдіть координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки B (-4; 2).
9.33. Точки A (x 1; y 1), B (x 2; y 2), C (x 3; y 3) є вершинами трикутника ABC. Доведіть, що точка перетину медіан цього трикутника має координати
9.34. Точки A (1; 2), B (2; 5), C (7; 0) є вершинами трикутника ABC. Знайдіть бісектрису AA 1 цього трикутника.
9.35. Бісектриса зовнішнього кута трикутника ABC при вершині B перетинає пряму AC у точці D. Знайдіть відрізок BD, якщо A (1; -5), B (0; -2), C(3; 7).
9.36. Поясніть, як, знаючи координати вершин трикутника, знайти координати центра його вписаного кола.
9.37. Точки A (1; 1), B (3; 4), C (6; 4), D (7; 1) — вершини трапеції ABCD. Знайдіть координати точки перетину діагоналей трапеції.
9.38. На папері в клітинку зображено 10-кутник так, що всі його вершини розміщено у вузлах сітки. Доведіть, що в цьому многокутнику існує щонайменше дві діагоналі, кожна з яких містить вузол сітки, відмінний від вершини.
Рис. 9.7
Рис. 9.8
9.39. На папері в клітинку виділено квадрат сітки, у якому позначено три вершини (рис. 9.7). Дозволяється позначати нові точки за таким правилом: якщо A і B — уже позначені точки, то нову точку X можна позначити так, щоб точка B була серединою відрізка AX або точка A була серединою відрізка BX (рис. 9.8). Чи можна за допомогою цього правила позначити й четверту вершину виділеного квадрата?