Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§4 ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

10. Рівняння фігури

Із курсу алгебри 7 класу ви знаєте, яку фігуру називають графіком рівняння. У цьому пункті ви ознайомитеся з поняттям рівняння фігури.

Координати (х; у) кожної точки параболи, зображеної на рисунку 10.1, є розв’язком рівняння у = x2. І навпаки, кожний розв’язок рівняння з двома змінними у = х2 є координатами точки, яка лежить на цій параболі. У цьому разі говорять, що рівняння параболи, зображеної на рисунку 10.1, має вигляд у = х2.

Означення. Рівнянням фігури F, заданої на площині xy, називають рівняння з двома змінними x і у, яке має такі властивості:

1) якщо точка належить фігурі F, то її координати є розв’язком даного рівняння;

2) будь-який розв’язок (x; у) даного рівняння є координатами точки, яка належить фігурі F.

Наприклад, рівняння прямої, зображеної на рисунку 10.2, має вигляд у = 2х - 1, а рівняння гіперболи, зображеної на рисунку 10.3, має вигляд y = .

Рис. 10.1

Прийнято говорити, що, наприклад, рівняння у = 2х - 1 і y = задають пряму та гіперболу відповідно.

Рис. 10.2

Рис. 10.3

Якщо дане рівняння є рівнянням фігури F, то цю фігуру можна розглядати як геометричне місце точок (ГМТ), координати яких задовольняють дане рівняння.

Користуючись цими міркуваннями, виведемо рівняння кола радіуса R із центром у точці A (a; b).

Нехай M (x; y) — довільна точка даного кола (рис. 10.4). Тоді AM = R. Використовуючи формулу відстані між точками, отримаємо:

Звідси

(x - a)2+ (y - b)2= R2. (*)

Ми показали, що координати (x; у) довільної точки M даного кола є розв’язком рівняння (*). Тепер покажемо, що будь-який розв’язок рівняння (x- a)2 + (у - b)2= R2 є координатами точки, яка належить даному колу.

Нехай пара чисел (x1; у1) — довільний розв’язок рівняння (*).

Тоді (x, - a)2+ (у, - b)2= R2.

Звідси

Ця рівність показує, що точка N (x1; у1) віддалена від центра кола A (a; b) на відстань, що дорівнює радіусу кола, а отже, точка N (x1; у1) належить даному колу.

Отже, ми довели таку теорему.

Рис. 10.4

Теорема 10.1. Рівняння кола радіуса R із центром у точці A (a; b) має вигляд

(x - a)2+ (y - b)2 = R2

Правильним є і таке твердження: будь-яке рівняння виду (x - а)2 + (y - b)2= R2, де a, b і R — деякі числа, причому R > 0, є рівнянням кола радіуса R із центром у точці з координатами (a; b).

Якщо центром кола є початок координат, то a = b = 0. Рівняння такого кола має вигляд

x2 + y2 = R2.

Означення. Еліпсом називають геометричне місце точок, для яких сума відстаней до двох заданих точок F1 і F2 є сталою величиною, більшою за F1F2. Точки F1 і F2 називають фокусами еліпса.

На рисунку 10.5 зображено еліпс, фокуси F1 і F2 якого мають відповідно координати (-с; 0) і (c; 0). Відрізки OA = a і OB = b називають відповідно великою і малою півосями еліпса.

Рівняння еліпса, зображеного на рисунку 10.5, має вигляд

(**)

де a > b і a2 - b2 = c2.

Якщо a = b, то рівняння (**) можна записати так: x2 + y2 = a2. Отримали рівняння кола. У цьому разі c = 0 і точки F1 і F2 збігаються. Тому коло можна розглядати як окремий випадок еліпса, у якого фокуси збігаються.

Означення. Гіперболою називають геометричне місце точок, для яких модуль різниці відстаней до двох заданих точок F1 і F2 є сталою величиною, меншою від F1F2. Точки F1 і F2 називають фокусами гіперболи.

На рисунку 10.6 зображено гіперболу, фокуси F1 і F2 якої мають відповідно координати (-c; 0) і (c; 0). Ця фігура складається з двох віток, які належать вертикальним кутам AOB і COD, утвореним

Рис. 10.5

Рис. 10.6

прямими AD і BC. Ці прямі мають таку властивість: чим далі точка M, що належить гіперболі, розміщена від початку координат, тим меншою є відстань від неї до однієї із зазначених прямих, причому ця відстань може стати меншою від будь-якого наперед заданого додатного числа.

Прямі AD і BC називають асимптотами гіперболи.

Вітки гіперболи перетинають вісь абсцис у точках, рівновіддалених від початку координат. Нехай ці точки мають координати (-а; 0) і (а; 0).

Рівняння гіперболи, зображеної на рисунку 10.6, має вигляд

де b2 = c2 - а2.

Зрозуміло, що, змінивши положення фігури на координатній площині, ми тим самим змінимо її рівняння.

Розглянемо гіперболу з перпендикулярними асимптотами. Розмістимо її так, щоб осі координат збігалися з асимптотами (рис. 10.7). Можна показати, що в цьому разі рівняння гіперболи має вигляд у = , k 0. Це рівняння добре вам відоме з курсу алгебри.

Рис. 10.7

Задача 1. Складіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок AB, якщо A (-5; 9), B (7; -3).

Розв’язання. Оскільки центр кола є серединою діаметра, то можемо знайти координати (а; b) центра C кола:

Отже, C (1; 3).

Радіус кола R дорівнює відрізку AC. Тоді R2 = (1 + 5)2 + (3 - 9)2 = 72.

Отже, шукане рівняння має вигляд

(x - 1)2 + (y - 3)2 = 72.

Відповідь: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 72.

Задача 2. Доведіть, що рівняння x2 + y2 + 6x - 14y + 50 = 0 задає коло. Знайдіть координати центра та радіус цього кола.

Розв’язання. Подамо дане рівняння у вигляді (x - а)2 + (y - b)2 = R2:

x2 + 6x + 9 + y2 - 14y + 49 + 50 - 58 = 0;

(x + 3)2 + (y - 7)2 = 8.

Отже, дане рівняння є рівнянням кола із центром у точці (-3; 7) і радіусом 2.

Відповідь: (-3; 7), 2.

Задача 3. Доведіть, що існує коло, яке проходить через початок координат і на якому немає інших точок, обидві координати яких є раціональними числами.

Розв’язання. Покажемо, що, наприклад, коло, задане рівнянням (x - )2 + (y - )2 - 4, є шуканим.

Маємо: х2 - 2х + 2 + y2 - 2y + 2 = 4;

х2 + у2 = 2 (x + у). (***)

Пара (0; 0) є розв’язком цього рівняння.

Якщо x і у , то числа x2 + y2 і x + y також раціональні.

Разом із цим, ураховуючи, що число — ірраціональне, отримуємо, що рівність (***) можлива лише при x = y = 0. Отже, рівняння (***) має тільки один розв’язок (x; y) такий, що x і у .

1. Що називають рівнянням фігури, заданої на площині xy?

2. Який вигляд має рівняння кола із центром у точці (а; b) і радіусом R?

3. Який вигляд має рівняння кола із центром у початку координат і радіусом R?

4. Що називають еліпсом?

5. Що називають гіперболою?

ВПРАВИ

10.1. Визначте за рівнянням кола координати його центра та радіус:

1) (х - 8)2 + (y - 3)2 = 25;

2) (х + 5)2 + у2 = 9;

3) х2 + у2 = 7;

4) х2 + (у + 1)2 = 3.

10.2. Складіть рівняння кола, якщо відомо координати його центра A і радіус R:

10.3. Складіть рівняння кола, якщо відомо координати його центра B і радіус R:

10.4. Визначте координати центра та радіус кола, зображеного на рисунку 10.8, і запишіть рівняння цього кола.

Рис. 10.8

10.5. Радіус кола із центром у точці A дорівнює 4 (рис. 10.9). Складіть рівняння цього кола.

Рис. 10.9

10.6. Складіть рівняння кола із центром у точці M (-3; 1), яке проходить через точку K (-1; 5).

10.7. Складіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок AB, якщо A (2; -7), B (-2; 3).

10.8. Доведіть, що відрізок AB є діаметром кола (х - 5)2 + (у + 4)2 = 17, якщо A (1; -5), B (9; -3).

10.9. Доведіть, що відрізок CD є хордою кола х2 + (у - 9)2 = 169, якщо C (5; -3), D (-12; 4).

10.10. Складіть рівняння кола, центром якого є точка P (-6; 7) та яке дотикається до осі ординат.

10.11. Складіть рівняння кола, центр якого знаходиться на прямій у = -5 та яке дотикається до осі абсцис у точці S (2; 0).

10.12. Скільки існує кіл, які проходять через точку (3; 5), радіуси яких дорівнюють 3 і центри яких належать осі ординат? Запишіть рівняння кожного такого кола.

10.13. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки A (-4; 1) і B (8; 5) та центр якого належить осі абсцис.

10.14. Доведіть, що коло (х + 6)2 + (у - 3)2 = 36:

1) дотикається до осі ординат;

2) перетинає вісь абсцис;

3) не має спільних точок з прямою у = 10.

10.15. Установіть, чи є дане рівняння рівнянням кола. У разі ствердної відповіді вкажіть координати центра та радіус R цього кола:

1) х2 + 2х + у2 - 10у - 23 = 0;

2) х2 - 12х + у2 + 4у + 40 = 0;

3) х2 + у2 + 6у + 8х + 34 = 0;

4) х2 + у2 - 4х - 14у + 51 = 0.

10.16. Доведіть, що дане рівняння є рівнянням кола, і вкажіть координати центра та радіус R цього кола:

1) x2 + y2 + 16y + 60 = 0; 2) x2 + y2 - 8x + 4y + 15 = 0.

10.17. Знайдіть велику й малу півосі та координати фокусів еліпса

10.18. Знайдіть координати фокусів гіперболи

10.19. Яку фігуру задає рівняння:

1) 2x - 3у = 5; 2) x2 + 2y2 = 2; 3) x2 - y2 = 1?

10.20. Яку фігуру задає рівняння:

1) y = 2x2 - x + 2; 2) x2 + y2 = 5; 3) 4x2 - y2 = 2?

10.21. Знайдіть відстань між центрами кіл x2 + y2 - 2x + 4y = 9 і x2 + y2 - 8x - 4y = 21.

10.22. Знайдіть відстань між центрами кіл x2 + y2 - 20x - 4y = -68 і x2 + y2 + 4x + 6y = -9.

10.23. Доведіть, що трикутник із вершинами в точках A (-1; -2), B (-1; 2), C (5; 2) є прямокутним, і складіть рівняння кола, описаного навколо цього трикутника.

10.24. Складіть рівняння кола, радіус якого дорівнює 5 та яке проходить через точки C (-1; 5) і D (6; 4).

10.25. Складіть рівняння кола, радіус якого дорівнює та яке проходить через точки M (-2; 1) і K (-4; -1).

10.26. Складіть рівняння кола, яке дотикається до координатних осей і прямої y = -4.

10.27. Складіть рівняння кола, яке дотикається до координатних осей і прямої x = 2.

10.28. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки:

1) A (-3; 7), B (-8, 2), C (-6, -2);

2) M (-1; 10), N (12; -3), K (4; 9).

10.29. Дослідіть взаємне розміщення двох кіл:

1) x2+ y2 - 2x + 4y + 4 = 0 і x2 - 8x + y2 + 12 = 0;

2) x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 і x2 + y2 - 10x - 12y + 52 = 0;

3) x2 + y2 - 2x + 4y + 4 = 0 і x2 + y2 + 4x - 4y - 28 = 0;

4) x2 + y2 = 81 і x2 + y2 + 2x - 2y - 2 = 0;

5) x2 + y2 + 6x - 4y + 3 = 0 і x2 + y2 + 6x - 4y - 7 = 0.

10.30. Дано коло (x - 1)2 + (y - 1)2 = 4. Знайдіть рівняння кола із центром 01(4; -3), яке дотикається до даного кола.

10.31. Дано коло (x + 1)2 + (у - 2)2 = 100. Знайдіть рівняння кола із центром О1(3; -1), яке дотикається до даного кола.

10.32. Знайдіть рівняння геометричного місця центрів кіл радіуса 1, які дотикаються до кола х2 + у2 = 9.

10.33. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки A (1; 0) і O (0; 0) та дотикається до кола х2 + у2 = 9.

10.34. На колі х2 + у2 = 25 позначили точку A (3; 4). Знайдіть координати вершин квадрата ABCD, вписаного в це коло.

10.35. На колі х2 + у2 = 12 позначили точку A (0; 2). Знайдіть координати вершин рівностороннього трикутника ABC, вписаного в це коло.

10.36. Знайдіть геометричне місце точок X таких, що XA2 + XB2 = а, де A (1; -1), B (3; -5), а — деяке число.

10.37. Параболи у = х2 - 11 і х = у2 - 12 перетинаються в чотирьох точках. Доведіть, що ці точки лежать на одному колі.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити