Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік
§4 ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ
12. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки
Розглянемо рівняння у = kx. Воно задає невертикальну пряму, яка проходить через початок координат.
Покажемо, що прямі у = kx та у = kx + b, де b ≠ 0, паралельні.
Точки O (0; 0) і C (І; k) належать прямій у = kx, а точки A (0; b) і B (1; k + b) належать прямій у = kx + b (рис. 12.1). Легко переконатися (зробіть це самостійно), що середини діагоналей AC і OB чотирикутника OABC збігаються. Отже, чотирикутник OABC — паралелограм. Звідси AB || OC.
Тепер ми можемо зробити такий висновок:
якщо k = k2 і b1 ≠ b2, то прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 паралельні (1).
Нехай пряма у = kx перетинає одиничне півколо в точці M (x0; у0) (рис. 12.2). Кут AOM називають кутом між даною прямою та додатним напрямом осі абсцис.

Рис. 12.1

Рис. 12.2
Якщо пряма y = kx збігається з віссю абсцис, то кут між цією прямою та додатним напрямом осі абсцис вважають рівним 0°.
Якщо пряма y = kx утворює з додатним напрямом осі абсцис кут а, то вважають, що й пряма y = kx + b, яка паралельна прямій y = kx, також утворює кут a з додатним напрямом осі абсцис (рис. 12.3).
Розглянемо пряму MO, рівняння якої має вигляд y = kx (рис. 12.2). Якщо ∠MOA = а, то

Оскільки точка M (x0; y0) належить прямій y = kx, то 
Звідси k = tg а.
Таким чином, для прямої y = kx + b отримуємо, що
k = tg а,
де а — кут, який утворює ця пряма з додатним напрямом осі абсцис. Тому коефіцієнт k називають кутовим коефіцієнтом цієї прямої, а саме рівняння y = kx + b називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.
Коли невертикальні прямі паралельні, то вони утворюють рівні кути з додатним напрямом осі абсцис. Тоді тангенси цих кутів рівні, отже, рівні і їхні кутові коефіцієнти.
Таким чином,
якщо прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 паралельні, то k1 = k2 (2).
Висновки (1) і (2) об’єднаємо в одну теорему.
Теорема 12.1. Прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 є паралельними тоді й тільки тоді, коли k1 = k2 і b1 ≠ b2.
У ряді випадків виникає потреба скласти рівняння прямої, знаючи координати однієї її точки та кутовий коефіцієнт прямої.
Нехай пряма y = kx + b проходить через точку M (x0; y0). Тоді y0 = kx0 + b. Звідси b = y0 - kx0. Тепер рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом можна записати так: y = kx + y0 - kx0. Звідси
y = k (x - x0) + у0
Отримане рівняння називають рівнянням прямої із заданим кутовим коефіцієнтом, яка проходить через дану точку M (x0; y0).
Пряму можна задати будь-якими двома її точками. Тому, знаючи координати двох точок прямої, можна вивести її рівняння. У попередньому пункті ви розв’язували таку задачу для деяких окремих випадків (див. задачі 11.6, 11.7). Розв’яжемо цю задачу в загальному вигляді.

Рис. 12.3

Рис. 12.4
Розглянемо дві точки A (х1; y1) і B (x2; y2).
Якщо x1 = x2 і y1 ≠ y2, то пряма AB є вертикальною та її рівняння має вигляд x = x1.
Якщо y1 = y2 і x1 ≠ x2, то пряма AB є горизонтальною та її рівняння має вигляд y = y1.
Нехай x1 ≠ х2 і y1 ≠ y2. Запишемо рівняння прямої AB так: y = k (x - x1) + y1, де k — кутовий коефіцієнт прямої AB. Оскільки точка B (x2; y2) належить прямій AB, то можна записати: y2 = k (x2 - x1) + y1. Звідси

Підставивши знайдене значення k у рівняння y = k (x - x1) + y1, отримаємо:

Звідси

Отримане рівняння називають рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки A (x1; y1) і B (x2; y2).
Теорема 12.2. Прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 є перпендикулярними тоді й тільки тоді, коли k1k2 = -1.
Доведення
• Нехай прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 перпендикулярні. Доведемо, що k1k2 = -1.
Нехай k1 = tg a1, k2 = tg a2 і прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 перетинаються в точці C, а вісь абсцис ці прямі перетинають відповідно в точках A і B (рис. 12.4).
У трикутнику ABC маємо: ∠A + ∠B = 90°. Тоді tg A tg B = 1. Звідси tg a1 tg (180° - a2) = 1; tg a1 tg a2 = -1; k1k2 = -1.
Випадок, коли прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 перетинаються в точці, яка належить осі абсцис, розгляньте самостійно.
• Нехай k1k2 = —1. Доведемо, що прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 перпендикулярні.
Маємо: tg a1 tg a2 < 0. Тоді один із кутів a1 або a2 гострий, а другий тупий. Нехай, наприклад, a1— гострий кут, a2— тупий (рис. 12.4). Запишемо:

Оскільки кути 90° - a1 і 180° - a2 гострі та їхні котангенси рівні, то рівні й самі кути. Отримуємо:
90° - a1 = 180° - a2; a1 + (180° - a2) = 90°.
А це означає, що дані прямі перпендикулярні.
Доведемо, що відстань р від точки M (x0; y0) до прямої, заданої рівнянням ax + by + c = 0, можна обчислити за формулою

Нехай b ≠ 0. Тоді кутовий коефіцієнт даної прямої дорівнює -
.
Із точки M опустимо перпендикуляр MP на дану пряму (рис. 12.5). Тоді кутовий коефіцієнт прямої MP дорівнює
, а її рівняння має вигляд у =
(х - х0) + y0.
Для того щоб знайти координати точки P, потрібно розв’язати систему рівнянь

Перепишемо цю систему в такому вигляді:


Рис. 12.5
Звідси легко отримати, що

Маємо:

Звідси

Зазначимо, що ця формула залишається справедливою при b = 0, тобто у випадку, коли дана пряма є вертикальною.
Задача 1. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (-4; 3) і паралельна прямій у = 0,5x - 4.
Розв’язання. Із теореми 12.1 випливає, що кутовий коефіцієнт шуканої прямої дорівнює 0,5. Ця пряма проходить через точку A (-4; 3). Тому, скориставшися рівнянням прямої із заданим кутовим коефіцієнтом, яка проходить через дану точку, запишемо: у = 0,5 (х + 4) + 3.
Відповідь: у = 0,5х + 5.
Задача 2. Точки A (1; 1), B (4; 2), C (0; 7) — вершини трикутника ABC. Знайдіть рівняння прямої, яка містить висоту трикутника, проведену до сторони AB.
Розв’язання. Скориставшася рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки, знайдемо рівняння прямої AB:

Звідси отримуємо, що кутовий коефіцієнт шуканої прямої дорівнює -3.
Скориставшися рівнянням прямої із заданим кутовим коефіцієнтом, яка проходить через дану точку C, запишемо:
у = -3 (х - 0) + 7; y = -3x + 7.
Відповідь: у = -3х + 7.
Задача 3. Знайдіть рівняння дотичної до кола х2 + у2 = 5, якщо відомо, що дотична паралельна прямій у = 2х + 9.
Розв’язання. Рівняння дотичної має вигляд у = 2х + b.
I спосіб. Для того щоби пряма у = 2x + b була дотичною до кола х2 + у2 = 5, система рівнянь

повинна мати єдиний розв’язок.
Маємо:

Залишилося з’ясувати, при яких значеннях параметра b рівняння х2 + (2х + b)2= 5 має єдиний розв’язок.
Запишемо: 5х2 + 4bx + b2 - 5 = 0. Звідси D = 16b2 - 20b2 + 100. Отримуємо, що D = 0 при b = 5 або b = -5.
Шукані рівняння дотичних мають вигляд у = 2х + 5 і у = 2х - 5.
ІІ спосіб. Пряма у = 2х + b є дотичною до кола х2 + у2 = 5, якщо відстань від центра кола до цієї прямої дорівнює радіусу кола, тобто відстань від точки O (0; 0) до прямої 2х - у + b = 0 дорівнює
.
Запишемо:

Звідси b = 5 або b = -5.
Відповідь: у = 2х + 5, у = 2х - 5.
1. Поясніть, що називають кутом між прямою та додатним напрямом осі абсцис.
2. Чому вважають рівним кут між прямою, яка паралельна осі абсцис або збігається з нею, та додатним напрямом осі абсцис?
3. Що називають кутовим коефіцієнтом прямої?
4. Як пов'язані кутовий коефіцієнт прямої та кут між прямою й додатним напрямом осі абсцис?
5. Сформулюйте необхідну і достатню умову паралельності двох невертикальних прямих на координатній площині.
6. Який вигляд має рівняння прямої з даним кутовим коефіцієнтом, яка проходить через дану точку?
7. Який вигляд має рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки?
8. Сформулюйте необхідну і достатню умову перпендикулярності двох невертикальних прямих на координатній площині.
9. За якою формулою можна обчислити відстань від точки M (х0; у0) до прямої, заданої рівнянням ах + bу + c = 0?
ВПРАВИ
12.1. Чому дорівнює кутовий коефіцієнт прямої:
1) y = 2х - 7; 3) y = x + 10; 5) у = 4;
2) у = -3x; 4) у = 5 - х; 6) 3х - 2у = 4?
12.2. Які з прямих у = 6х - 5, у = 0,6х + 1, у =
x + 4, у = 2 - 6х і у = 600 + 0,6х паралельні?
12.3. Які з прямих у = 3х + 2, у = -3х - 4, у = 5 -
х, y =
x, y =
x +1, у = -2,5х + 3 перпендикулярні?
12.4. Яке число треба підставити замість зірочки, щоби були паралельними прямі:
1) у = 8х - 14 і у = *х + 2; 2) у = *х - 1 і у = 3 - 4х?
12.5. Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і паралельна прямій:
1) у = 14х - 11; 2) у = -1,15х + 2.
12.6. Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і паралельна прямій:

12.7. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (-3; 7) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює:
1) 4; 2) -3; 3) 0.
12.8. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку B (2; -5) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює -0,5.
12.9. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку M (-1; 9) і паралельна прямій:
1) у = -7х + 3; 2) 3х - 4у = -8.
12.10. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку
і паралельна прямій:
1) у = 9x - 16; 2) 6x + 2у = 7.
12.11. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку M (2; -1) і перпендикулярна до прямої:
1) у = -0,2x - 3; 2) 3x - 6у = 2.
12.12. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (-3; -1) і перпендикулярна до прямої:

12.13. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (2; 6) та утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:
1) 60°; 2) 120°.
12.14. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку B (3; -2) та утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:
1) 45°; 2) 135°.
12.15. Складіть рівняння прямої, зображеної на рисунку 12.6.

Рис. 12.6
12.16. Складіть рівняння прямих, зображених на рисунку 12.7.
12.17. Визначте, чи паралельні прямі:
1) 2x - 5у = 9 і 5y - 2х = 1;
2) 8x + 12y = 15 і 4x + 6у = 9;
3) 7x - 2y = 12 і 7x - 3y = 12;
4) 3x + 2y = 3 і 6x + 4y = 6.
12.18. Доведіть, що прямі 7x - 6у = 3 і 6y - 7x = 6 паралельні.
12.19. Знайдіть координати точок перетину прямої AB з осями координат, якщо:
1) A (1; 1), B (2; 3);
2) A (3; -1), B (-2; 2).

Рис. 12.7
12.20. Знайдіть відстань від точки M (-1; 2) до прямої:
1) 3x - 4y = 2;
2) -5x + 12y = 1.
12.21. Знайдіть відстань від точки перетину прямих AB і CD до прямої 6x - 8у = -1, якщо A (1; -1), B (2; 1), C (3; 1), D (-4; 2).
12.22. Складіть рівняння прямої, яка проходить через центри двох даних кіл:
1) x2 + y2 - 4x + 2у + 4 = 0 і x2 + y2 - 10x - 6y = 2;
2) x2 + y2 + 2x + 2y = 2 і x2 + y2 - 6x - 4y = 3.
12.23. Складіть рівняння прямої, яка паралельна прямій y = 4x + 2 і перетинає пряму y = -8x + 9 у точці, що належить осі ординат.
12.24. Складіть рівняння прямої, яка паралельна прямій y = 3x + 4 і перетинає пряму y = -4x + 16 у точці, що належить осі абсцис.
12.25. Складіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до прямої y = 2x + 3 і перетинає пряму -x + 3y = -6 у точці, що належить осі абсцис.
12.26. Складіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до прямої 2x + y = 1 і перетинає пряму x - 4y = -1 у точці, що належить осі ординат.
12.27. Дано точки A (-1; 5) і B (8; 2). Знайдіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до прямої AB і перетинає відрізок AB у точці M такій, що AM: MB = 2 : 1.
12.28. Запишіть рівняння прямих, які містять висоти трикутника ABC, якщо A (1; 3), B (5; -7), C (-1; 9).
12.29. Точки A (1; 2), B (2; 5) і C (7; 0) є вершинами трикутника ABC. Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через вершину B і перпендикулярна до бісектриси трикутника, проведеної з вершини A.
12.30. Дано трикутник ABC, де A (1; -2), B (3; 4) і C (-1; 2). Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через вершину B і перпендикулярна до медіани трикутника, проведеної з вершини A.
12.31. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо A (1; -2), B (1; 1) і C (-3; -5).
12.32. Знайдіть рівняння кола із центром у точці M (-2; 1), яке дотикається до прямої 8x - 15y = -2.
12.33. Знайдіть ГМТ, рівновіддалених від двох даних паралельних прямих 5x - 12y = 1 і -5x + 12y = -3.
12.34. Знайдіть рівняння дотичної до кола x2 + (y - 2)2 = 25, якщо ця дотична проходить через точку M (3; -2).
12.35. Запишіть рівняння кола, яке проходить через точки A (5; -3) і B (-3; 5) і центр якого належить прямій 2x + 3y = 5.
12.36. Знайдіть ГМТ, рівновіддалених від прямих 3x - 4y = -7 і 4x - 3y = 8.
12.37. Знайдіть відстань між прямими:
1) 3x + 4у = 8 і 3x + 4у = -12;
2) 4x + 3у = 5 і 8x + 6у = 3.
12.38. Запишіть рівняння кіл радіуса 1, які дотикаються до прямих 3x - 4у = 1 і 4x - 3у = -1.
12.39. Знайдіть рівняння дотичних до кола x2 + y2 - 2у = 9, які проходять через точку M (7; 2).
12.40. Знайдіть рівняння спільних дотичних до кіл x2 + y2 = 6х і x2 + y2 = 6y.
12.41. Точка A лежить на прямій 3x - 4у = -34, а точка B — на колі x2 + y2 - 8x + 2y = 8. Знайдіть найменшу можливу відстань між точками A і B.

































