§4 ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

12. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки

Розглянемо рівняння у = kx. Воно задає невертикальну пряму, яка проходить через початок координат.

Покажемо, що прямі у = kx та у = kx + b, де b ≠ 0, паралельні.

Точки O (0; 0) і C (І; k) належать прямій у = kx, а точки A (0; b) і B (1; k + b) належать прямій у = kx + b (рис. 12.1). Легко переконатися (зробіть це самостійно), що середини діагоналей AC і OB чотирикутника OABC збігаються. Отже, чотирикутник OABC — паралелограм. Звідси AB || OC.

Тепер ми можемо зробити такий висновок:

якщо k = k₂ і b₁ ≠ b₂, то прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ паралельні (1).

Нехай пряма у = kx перетинає одиничне півколо в точці M (x₀; у₀) (рис. 12.2). Кут AOM називають кутом між даною прямою та додатним напрямом осі абсцис.

Рис. 12.1

Рис. 12.2

Якщо пряма y = kx збігається з віссю абсцис, то кут між цією прямою та додатним напрямом осі абсцис вважають рівним 0°.

Якщо пряма y = kx утворює з додатним напрямом осі абсцис кут а, то вважають, що й пряма y = kx + b, яка паралельна прямій y = kx, також утворює кут a з додатним напрямом осі абсцис (рис. 12.3).

Розглянемо пряму MO, рівняння якої має вигляд y = kx (рис. 12.2). Якщо ∠MOA = а, то

Оскільки точка M (x₀; y₀) належить прямій y = kx, то

Звідси k = tg а.

Таким чином, для прямої y = kx + b отримуємо, що

k = tg а,

де а — кут, який утворює ця пряма з додатним напрямом осі абсцис. Тому коефіцієнт k називають кутовим коефіцієнтом цієї прямої, а саме рівняння y = kx + b називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

Коли невертикальні прямі паралельні, то вони утворюють рівні кути з додатним напрямом осі абсцис. Тоді тангенси цих кутів рівні, отже, рівні і їхні кутові коефіцієнти.

Таким чином,

якщо прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ паралельні, то k₁ = k₂ (2).

Висновки (1) і (2) об’єднаємо в одну теорему.

Теорема 12.1. Прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ є паралельними тоді й тільки тоді, коли k₁ = k₂ і b₁ ≠ b₂.

У ряді випадків виникає потреба скласти рівняння прямої, знаючи координати однієї її точки та кутовий коефіцієнт прямої.

Нехай пряма y = kx + b проходить через точку M (x₀; y₀). Тоді y₀ = kx₀ + b. Звідси b = y₀ - kx₀. Тепер рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом можна записати так: y = kx + y₀ - kx₀. Звідси

y = k (x - x₀) + у₀

Отримане рівняння називають рівнянням прямої із заданим кутовим коефіцієнтом, яка проходить через дану точку M (x₀; y₀).

Пряму можна задати будь-якими двома її точками. Тому, знаючи координати двох точок прямої, можна вивести її рівняння. У попередньому пункті ви розв’язували таку задачу для деяких окремих випадків (див. задачі 11.6, 11.7). Розв’яжемо цю задачу в загальному вигляді.

Рис. 12.3

Рис. 12.4

Розглянемо дві точки A (х₁; y₁) і B (x₂; y₂).

Якщо x₁ = x₂ і y₁ ≠ y₂, то пряма AB є вертикальною та її рівняння має вигляд x = x₁.

Якщо y₁ = y₂ і x₁ ≠ x₂, то пряма AB є горизонтальною та її рівняння має вигляд y = y₁.

Нехай x₁ ≠ х₂ і y₁ ≠ y₂. Запишемо рівняння прямої AB так: y = k (x - x₁) + y₁, де k — кутовий коефіцієнт прямої AB. Оскільки точка B (x₂; y₂) належить прямій AB, то можна записати: y₂ = k (x₂ - x₁) + y₁. Звідси

Підставивши знайдене значення k у рівняння y = k (x - x₁) + y₁, отримаємо:

Звідси

Отримане рівняння називають рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки A (x₁; y₁) і B (x₂; y₂).

Теорема 12.2. Прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ є перпендикулярними тоді й тільки тоді, коли k₁k₂ = -1.

Доведення

• Нехай прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ перпендикулярні. Доведемо, що k₁k₂ = -1.

Нехай k₁ = tg a₁, k₂ = tg a₂ і прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ перетинаються в точці C, а вісь абсцис ці прямі перетинають відповідно в точках A і B (рис. 12.4).

У трикутнику ABC маємо: ∠A + ∠B = 90°. Тоді tg A tg B = 1. Звідси tg a₁ tg (180° - a₂) = 1; tg a₁ tg a₂ = -1; k₁k₂ = -1.

Випадок, коли прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ перетинаються в точці, яка належить осі абсцис, розгляньте самостійно.

• Нехай k₁k₂ = —1. Доведемо, що прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ перпендикулярні.

Маємо: tg a₁ tg a₂ < 0. Тоді один із кутів a₁ або a₂ гострий, а другий тупий. Нехай, наприклад, a₁— гострий кут, a₂— тупий (рис. 12.4). Запишемо:

Оскільки кути 90° - a₁ і 180° - a₂ гострі та їхні котангенси рівні, то рівні й самі кути. Отримуємо:

90° - a₁ = 180° - a₂; a₁ + (180° - a₂) = 90°.

А це означає, що дані прямі перпендикулярні.

Доведемо, що відстань р від точки M (x₀; y₀) до прямої, заданої рівнянням ax + by + c = 0, можна обчислити за формулою

Нехай b ≠ 0. Тоді кутовий коефіцієнт даної прямої дорівнює -.

Із точки M опустимо перпендикуляр MP на дану пряму (рис. 12.5). Тоді кутовий коефіцієнт прямої MP дорівнює , а її рівняння має вигляд у =  (х - х₀) + y₀.

Для того щоб знайти координати точки P, потрібно розв’язати систему рівнянь

Перепишемо цю систему в такому вигляді:

Рис. 12.5

Звідси легко отримати, що

Маємо:

Звідси

Зазначимо, що ця формула залишається справедливою при b = 0, тобто у випадку, коли дана пряма є вертикальною.

Задача 1. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (-4; 3) і паралельна прямій у = 0,5x - 4.

Розв’язання. Із теореми 12.1 випливає, що кутовий коефіцієнт шуканої прямої дорівнює 0,5. Ця пряма проходить через точку A (-4; 3). Тому, скориставшися рівнянням прямої із заданим кутовим коефіцієнтом, яка проходить через дану точку, запишемо: у = 0,5 (х + 4) + 3.

Відповідь: у = 0,5х + 5.

Задача 2. Точки A (1; 1), B (4; 2), C (0; 7) — вершини трикутника ABC. Знайдіть рівняння прямої, яка містить висоту трикутника, проведену до сторони AB.

Розв’язання. Скориставшася рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки, знайдемо рівняння прямої AB:

Звідси отримуємо, що кутовий коефіцієнт шуканої прямої дорівнює -3.

Скориставшися рівнянням прямої із заданим кутовим коефіцієнтом, яка проходить через дану точку C, запишемо:

у = -3 (х - 0) + 7; y = -3x + 7.

Відповідь: у = -3х + 7.

Задача 3. Знайдіть рівняння дотичної до кола х² + у² = 5, якщо відомо, що дотична паралельна прямій у = 2х + 9.

Розв’язання. Рівняння дотичної має вигляд у = 2х + b.

I спосіб. Для того щоби пряма у = 2x + b була дотичною до кола х² + у² = 5, система рівнянь

повинна мати єдиний розв’язок.

Маємо:

Залишилося з’ясувати, при яких значеннях параметра b рівняння х² + (2х + b)²= 5 має єдиний розв’язок.

Запишемо: 5х² + 4bx + b² - 5 = 0. Звідси D = 16b² - 20b² + 100. Отримуємо, що D = 0 при b = 5 або b = -5.

Шукані рівняння дотичних мають вигляд у = 2х + 5 і у = 2х - 5.

ІІ спосіб. Пряма у = 2х + b є дотичною до кола х² + у² = 5, якщо відстань від центра кола до цієї прямої дорівнює радіусу кола, тобто відстань від точки O (0; 0) до прямої 2х - у + b = 0 дорівнює .

Запишемо:

Звідси b = 5 або b = -5.

Відповідь: у = 2х + 5, у = 2х - 5.

1. Поясніть, що називають кутом між прямою та додатним напрямом осі абсцис.

2. Чому вважають рівним кут між прямою, яка паралельна осі абсцис або збігається з нею, та додатним напрямом осі абсцис?

3. Що називають кутовим коефіцієнтом прямої?

4. Як пов'язані кутовий коефіцієнт прямої та кут між прямою й додатним напрямом осі абсцис?

5. Сформулюйте необхідну і достатню умову паралельності двох невертикальних прямих на координатній площині.

6. Який вигляд має рівняння прямої з даним кутовим коефіцієнтом, яка проходить через дану точку?

7. Який вигляд має рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки?

8. Сформулюйте необхідну і достатню умову перпендикулярності двох невертикальних прямих на координатній площині.

9. За якою формулою можна обчислити відстань від точки M (х₀; у₀) до прямої, заданої рівнянням ах + bу + c = 0?

ВПРАВИ

12.1. Чому дорівнює кутовий коефіцієнт прямої:

1) y = 2х - 7;         3) y = x + 10;   5) у = 4;

2) у = -3x;             4) у = 5 - х;      6) 3х - 2у = 4?

12.2. Які з прямих у = 6х - 5, у = 0,6х + 1, у =  x + 4, у = 2 - 6х і у = 600 + 0,6х паралельні?

12.3. Які з прямих у = 3х + 2, у = -3х - 4, у = 5 -х, y =  x, y =  x +1, у = -2,5х + 3 перпендикулярні?

12.4. Яке число треба підставити замість зірочки, щоби були паралельними прямі:

1) у = 8х - 14 і у = *х + 2; 2) у = *х - 1 і у = 3 - 4х?

12.5. Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і паралельна прямій:

1) у = 14х - 11;                   2) у = -1,15х + 2.

12.6. Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і паралельна прямій:

12.7. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (-3; 7) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює:

1) 4; 2) -3; 3) 0.

12.8. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку B (2; -5) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює -0,5.

12.9. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку M (-1; 9) і паралельна прямій:

1) у = -7х + 3; 2) 3х - 4у = -8.

12.10. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку і паралельна прямій:

 1) у = 9x - 16; 2) 6x + 2у = 7.

12.11. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку M (2; -1) і перпендикулярна до прямої:

1) у = -0,2x - 3;                  2) 3x - 6у = 2.

12.12. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (-3; -1) і перпендикулярна до прямої:

12.13. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (2; 6) та утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:

1) 60°; 2) 120°.

12.14. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку B (3; -2) та утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:

1) 45°; 2) 135°.

12.15. Складіть рівняння прямої, зображеної на рисунку 12.6.

Рис. 12.6

12.16. Складіть рівняння прямих, зображених на рисунку 12.7.

12.17. Визначте, чи паралельні прямі:

1) 2x - 5у = 9 і 5y - 2х = 1;

2) 8x + 12y = 15 і 4x + 6у = 9;

3) 7x - 2y = 12 і 7x - 3y = 12;

4) 3x + 2y = 3 і 6x + 4y = 6.

12.18. Доведіть, що прямі 7x - 6у = 3 і 6y - 7x = 6 паралельні.

12.19. Знайдіть координати точок перетину прямої AB з осями координат, якщо:

1) A (1; 1), B (2; 3);

2) A (3; -1), B (-2; 2).

Рис. 12.7

12.20. Знайдіть відстань від точки M (-1; 2) до прямої:

1) 3x - 4y = 2;

2) -5x + 12y = 1.

12.21. Знайдіть відстань від точки перетину прямих AB і CD до прямої 6x - 8у = -1, якщо A (1; -1), B (2; 1), C (3; 1), D (-4; 2).

12.22. Складіть рівняння прямої, яка проходить через центри двох даних кіл:

1) x² + y² - 4x + 2у + 4 = 0 і x² + y² - 10x - 6y = 2;

2) x² + y² + 2x + 2y = 2 і x² + y² - 6x - 4y = 3.

12.23.  Складіть рівняння прямої, яка паралельна прямій y = 4x + 2 і перетинає пряму y = -8x + 9 у точці, що належить осі ординат.

12.24. Складіть рівняння прямої, яка паралельна прямій y = 3x + 4 і перетинає пряму y = -4x + 16 у точці, що належить осі абсцис.

12.25. Складіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до прямої y = 2x + 3 і перетинає пряму -x + 3y = -6 у точці, що належить осі абсцис.

12.26. Складіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до прямої 2x + y = 1 і перетинає пряму x - 4y = -1 у точці, що належить осі ординат.

12.27. Дано точки A (-1; 5) і B (8; 2). Знайдіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до прямої AB і перетинає відрізок AB у точці M такій, що AM: MB = 2 : 1.

12.28. Запишіть рівняння прямих, які містять висоти трикутника ABC, якщо A (1; 3), B (5; -7), C (-1; 9).

12.29. Точки A (1; 2), B (2; 5) і C (7; 0) є вершинами трикутника ABC. Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через вершину B і перпендикулярна до бісектриси трикутника, проведеної з вершини A.

12.30. Дано трикутник ABC, де A (1; -2), B (3; 4) і C (-1; 2). Знайдіть рівняння прямої, яка проходить через вершину B і перпендикулярна до медіани трикутника, проведеної з вершини A.

12.31. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо A (1; -2), B (1; 1) і C (-3; -5).

12.32. Знайдіть рівняння кола із центром у точці M (-2; 1), яке дотикається до прямої 8x - 15y = -2.

12.33. Знайдіть ГМТ, рівновіддалених від двох даних паралельних прямих 5x - 12y = 1 і -5x + 12y = -3.

12.34. Знайдіть рівняння дотичної до кола x² + (y - 2)² = 25, якщо ця дотична проходить через точку M (3; -2).

12.35. Запишіть рівняння кола, яке проходить через точки A (5; -3) і B (-3; 5) і центр якого належить прямій 2x + 3y = 5.

12.36. Знайдіть ГМТ, рівновіддалених від прямих 3x - 4y = -7 і 4x - 3y = 8.

12.37. Знайдіть відстань між прямими:

1) 3x + 4у = 8 і 3x + 4у = -12;

2) 4x + 3у = 5 і 8x + 6у = 3.

12.38. Запишіть рівняння кіл радіуса 1, які дотикаються до прямих 3x - 4у = 1 і 4x - 3у = -1.

12.39. Знайдіть рівняння дотичних до кола x² + y² - 2у = 9, які проходять через точку M (7; 2).

12.40. Знайдіть рівняння спільних дотичних до кіл x² + y² = 6х і x² + y² = 6y.

12.41. Точка A лежить на прямій 3x - 4у = -34, а точка B — на колі x² + y² - 8x + 2y = 8. Знайдіть найменшу можливу відстань між точками A і B.