Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§1 ПОВТОРЕННЯ ТА СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ З КУРСУ ГЕОМЕТРІЇ 8 КЛАСУ

1. Задачі на повторення навчального матеріалу з курсу геометрії 8 класу

1.1. Бічна сторона AB і менша основа BC трапеції ABCD дорівнюють відповідно 16 см і 15 см. Який із відрізків перетинає бісектриса кута BAD — основу BC чи бічну сторону CD?

1.2. Пряма AB дотикається до кола в точці B, а пряма AC перетинає коло в точках C і D. Знайдіть відрізок CD, якщо AB = 6 см, AC = 9 см.

1.3. На одній стороні кута з вершиною в точці A позначили точки B і C, а на другій — точки D і E, причому AB = 10 см, AC = 18 см, AD : AE = 5 : 9. Знайдіть відрізок CE, якщо BD = 20 см.

1.4. Площа паралелограма ABCD, зображеного на рисунку 1.1, дорівнює S. Знайдіть площу зафарбованої фігури.

Рис. 1.1

1.5. Знайдіть відношення площ S1 і S2 трикутників, зображених на рисунку 1.2.

1.6. Відрізок AD — бісектриса трикутника ABC, площа трикутника ABD дорівнює 12 см2, а трикутника ACD — 20 см2. Знайдіть відношення сторони AB до сторони AC.

Рис. 1.2

1.7. Діагоналі рівнобічної трапеції є бісектрисами її гострих кутів і точкою перетину діляться у відношенні 5 : 13. Знайдіть площу трапеції, якщо її висота дорівнює 90 см.

1.8. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18 см і 24 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини меншого гострого кута.

1.9. Медіани AM і CK трикутника ABC перпендикулярні. Знайдіть сторони трикутника, якщо AM = 9 см і CK = 12 см.

1.10. У трикутнику ABC медіани BM і CK перпендикулярні та перетинаються в точці O. Знайдіть відрізок AO, якщо BM = 36 см і CK = 15 см.

1.11. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, відрізки BD і AM — висоти трикутника, BD : AM = 3 : 1. Знайдіть cos C.

1.12. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, відрізки BD і CK — висоти трикутника, cos A = . Знайдіть відношення CK : BD.

1.13. Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони та утворює з основою трапеції кут 30°. Знайдіть висоту трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо трапеції, дорівнює R.

1.14. Побудуйте квадрат, площа якого дорівнює сумі площ двох даних квадратів.

1.15. На медіані AM трикутника ABC позначено точку D так, що AD : DM = 1 : 3. Через точку D проведено пряму, паралельну стороні AC. У якому відношенні ця пряма ділить сторону BC, рахуючи від вершини C?

1.16. У чотирикутнику ABCD відомо, що AB = AD, CB = CD. Доведіть, що AD BC.

1.17. На основі AC рівнобедреного трикутника ABC позначили точку M, а на бічних сторонах AB і BC відповідно точки K і N так, що MK || BC, MN || AB. Знайдіть довжину бічної сторони, якщо відомо, що периметр чотирикутника MKBN дорівнює 30 см.

1.18. У прямокутнику ABCD відомо, що AB = 2AD. Точка K — середина сторони AB. Знайдіть кут CKD.

1.19. Побудуйте квадрат за трьома точками, які є серединами трьох його сторін.

1.20. Діагоналі рівнобічної трапеції ABCD (BC || AD) перетинаються в точці M. Відомо, що CMD = BAD. Доведіть, що BC = AB.

1.21. У рівнобічній трапеції ABCD (BC || AD) бісектриси гострих кутів BAD і CDA перетинаються в точці, яка належить основі BC. Знайдіть периметр трапеції, якщо BC = 36 см, BAD = 60°.

1.22. Побудуйте паралелограм за його вершиною та серединами сторін, яким ця вершина не належить.

1.23. Перпендикуляр, опущений із вершини кута прямокутника на його діагональ, ділить цю діагональ на відрізки, довжини яких відносяться як 1 : 3. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника.

1.24. На стороні AD прямокутника ABCD позначили точку M так, що MD = CD, MA = MC. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника.

1.25. Висоти BN і DM ромба ABCD, проведені з його тупих кутів B і D, перетинаються в точці F. Знайдіть кути ромба, якщо NF : FB = MF : FD = 1 : 2.

1.26. Сума довжин катетів AB і BC прямокутного трикутника ABC дорівнює а. На гіпотенузі AC поза трикутником побудовано квадрат ACMN, діагоналі якого перетинаються в точці O. Із точки O на прямі BA і BC опустили перпендикуляри OK і OF відповідно. Знайдіть периметр чотирикутника BKOF.

1.27. Серединний перпендикуляр діагоналі прямокутника утворює з його більшою стороною кут 60°. Відрізок цього перпендикуляра, який міститься всередині прямокутника, дорівнює 12 см. Знайдіть більшу сторону прямокутника.

1.28. На медіані BD трикутника ABC позначено точку M так, що BM : MD = 3 : 2. Пряма AM перетинає сторону BC у точці E. У якому відношенні точка E ділить сторону BC, рахуючи від вершини B?

1.29. Бісектриса кута A паралелограма ABCD перетинає діагональ BD і сторону BC у точках E і F відповідно так, що BE : ED = 2 : 7. Знайдіть відношення BF : FC.

1.30. Медіани AD і BM трикутника ABC перетинаються в точці O. Через точку O проведено пряму, яка паралельна стороні AC і перетинає сторону BC у точці K. Знайдіть відрізки BD, DK і KC, якщо BC = 18 см.

1.31. Коло, центр якого належить гіпотенузі прямокутного трикутника, дотикається до більшого катета та проходить через вершину протилежного гострого кута. Знайдіть радіус кола, якщо катети даного трикутника дорівнюють 5 см і 12 см.

1.32. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть відстань від вершини меншого гострого кута трикутника до центра вписаного кола.

1.33. Площа рівнобічної трапеції дорівнює 36 см2, а гострий кут — 45°. Знайдіть висоту трапеції, якщо в неї можна вписати коло.

1.34. Бісектриса кута A трикутника ABC (C = 90°) ділить катет BC на відрізки завдовжки 6 см і 10 см. Знайдіть радіус кола, яке проходить через точки A, C і точку перетину цієї бісектриси з катетом BC.

1.35. Центр кола, вписаного в рівнобічну трапецію, віддалений від кінців її бічної сторони на 12 см і 16 см. Знайдіть периметр трапеції.

1.36. Діагональ рівнобічної трапеції ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 15 см і 12 см, а бічна сторона трапеції дорівнює її меншій основі. Знайдіть площу трапеції.

1.37. Більша діагональ прямокутної трапеції ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 15 см і 9 см. Більша бічна сторона трапеції дорівнює її меншій основі. Знайдіть площу трапеції.

1.38. У трапеції ABCD (BC || AD) точка M — середина сторони AB. Знайдіть площу трикутника CMD, якщо площа даної трапеції дорівнює S.

1.39. Коло, побудоване на діагоналі AC ромба ABCD як на діаметрі, проходить через середину сторони AB. Знайдіть кути ромба.

1.40. На сторонах AB і BC трикутника ABC побудовано в зовнішній бік квадрати ABDE і BCFG. Виявилося, що DG || AC. Доведіть, що трикутник ABCрівнобедрений.

1.41. У трикутнику ABC проведено висоту AH і медіану BM. Відрізок MH перетинає бісектрису CK у її середині. Доведіть, що трикутник ABCрівнобедрений.

1.42. Побудуйте чотирикутник за його сторонами та відстанню між серединами діагоналей.

1.43. Точка C належить прямому куту BOA (рис. 1.3). Доведіть, що периметр трикутника ABC більший, ніж 2OC.

1.44. На аркуші паперу в клітинку накреслено трикутник ABC із вершинами у вузлах сітки (рис. 1.4). За допомогою лінійки побудуйте точку перетину медіан цього трикутника.

Рис. 1.3

Рис. 1.4

1.45. У трапеції довжина однієї з діагоналей дорівнює сумі основ, а кут між діагоналями дорівнює 60°. Доведіть, що трапеція є рівнобічною.

1.46. На стороні AC трикутника ABC позначили точку K так, що вписані кола трикутників ABK і BCK дотикаються. Доведіть, що точка K належить вписаному колу трикутника ABC.

1.47. На сторонах AB і CD трапеції ABCD (BC || AD) відповідно позначили точки K і L такі, що BAL = CDK. Доведіть, що BLA = CKD.

1.48. У гострокутному трикутнику ABC відрізок AH є висотою. Із точки H на сторони AB і AC опущено перпендикуляри HK і HL відповідно. Доведіть, що чотирикутник BKLC вписаний.

1.49. Точка J належить трикутнику ABC і BJC = 90° + < BAC. Відомо, що пряма AJ містить центр описаного кола трикутника BJC. Доведіть, що точка J — центр вписаного кола трикутника ABC.

1.50. Дано два кола. Перше з них проходить через центр O другого кола та перетинає це коло в точках A і B. Хорда OC першого кола перетинає друге коло в точці J. Доведіть, що точка J — центр вписаного кола трикутника ABC.

1.51. У трикутнику ABC проведено висоти AH і CP. Знайдіть кут B, якщо відомо, що AC = 2PH.

1.52. На стороні AC трикутника ABC позначили точку D таку, що ABD = BCD і AB = CD. Бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці E. Доведіть, що DE || AB.

1.53. Точка D — середина сторони AC трикутника ABC, відрізки DE і DF — бісектриси відповідно трикутників ABD і CBD. Відрізки BD і EFперетинаються в точці M. Доведіть, що DM = EF.

1.54. У прямокутному трикутнику ABC (C = 90°) відрізки CH, CL і CM — відповідно висота, бісектриса та медіана трикутника. Знайдіть відрізок CL, якщо CH = 6 см, CM = 10 см.

1.55. У трикутнику ABC проведено бісектрису BD. Відомо, що AB = 15 см, BC = 10 см. Доведіть, що BD < 12 см.

1.56. В опуклому чотирикутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Відомо, що BAC = CBD, BCA = CDB. Доведіть, що CO CA = BO BD.

1.57. Бісектриси кутів A і B трикутника ABC перетинають описане коло трикутника ABC у точках K і L відповідно. Відрізки AK і BL перетинаються в точці O так, що = . Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.

1.58. Трапеція ABCD (AB || CD) така, що коло, описане навколо трикутника ABD, дотикається до прямої BC. Доведіть, що коло, описане навколо трикутника BCD, дотикається до прямої AD.

1.59. У трикутнику ABC проведено бісектрису BK. На сторонах BA і BC позначили відповідно точки M і N такі, що AKM = CKN = ABC. Доведіть, що пряма AC — дотична до кола, описаного навколо трикутника MBN.

1.60. У колі проведено хорду CD паралельно діаметру AB так, що в трапецію ABCD можна вписати коло. Знайдіть хорду CD, якщо AB = 2R.

1.61. На медіані AM трикутника ABC позначили точку F. Точки K і N — основи перпендикулярів, опущених із точки F на сторони AB і AC відповідно. Знайдіть відрізки FK і FN, якщо FK + FN = d, AB = c, AC = b.

1.62. У трикутнику ABC проведено чевіани AA1, BB1, CC1, які перетинаються в точці M. Відомо, що трикутники AMB1 і AMC1 рівновеликі, трикутники BMC1 і BMA1 рівновеликі, трикутники CMA1 і CMB1 рівновеликі. Доведіть, що M — точка перетину медіан трикутника ABC.

1.63. У трапеції ABCD (AD || BC, AD > BC) на діагоналі AC позначили точку E так, що BE || CD. Доведіть, що площі трикутників ABC і DEC рівні.

1.64. На медіані BM трикутника ABC позначили точку D. Через точки C і D провели прямі, паралельні відповідно прямим BM і AB. Проведені прямі перетинаються в точці E. Доведіть, що BE = AD.

1.65. На основі AD трапеції ABCD позначили точку M. Відомо, що периметри трикутників ABM, MBC і CMD рівні. Доведіть, що AD = 2BC.

1.66. У коло вписано чотирикутник ABCD. На хорді AB побудуйте точку M таку, що ADM = BCM.

1.67. Точки M і N — середини основ AD і BC трапеції ABCD відповідно. На сторонах AB і CD позначили точки P і Q відповідно так, що PQ || AD (AP PB). Доведіть, що прямі PN, MQ і AC перетинаються в одній точці.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити