РАДИКАЛЬНА ВІСЬ ДВОХ КІЛ

Розглянемо коло радіуса R із центром у точці O. Нехай M — довільна точка. Позначимо MO = d. Величину, яка дорівнює d² - R², називають степенем точки M відносно даного кола.

Якщо точка M лежить усередині кола (рис. 13.5, а), то її степінь є від’ємним; якщо точка M належить колу (рис. 13.5, б), то її степінь дорівнює нулю; якщо точка M лежить поза колом (рис. 13.5, в), то її степінь є додатним.

Рис. 13.5

Через точку M, яка лежить поза колом, проведемо дотичну MA (рис. 13.6). Оскільки OA MA, то MA² = MO² - OA² = d² - R², тобто величина MA²дорівнює степеню точки M відносно даного кола.

Розглянемо два кола із центрами O₁ і O₂ та радіусами R₁ і R₂ відповідно. Знайдемо ГМТ, які мають однаковий степінь відносно даних кіл.

Точка X належить шуканому ГМТ тоді й тільки тоді, коли XO²₁ - R²₁ = XO²₂ - R²₂.

Звідси

XO²₁ - XO²₂ = R²₁ - К²₂.

Оскільки різниця R²₁ - R²₂ для даних кіл є величиною сталою, то з ключової задачі 13.1 випливає, що шуканим ГМТ є пряма, перпендикулярна до прямої О₁О₂. Цю пряму називають радикальною віссю даних кіл.

Рис. 13.6

Нехай кола із центрами О₁ і О₂ перетинаються в точках A і B (рис. 13.7). Точки A і B відносно даних кіл мають степінь, який дорівнює 0. Отже, вони належать радикальній осі цих кіл. Це означає, що пряма AB — радикальна вісь.

Якщо кола дотикаються в точці A (рис. 13.8), то їхня радикальна вісь проходить через точку A і перпендикулярна до прямої О1О₂ (подумайте, чому).

Рис. 13.7

Рис. 13.8

Якщо через точку X, яка належить радикальній осі двох кіл, проведено до цих кіл дотичні XA і XB (A і B — точки дотику), то отримаємо, що XA = XB (рис. 13.9). Ця властивість підказує, як побудувати радикальну вісь двох кіл, зображених на рисунку 13.9.

Рис. 13.9

Рис. 13.10

Проведемо дві спільні зовнішні дотичні AB і CD (A, B, C і D — точки дотику). Нехай точки M і N — середини відповідно відрізків AB і CD (рис. 13.10). Тоді ці точки мають однаковий степінь відносно даних кіл. Отже, пряма MN — радикальна вісь.

Зрозуміло, що побудову радикальної осі цих кіл можна здійснити, провівши їхні спільні внутрішні дотичні EF і PQ (E, F, P і Q — точки дотику).

Зі сказаного випливає, що середини відрізків AB, CD, EF і PQ лежать на одній прямій, перпендикулярній до прямої О₁О₂ (рис. 13.11).

Рис. 13.11

Рис. 13.12

Доведіть самостійно, що кола, центри яких збігаються, не мають радикальної осі.

Теорема. Якщо центри трьох кіл не лежать на одній прямій і для кожної пари кіл проведено радикальну вісь, то всі три радикальні осі перетинаються в одній точці.

Доведення. Позначимо центри кіл О₁, О₂, О₃. Нехай прямі l₁ і l₂ — радикальні осі кіл із центрами O₁, O₂ і O₂, O₃ відповідно. Оскільки точки O₁, O₂ і O₃ не лежать на одній прямій, то l₁ l₂ . Нехай l l₂ = M (рис. 13.12). Тоді точка M має однаковий степінь відносно кіл із центрами O₁ і O₃, а отже, належить радикальній осі l₃ цих кіл. Таким чином, прямі l₁, l₂ і l₃ перетинаються в одній точці. Її називають радикальним центром трьох кіл.

Покажемо, як за допомогою цієї теореми побудувати радикальну вісь кіл, розміщених так, як показано на рисунку 13.13.

Проведемо третє коло, центр якого не лежить на прямій O₁O₂ та яке перетинає кожне з даних кіл у двох точках. Точки перетину позначено на рисунку 13.14 буквами A, B, C і D. Тоді точка M перетину прямих AB і CD належить радикальній осі кіл із центрами O₁ і O₂. Залишилося провести через точку M пряму, перпендикулярну до прямої O₁O₂. Вона й буде шуканою радикальною віссю.

Рис. 13.13

Рис. 13.14

ВПРАВИ

1. Три кола попарно дотикаються зовнішнім чином (рис. 13.15), A, B і C — точки дотику. Спільні дотичні до кіл, проведені через точки A і B, перетинаються в точці M. Доведіть, що

MA = MB = MC.

Рис. 13.15

2. Дано коло й дві точки, які лежать поза цим колом. Побудуйте коло, яке дотикається до даного кола та проходить через задані точки.

Вказівка. Радикальною віссю даного та шуканого кіл є їхня спільна дотична. Ця дотична проходить через радикальний центр трьох кіл: даного кола та будь-яких двох кіл, які проходять через дві дані точки.

3. На сторонах BC і AC трикутника ABC позначили відповідно точки A₁ і B₁. На відрізках AA₁ і BB₁ як на діаметрах побудували кола, які перетинаються в точках M і N. Доведіть, що пряма MN містить ортоцентр трикутника ABC.

Вказівка. Доведіть, що ортоцентр трикутника ABC є радикальним центром двох указаних кіл і кола, побудованого на стороні AB як на діаметрі.

4. Точки A, B, C і D у вказаному порядку лежать на одній прямій. Кола з діаметрами AC і BD перетинаються в точках X і Y. Нехай P — точка на прямій XY. Пряма CP перетинає коло з діаметром AC у точках C і M, а пряма BP перетинає коло з діаметром BD у точках B і N. Доведіть, що прямі AM, ND, XY перетинаються в одній точці.

Вказівка. Доведіть, що точки A, M, N і D лежать на одному колі. Радикальний центр цього кола та кіл з діаметрами AC і BD і є точкою перетину прямих AM, ND і XY.

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити