Підручник Геометрія з поглибленим вивченням математики 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§4 ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 4

Відстань між двома точками

Відстань між точками A 1; у1) і B (x2; у2) можна знайти за формулою

Координати точки, яка ділить відрізок у заданому відношенні

Якщо точка M (x0; у0) ділить відрізок AB у відношенні  то координати цієї точки можна обчислити за формулами

де (x1; y1) і (x2; y2) — координати відповідно точок A і B.

Рівняння фігури

Рівнянням фігури F, заданої на площині xy, називають рівняння з двома змінними x і у, яке має такі властивості:

1) якщо точка належить фігурі F, то її координати є розв’язком даного рівняння;

2) будь-який розв’язок (x; у) даного рівняння є координатами точки, яка належить фігурі F.

Рівняння кола

Рівняння кола радіуса R із центром у точці A (a; b) має вигляд (x - a)2 + (у - b)2= R2.

Будь-яке рівняння виду (x - a)2+ (у - b)2= R2, де a, b і Rдеякі числа, причому R > 0, є рівнянням кола радіуса R із центром у точці з координатами (a; b).

Еліпс

Еліпсом називають геометричне місце точок, для яких сума відстаней до двох заданих точок F1 і F2 є сталою величиною, більшою за F1F2. Точки F1і F2 називають фокусами еліпса.

Гіпербола

Гіперболою називають геометричне місце точок, для яких модуль різниці відстаней до двох заданих точок F1 і F2 є сталою величиною, меншою від F1F2. Точки F1 і F2 називають фокусами гіперболи.

Загальне рівняння прямої

Загальне рівняння прямої має вигляд ax + by = c, де a, b і cдеякі числа, причому а і b не дорівнюють нулю одночасно. Будь-яке рівняння виду ax + by = c, де a, b і c — деякі числа, причому a і b не дорівнюють нулю одночасно, є рівнянням прямої.

Рівняння

Значення a, b, c

Графік

 

b 0, a і c — будь-які

Невертикальна пряма

 

b = 0, a ≠ 0, cбудь-яке

Вертикальна пряма

ax + by = c

a = b = c = 0

Уся координатна площина

 

a = b = 0, c 0

Порожня множина

Кутовий коефіцієнт прямої

Коефіцієнт k у рівнянні прямої y = kx + b називають кутовим коефіцієнтом прямої, і він дорівнює тангенсу кута, який утворює ця пряма з додатним напрямом осі абсцис.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Рівняння прямої із заданим кутовим коефіцієнтом k, яка проходить через дану точку M (x0; y0), має вигляд y = k (x - x0) + y0.

Необхідна і достатня умова паралельності невертикальних прямих

Прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 є паралельними тоді й тільки тоді, коли k1 = k2 і b1 b2.

Необхідна і достатня умова перпендикулярності невертикальних прямих

Прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 є перпендикулярними тоді й тільки тоді, коли k1k2 = -1.

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки A (x1; y1) і B (x2; y2), має вигляд

Відстань від точки до прямої Відстань від точки M (x0; y0) до прямої, заданої рівнянням ax + by + c = 0, дорівнює





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити